Методическая разработка "Производная и ее применение.Определение производной"
методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

 городского округа Тольятти «Лицей № 67»

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

по алгебре и началам анализа

«Производная и её применение.

Определение производной»

 (название)

                              класс                        _____10__  ____

                                                Составитель:

                                                                                                Столярчук Л.Г, учитель математики                                     первой категории

2016 г.

Определение производной

       1.Задачи, приводящие к понятию производной. Часто бывает так, что решая задачи, очень далекие друг от друга по содержанию, мы приходим к одной и той же математической модели. Сила математики состоит  в том, что она разрабатывает способы оперирования с той или иной математической моделью, которыми потом пользуются в других областях знаний. Вы умеете работать со многими математическими моделями – уравнениями, неравенствами, системами уравнений, системами неравенств. В этом параграфе речь пойдет о принципиально новой для вас математической модели. Сначала мы рассмотрим две различные задачи – физическую и геометрическую, процесс решения которых как раз и приведет к возникновению упомянутой новой математической модели.

       Задача 1 ( о скорости движения ). По прямой, на которой заданы начало отсчета, единица длины ( метр ) и направление, движется некоторое тело ( материальная точка ). Закон движения задан формулой

s = s ( t ),

       где t – время ( в секундах ),  s ( t ) – положение ( в метрах ) тела на прямой                         ( координата движущейся материальной точки ) в момент времени  t  по отношению к началу отсчета. Найти скорость движения тела в момент времени  t ( в м / с ).

       Решение. Предположим, что в момент времени  t тело находилось в точке М ( рис. 1 ):

ОМ =  s ( t ).

                 s

                               .                                          .                   .

                              О                                        М                 Р    

Рис. 1

       Дадим аргументу  t приращение  t , рассмотрим момент времени t + t. В этот момент времени координата материальной точки другая, тело в этот момент находится в точке Р ( рис. 1 ):

ОР = s ( t + t ).  

       Значит, за t ( с ) тело переместилось из точки М в точку Р, т. е. ) прошло путь МР. Имеем:

МР = ОР – ОМ = s ( t + t ) – s ( t ).

       Полученную разность мы назвали в предыдущем параграфе приращением функции:    s ( t + t ) – s ( t ) = s. Итак,

МР = s ( м ).

       Пусть s ( м ) тело прошло за t ( с ). Нетрудно найти среднюю скорость vср движения тела за промежуток времени [t,  t + t ]:

vср =  ( м / с ).

       ?Что такое скорость v ( t ) в момент времени  t ( ее называют иногда мгновенной скоростью )?

       Можно сказать так: это средняя скорость движения за промежуток времени [t, t + t ] при условии, что t  выбирается все меньше и меньше; иными словами, при условии, что t  → 0. Это значит, что

v( t ) = lim vср.

       t → 0

       Подводя итоги, получаем

                                                            v = lim  

                                                                                               t → 0

       Прежде чем формулировать и решать вторую задачу, обсудим вопрос, что следует понимать под касательной к плоской кривой. Термином “ касательная “ мы уже пользовались ( на интуитивном уровне ) в курсе алгебры 7 – 9-х классов. Например, мы говорили, что парабола y = x2  касается оси x в точке x = 0 или, что то же самое, ось x является касательной к параболе y = x2 в точке x = 0 ( рис. 2 ). И дело не в том, что ось x и парабола имеют одну общую точку, однако, вряд ли есть соблазн назвать ось y касательной к параболе. Обычно касательную определяют следующим образом.

Рис. 2

       Дана кривая L ( рис. 3 ), на ней выбрана точка М. Возьмем еще одну точку на кривой, причем достаточно близкую к М, - точку Р. Проведем секущую МР. Далее будем приближать точку Р по кривой L к точке М. Секущая МР будет менять свое положение, она как бы поворачивается вокруг точки М. Часто бывает так, что можно обнаружить в этом процессе прямую, представляющую собой некое предельное положение секущей; эту прямую – предельное положение секущей – называют касательной к кривой L в точке М.

