Обобщающий урок по теме «Векторы и действия над ними»
учебно-методический материал по алгебре (9 класс)

     Обобщающий урок по теме «Векторы и действия над ними»

  Цели:

    Образовательные: выявить связи геометрии с различными областями человеческих знаний (в частности, на  примере решения задач с практическим применением); систематизировать и расширить знания учащихся о векторах. 

 Развивающие: развить навыки использования векторов в математике и ее приложениях, в частности, навыки, связанные со сложением сил, вычислением длин отрезков и углов, развивать память, логическое мышление, любознательность; развивать умений искать ответы на возникающие вопросы.

    Воспитательные: воспитание целеустремленности, самостоятельности учащихся, стремления к получению знаний и применению их в нестандартных ситуациях, уважение друг к другу, взаимопонимание, уверенность в себе..

    Требования к знаниям, умениям и способам деятельности: уметь использовать понятие векторов и действий с ним при решении задач практического содержания.

    Тип урока: урок обобщения изученного материала.

    Формы работы:  фронтальная.

    Методы: исследовательские, словесные,  наглядные.

    Оборудование: линейка, медиапроектор, экран, компьютер, доска, мел, карточки для разноуровневой работы, карточки рефлексии.

    Структура урока:

I.  Организационный момент. 2 мин

II. Проверка владения понятийным аппаратом,  устная работа по готовым слайдам.10 мин

III.Решение задач.  15 мин

IV. Релаксация. 3 мин

V. Дифференцированная самостоятельная работа. 10 мин

VI.  Домашнее задание. 1 мин

VII. Итог урока, рефлексия. 3 мин

Ход урока.

1. Организационный момент, 2 мин

Здравствуйте, ребята! Мир, в котором мы живем, наполнен геометрией домов  и улиц, гор и полей, творениями природы и человека. Лучше ориентироваться в нем, открывать новое, понимать красоту и мудрость окружающего мира поможет нам хорошее знание такого предмета как геометрия.  Начнём наш урок с логического задания. О чём идет речь в данной шараде?

Шарада                                                                                                        Слайд 2

Мой первый слог – почтенный срок,

Коль прожит он недаром.

Модель второго – на столе,

Румяна, с пылу, с жару.

Меня вы встретите везде –

Такой я вездесущий.

А имя громкое мое –

Латинское «несущий». (Вектор)                                                                 Слайд 3

И сегодня на уроке, который является обобщающим по теме «Векторы», мы попытаемся выявить связи геометрии с различными областями человеческих знаний,  в частности, на  примере решения задач с практическим применением.

Вектор - одно из основных геометрических понятий. Понятие вектора появилось в работах немецкого математика XIX в. Г. Грассмана и   ирландского   математика   У. Гамильтона; затем оно было охотно воспринято многими  математиками  и   физиками.                        Слайд 4

 Термин "вектор" ввел Гамильтон приблизительно в 1845 году. Символ [→a, →b] для обозначения векторного произведения ввел Грасман. Векторы применяются  в    классической    механике    Галилея - Ньютона (в ее современном изложении),  в теории относительности, квантовой физике, в математической экономике и многих других разделах естествознания, не говоря уже о применении векторов в различных областях математики.

2. Проверка владения понятийным аппаратом.

Четверо учащихся (слабоподготовленные)  на местах выполняют задания:

Заполните пропуски:

Проверяет задания один из учащихся , если необходимо ему предлагается образец для проверки.

3. Устная работа по готовым слайдам.

На протяжении нескольких дней 1 группе ребят было дано задание подготовить проектные работы в виде задач по теме  «Векторы», ребятам было предложено составить и предложить своим товарищам устные задания или задания на готовых чертежах. Работу учащиеся выполняли индивидуально, сегодня мы рассмотрим 3 задания, подготовленные Овсянниковой Дарьей, Елагиным Никитой и Никулиным Иваном.                                  

Сейчас рассмотрим здания, которые приготовили ребята. Ребята, подготовившие задания и ребята, активно участвующие в решении задач, получают оценки.                                             Слайды 5-7

IV. Решение задач

Задача 1                                   Басня И.А.Крылова “Лебедь, Рак да Щука”                            Слайд 8 

Когда в товарищах согласья нет,

На лад их дело не пойдет,

И выйдет из него не дело, только мука.