Рис. 3

       Поставьте эксперимент: возьмите параболу y = x2, проведите   секущую ОР, где          О – вершина параболы, Р – текущая точка. Возьмите точку Р поближе к О, проведите вторую секущую. Возьмите точку Р еще ближе к О, проведите третью секущую и т. д. Вы обнаружите, что предельным положением этих секущих будет ось x – это и есть касательная к параболе в ее вершине ( что соответствует нашим интуитивным представлениям ).

       Задача  2 ( о касательной к графику функции ). Дан график функции y = f ( x ). На нем выбрана точка М ( a; f ( a )), в этой точке к графику функции проведена касательная    ( мы предполагаем, что она существует ). Найти угловой коэффициент касательной.

       Решение. Дадим аргументу приращение x, рассмотрим на графике точку Р с абсциссой a + x. Ордината точки Р равна  f (a + x )  ( рис. 4 ). Угловой коэффициент секущей МР, т. е. тангенс угла между секущей и осью x вычисляется по формуле

kсек = .

       Если мы теперь устремим x к нулю, то точка Р начнет приближаться по кривой к точке М. Касательную мы охарактеризовали как предельное положение секущей при этом приближении. Значит, естественно считать, что угловой коэффициент касательной kкас будет вычисляться по формуле

kкас =    = lim kсек .

    x → 0

Рис. 4

       Использовав приведенную выше формулу для kсек , получаем

                                                                                   kкас =    = lim     

                                                                                                  x → 0

       Замечание. В приведенном решении упущен случай, когда касательная перпендикулярна оси абсцисс ( см., например, рис. 5 ). Уравнение такой прямой имеет вид x = a, об угловом коэффициенте говорить некорректно, поскольку он не существует.

Рис. 5

        ! Подведем итоги. Две различные задачи привели в процессе решения к одной и той же математической модели – пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Многие задачи физики, химии, экономики и другие в процессе решения приводят к такой же модели. Значит, эту математическую модель надо специально изучить, т. е. :

       а) присвоить ей новый термин;

       б) ввести для нее обозначение;

       в) исследовать свойства новой модели.

Этим и займемся в следующем пункте.

       2. Определение производной.

       ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Пусть функция y = f ( x )  определена в конкретной точке x и в некоторой ее окрестности. Дадим аргументу x приращение x , но так, чтобы не выйти из указанной окрестности. Найдем соответствующее приращение функции y и составим отношение . Если существует предел этого отношения при условии x → 0, то указанный предел называют значением производной функции y = f ( x ) в точке x и обозначают  f /( x) .

       Итак,

                                                         lim = f /( x)

                                                                                 x → 0

       Для обозначения производной часто используют символ y / .

       Отметим, что y /  = f /( x) – это новая функция ( но, естественно, связанная с функцией   y  = f( x)) , определенная во всех таких точках x, в которых существует упомянутый выше предел. Эту функцию называют так: производная функции y  = f( x).

       Вернемся в предыдущий параграф. В примере 6 мы доказали, что для линейной функции y = kx + m справедливо равенство:

lim = k.

                                                                                                x → 0

       Это означает, что y / = k, или подробнее

                                                          ( kx + m ) / = k

       В частности,

                                                              ( x/ ) = 1

       В примере 7 мы доказали, что для функции y = x2 справедливо равенство:

lim = 2x.

                                                                                               x → 0

       Это означает, что y / = 2x или, подробнее,

x2 = 2x.

       Рассмотренные в предыдущем пункте задачи позволяют истолковать производную с физической и геометрической точки зрения.

       Физический ( механический ) смысл производной состоит в следующем. Если s ( t )    - закон прямолинейного движения тела, то производная выражает мгновенную скорость в момент времени t:

                                                              v / = s ( t )

       На самом деле, во многих отраслях науки используется обобщение полученного равенства: если некоторый процесс протекает по закону s =  s ( t ), то производная s / ( t ) выражает скорость протекания процесса в момент  времени  t .

       Геометрический смысл производной состоит в следующем. Если к графику функции y = f ( x ) в точке с абсциссой x = a  можно провести касательную, непараллельную оси y, то производная  f / ( a ) выражает угловой коэффициент касательной:

                                                            k = f / ( a )                  ( рис. 6 )  

Рис. 6

       Теперь истолкуем определение производной с точки зрения приближенных равенств. Пусть функция y = f ( x ) имеет производную в конкретной точке  x :

lim = f / ( x )  .

                                                                                          x → 0

       Это значит, что в достаточно малой окрестности точки x выполняется приближенное равенство

  f / ( x )

       или

  f / ( x )

       Содержательный смысл полученного приближенного равенства заключается в следующем:

      приращение функции почти пропорционально приращению аргумента, причем  коэффициентом пропорциональности является значение производной (в заданной       точке x).

Например, для функции y = x2 справедливо приближенное равенство =  2x .

       Если внимательно прочитать определение производной, то мы обнаружим, что в нем заложен алгоритм отыскания производной. Сформулируем его.

АЛГОРИТМ ОТЫСКАНИЯ

ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ  y = f ( x )

1. Зафиксировать значение x, найти  f ( x ).
2. Дать аргументу x приращение , перейти в новую точку  x + , найти                      f (x + ).
3. Найти приращение функции:  = f ( x + ) - f ( x ).
4. Составить отношение .
5. Вычислить предел   lim   .

                                                                   x → 0

       Этот предел и есть f / ( x ).

       Пример 1. Найти производную постоянной функции y = C.

       Решение. Воспользуемся алгоритмом отыскания производной.

1. Для фиксированного значения x имеем: f  ( x ) =С .
2. В точке x + имеем: f ( x + ) = С.
3. = С – С = 0.
4.   = = 0.

       5)  lim  = lim 0  = 0.

            x → 0           x → 0

       Итак,

( С /  ) = 0

       Пример 2. Найти производную функции y = .

       Решение. Воспользуемся алгоритмом отыскания производной.

       1) Для фиксированного значения x ( разумеется, мы полагаем, что x ≠ 0 ) имеем:

 f( x ) = .

       2) В точке x + имеем:   f ( x + ) = .

       3) = f ( x + ) - f ( x ) = - .

       4)  =   =.

       5) )  lim  = lim = .

              x → 0              x → 0

       Итак,

       Если функция y = f ( x ) имеет производную в точке x, то ее называют дифференцируемой в точке x. Процедуру отыскания производной функции y = f ( x ) называют дифференцированием функции y = f ( x ).

       Эти термины имеют глубокий математический смысл, но мы говорить о нем не будем ( нам не хватает теоретических знаний ).

       ? Как связаны между собой те два достаточно тонких свойства функций, которые мы обсудили в этом и предыдущем параграфах, - непрерывность и дифференцируемость функции в точке?

       Пусть функция y = f ( x ) дифференцируема в точке  x. Тогда к графику функции в точке М ( x, f ( x )) можно провести касательную, ( причем, напомним, угловой коэффициент касательной равен f / ( x )).

       Но тогда график не может “ разрываться “ в М, т. е. функция обязана быть непрерывной в точке x.

       Это были рассуждения “ на пальцах “ . Приведем несколько более строгие рассуждения. Если функция y = f ( x ) дифференцируема в точке  x, то выполняется приближенное равенство ≈  f / ( x ). Если в этом равенстве устремить к нулю, то и будет стремиться к нулю, а это и есть условие непрерывности функции в точке.

       Итак, если функция дифференцируема в точке x, то она и непрерывна в этой точке.

       Обратное утверждение неверно. Смотрите: функция y = │x│непрерывна везде, в частности, в точке x = 0 ( рис. 7 ), но касательная к графику функции в “ точке стыка “       ( 0; 0 ) не существует. Если в некоторой точке к графику функции нельзя провести касательную, то в этой точке не существует производная.

Рис. 7

       Еще один пример, более тонкий. На рис. 8 изображен график кусочной функции          y = f ( x ), где

f ( x ) =

       Функция  непрерывна на всей числовой прямой, в том числе в точке x = 0. И касательная к графику функции существует в любой точке, в том числе в точке x = 0. Но в точке x = 0 касательная совпадает с осью y , т. е. перпендикулярна оси абсцисс, ее уравнение имеет вид x = 0 , углового коэффициента у такой прямой нет, значит, не существует и f / ( 0 ).  