Однажды Лебедь, Рак, да Щука

Везти с поклажей воз взялись,

И вместе трое все в него впряглись;

Из кожи лезут вон, а возу все нет ходу!

Поклажа бы для них казалась и легка:

Да Лебедь рвется в облака,

Рак пятится назад, а Щука тянет в воду.

Кто виноват из них, кто прав, - судить не нам;

Да только воз и ныне там.

История о том, как «лебедь, рак да щука везти с поклажей воз взялись», известна всем. Но мало кто пробовал рассматривать эту басню с точки зрения векторов, а правда ли, что воз всегда будет стоять на месте?  Результат получается  не всегда  похожий на вывод баснописца Крылова. Так ли это? Посмотрим.

Мы исследуем этот вопрос с точки зрения механики.

Цель нашего исследования – положение воза в басне И.А.Крылова “Лебедь, Рак да Щука”.

 Перед нами  задача на сложение нескольких сил, действующих под углом одна к другой.

Направление сил определены в басне так:
… Лебедь рвется в облака, Рак пятится назад, а щука тянет в воду. Обозначим векторами OA, OB, OC, направление движения.

Это значит, что одна сила, тяга лебедя (ОА), направлена вверх; другая, тяга щуки (ОВ), – вбок; третья, тяга рака (ОС), – назад. Не забудем, силу тяжести воза направленную отвесно вниз учитывать не будем, так как поклажа легка. В басне утверждается, что равнодействующая всех приложенных к возу сил равна нулю то есть “воз и ныне там”.

Применяя правило сложения векторов, строим на силах ОВ и ОС параллелограмм

сил, диагональ его OD даёт равнодействующую силу. Из рисунка видно, что векторы OD и OA не являются противоположными, значит их равнодействующая сила не равна нулю. В данном случае воз сдвинется с места, в какую сторону – будет зависеть от соотношения сил и от угла между векторами. Если сила лебедя не уравновешивает веса воза, то и в этом случае равнодействующая сила не будет равняться нулю, значит, воз сдвинется с места. Воз останется на месте при одном условии: если трение у его осей и о полотно дороги больше, чем приложенные усилия. Но это противоречит утверждению, что “поклажа бы для них казалась и легка”. Поэтому И.А.Крылов не мог с уверенностью утверждать, что “возу всё нет ходу”, что “воз и ныне там”. Данное утверждение не меняет смысла басни.

Учащийся у доски находит сумму векторов, и делает вывод прав ли Крылов, можно показать разные решения этой задачи, в одном из которых Крылов прав, а в другом нет.

                                                                                                                                        Слайд 9-10

Задача 2                                                                                                                             Слайд 11

Парашютист  после прыжка из самолёта  спускался вниз на землю со скоростью 4 м/с. Но вдруг поднялся ветер, и парашютиста стало сносить в сторону со скоростью 3 м/с. На каком расстоянии от точки выброса окажется парашютист, если время его свободного падения составляло 3 минуты.

Решение.

Ответ: на расстоянии 900 м от точки выброса парашютистов

Задача №796 учебника.

В этой задаче мы используем применение векторов при решении задач

                              C1                                                                                   Дано: Окружность, CD – диаметр,C1D1 – касательная,              

                                                        К                                         СС1С1D1, DD1С1D1, CC1=11cм, СD=27cм.

                                                                      D1                            Найти: DD1

         С                                                    D

                                                          Решение:

C1D1 – касательная к окружности, следовательно ОК⊥C1D1, т.к. СС1⊥С1D1 , DD1⊥С1D1 по условию, то СС1||DD1||OK. O – середина CD ОК – средняя линия трапеции СС1D1D. ОК – радиус окружности,  ОК= СD = 27∙0,5=13,5 см. Т.к. ОК - средняя линия трапеции СС1D1D, то ОК =(СС1+DD1)  0,5 DD1 = OK – 0,5 CC1 DD1 = 2∙13,5 – 11= 16 c

Ответ: 16 см

 V. Релаксация.                                                                                                     Слайд 12

А теперь  мы с вами немного отдохнем.

Займите удобное положение. Расслабьте лицо, руки, шею, тело. Представьте, как мышцы лица становятся мягкими, расслабленными. Почувствуйте свое расслабленное тело. Улыбнитесь и представьте, как вы красивы, когда улыбаетесь. Представьте, что все ваше тело улыбается.