Рис. 8

       Итак, мы познакомились с новым свойством функции – дифференцируемостью. Но вы уже привыкли к тому, что формальные определения тех или иных свойств функции –   дело, конечно, хорошее, но у нас всегда были приемы “ считывания информации “ о наличии того или иного свойства функции по ее графику. Например, если график был сплошным, мы говорили, что функция непрерывна.

       ?Как по графику сделать вывод о дифференцируемости функции?

       Ответ фактически получен выше. Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема. Если в некоторой точке касательная не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция не дифференцируема. Так, по графику функции, изображенному на рис. 9, можно сделать такой вывод:

• функция непрерывна всюду, кроме точки x = a ;
• функция дифференцируема всюду, кроме точек x = a, x = b ( здесь касательная не существует ), x = с ( здесь касательная параллельна оси y ).

Рис. 9

Вычисление производных

1. Формулы дифференцирования. Формулами дифференцирования обычно называют формулы для отыскания производных конкретных функций, например,

( С / ) = 0;

( x ) /  = 1;

                                                                    ( kx  + m ) / = k;

( x2 ) / = 2x;

       ( надеемся, вы узнали эти формулы – они были получены выше ).

       Список формул дифференцирования будет пополняться постоянно и постепенно. Здесь мы добавим три формулы, они выводятся по алгоритму, приведенному выше, но определенные технические трудности при этом, естественно возникают. Поступим так: мы сначала укажем новые формулы дифференцирования, потом разберем несколько примеров, а в конце пункта ( в качестве дополнительного материала ) проведем доказательства новых формул.

       Итак, сообщаем три формулы дифференцирования:

( sin x ) / = cos x;

 ( cos x ) / = - sin x.

       Пример 1. Найти значение производной данной функции в данной точке:

а) y = 3x + 5,   x = 4;   б) y = x2 ,   x = - 1;   в) y =   , x =   ;

г) y = ,  x = 4;    д) y = sin x,  x = 0; е) y = cos x,  x = .

       Решение. а) Имеем: ( 3x + 5 ) / = 3, значит, производная равна 3 в любой точке x, в частности, в заданной точке x = 4.

       Итак, производная функции y = 3x + 4 в точке x = 4 равна 3; на математическом языке это удобнее записывать так: f / ( 4 ) = 3.

      б) Имеем: ( x2 ) / = 2x, значит,

f  / ( - 1 ) = 2 . ( - 1 ) = -2.

       в) Имеем: = -  , значит,

f / 

       г) Имеем: , значит,

f / = ( 4 ) = .

       д) Имеем: ( sin x ) / = cos x, значит,

f / ( 0 ) = cos 0 = 1.

       е) Имеем: ( cos x ) / = - sin x, значит,

f / 

       Важное замечание. Когда мы строим график функции y = sin x, то обратили внимание на следующее обстоятельство: из начала координат синусоида выходит как бы под углом 45 ° ( рис. 10 ). И там же сознались: почему это так, мы пока объяснить вам не

Рис. 10

можем, соответствующий разговор будет позднее. Теперь настало время для этого разговора.  Мы только что видели, что для функции y = sin x выполняется равенство

f / ( 0 ) = 1.

       Но в данном случае f / ( 0 ) – это угловой коэффициент касательной к графику функции y = sin x в точке x = 0. Если угловой коэффициент прямой равен 1, то прямая образует с положительным направлением оси x угол 45°. Это обстоятельство и учитывается при построении графика функции y = sin x.

       Пример 2. Составить уравнение касательной к графику функции y =  x2 в точке x = 1.

       Решение. Уравнение касательной, как уравнение всякой прямой, имеет вид y = kx + m. Найдем сначала k  –  угловой коэффициент касательной,  который,  как мы знаем,  равен    f  /( 1 ).

       Имеем: ( x2 ) = 2x, значит,

f  / ( 1 ) = 2 .  1 = 2.

       Итак, k = 2, т. е. уравнение касательной надо искать в виде

y = 2x + m.