А теперь представьте, что вы стоите перед полем, засеянным пшеницей. Полюбуйтесь его красотой. Посмотрите, какие краски вас окружают. Наклонитесь и рассмотрите налитые силой колосья. Какие они. Почувствуйте запахи этого поля. Вдохните аромат нивы. Прислушайтесь к звукам, которые вас окружают: шелесту пшеницы, пению птиц. Ощутите легкий ветерок на своем лице. Насладитесь покоем. Пройдитесь по этому полю. Почувствуйте, как колосья, мягкие и теплые, касаются ваших рук, ног, тела, как они нежно вас гладят, слегка щекочут. А теперь представьте, что ветер стих. Наклонитесь и рассмотрите один колосс. Из маленького зернышка, закопанного в землю, он вырос, стремясь к солнцу. Посмотрите, каким он стал сильным, мощным. Колос сам как вектор: зернышко – это его начало, а прекрасное соцветие – колос – конец. Его направление – это движение к солнцу. Все колосья как стрелы направлены вверх Сорвите один колос. Колосья как и вектора имеют длину, могут быть сонаправленными или противоположно направленными друг другу. Пройдите еще по полю. Погладьте колосья, подержите их в своих руках. Насладитесь красотой и покоем хлебной нивы. Пошлите ей свою любовь. Почувствуйте ступни ног, прилив сил к рукам и ногам. Ощутите спину, плечи. Улыбнитесь и сделайте глубокий вдох. Медленно каждый в своем режиме возвращайтесь в класс. Откройте глаза, потянитесь. Поверните голову влево, вправо. Улыбнитесь соседям, сидящим слева и справа.

VI. Дифференцированная самостоятельная работа, 10 мин

Вариант  1.

Базовый уровень

Упростите выражение:

.

Повышенный уровень

Прямая  BM, параллельная боковой стороне CD трапеции ABCD, делит основания на отрезки AM=12 см, MD=8см. Найдите среднюю линию трапеции.

Высокий уровень

В равнобедренной трапеции ABCD ∠А=∠D=600, BC=4 см, АВ=СD=6cм. Найдите среднюю линию трапеции.

Вариант 2.

 Базовый уровень

Упростите выражение:

Повышенный  уровень

Прямая NE, параллельная боковой стороне MP трапеции KNMP, делит основания на отрезки КЕ=10см, EP=14 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Высокий уровень

В равнобедренной трапеции меньшее основание равно 5 см, высота – 6см, углы при основании равны  450. Найти среднюю линию трапеции.

Время истекло ваши работы я проверю позже и  скажу результаты на следующем уроке

VII.  Домашнее задание, 1 мин                                                                          Слайд13

№778 (практическое задание на построение векторов), №802 (задание выразить вектор), №809 ( задача на нахождение средней линии трапеции)

VIII. Итог урока. Рефлексия, 3 мин

Где мы ещё встречаемся с понятием вектора?

В наши дни понятие вектор постоянно  встречается в газетных и журнальных публикациях, в выступлениях политиков, ученых, педагогов. Обсуждая важнейшие процессы в жизни общества, говорят о векторе реформ и его социальной составляющей, о векторе экономических преобразований и его изменении, о направлении вектора развития системы образования. Понятие о векторе как направленном отрезке вошло в сознание и речь современного образованного человека.

             Кроме наук, в которых векторы применяются в прямом значении, их ещё применяют и в переносном значении. Чаще всего для необходимого объяснения в спортивных командных играх.

        В спортивных играх тренер не всегда может показать игрокам данный манёвр или просто какой-либо финт. Ему помогают модели поля, на которых он изображает перемещение игроков векторами.

Предложенные примеры показывают единство геометрии и физики, геометрии и физкультуры. Их содержание отличается тем, что применение векторов при их решении (объяснении задач для команды) предпочтительнее, чем использование других средств.

        Вектор – чисто математическое понятие, которое применяется в физике или других науках, и которое позволяет упростить решение (пояснение) задач.

Карточка самооценки деятельности учащегося на уроке

Я вижу, что сегодня мы с вами поработали плодотворно. Спасибо, за урок. Урок окончен.