       Осталось найти значение коэффициента m. Для этого воспользуемся тем, что касательная проходит через точку  на  параболе  y =  x2  с  абсциссой  x =  1, т. е. через точку   ( 1; 1 ). Имеем:

1 = 2 . 1 + m,   m = - 1.

       Итак, уравнение касательной имеет вид y = 2x – 1. На рис. 11 изображена парабола      y =  x2 и построена прямая y = 2x – 1; чертеж наглядно демонстрирует, что эта прямая касается параболы в точке ( 1; 1 ).

Рис 11

       Ответ: y = 2x – 1.

       Теперь мы выполним данное выше обещание: выведем новые формулы дифференцирования.

       Найдем производную функции y = .

       Воспользуемся алгоритмом отыскания производной.

       1) Для фиксированного значения x ( разумеется, мы полагаем, что x > 0 ) имеем:            f ( x ) =  .

       2) В точке x + имеем: f (x + ) = .

       3)  f (x + ) – f ( x ) = - .

5. . Здесь полезно применить искусственный прием: домножить и числитель, и знаменатель дроби на выражение . Что это даст? В числителе мы получим “ разность квадратов “

       т. е. ( x + ) – x или , а сама дробь примет вид

       Итак, =

       5)  lim  = lim =  

            x → 0            x → 0

       Таким образом,

=

       Найдем производную функции y = sin x.

       Воспользуемся алгоритмом отыскания производной.

1. Для фиксированного значения x имеем: f ( x ) = sin x.
2. В точке x +  имеем: f (x + ) = sin (x + ).
3.  f (x + ) – f ( x ) = sin (x + ) – sin x.

       Преобразуем полученное выражение, воспользовавшись формулой “разность синусов“:   

sin s – sin t = 2 sin  

        Получим

       4) В правой части полученного равенства ( обратите внимание ) три раза содержится выражение Есть смысл обозначить его буквой t ; получим

       5) lim  lim

  → 0         → 0

       Далее рассуждаем так: → 0, а t = , значит, t → 0 и под знаком предела вместо условия → 0 можно записать условие t → 0.

       Таким образом,

 lim  lim = lim . 

                             → 0           t  → 0                                             t  → 0                t  → 0

       Получили произведение пределов. Первый предел равен 1 – это первый замечательный предел. А второй предел равен cos x . В итоге получаем cos x.

       Итак,

( sin x ) / = cos x.

       Аналогично выводится формула

( cos x ) / = - sin x.

       2. Правила дифференцирования. В этом пункте речь пойдет о правилах нахождения суммы, произведения, частного функций. Приведем эти правила.

       Первое правило. Если функции y = f ( x ) и  y = g ( x ) имеют производную в точке x, то и их сумма имеет производную в точке x, причем производная суммы равна сумме производных:

( f ( x ) + g ( x ) ) / = f / ( x ) + g / ( x )

       Естественно, что на практике это правило формулируют короче: производная суммы равна сумме производных, причем речь может идти о дифференцировании суммы любого числа функций.

       Например, ( x2 + sin x ) / = ( x2 ) / + ( sin x ) / =2x + cos x.

       Второе правило. Если функция y = f ( x )  имеет производную в точке x, то и функция y =k f ( x )  имеет производную в точке x, причем

( kf ( x )) / = kf ( x )

       На практике это правило формулируют короче: постоянный множитель можно вынести за знак производной.

       Например,

( 5 x2 ) / = 5 ( x2 ) / = 5 .  2x = 10x;

       Третье правило. Если функции y = f ( x ) и  y = g ( x ) имеют производную в точке x, то и их произведение имеет производную в точке x, причем:

( f ( x ) . g ( x ) ) / = f / ( x ) . g  ( x ) + f ( x ) . g / ( x )

       На практике это правило формулируют так: производная произведения двух функций равна сумме двух слагаемых; первое слагаемое есть произведение производной первой функции на вторую функцию, а второе слагаемое есть произведение первой функции на производную второй функции.

       Например,

(( 2 x + 3 ) sin x ) / = ( 2 x + 3 ) / sin x + ( 2 x + 3 ) ( sin x ) / =

 2 sin x + ( 2 x + 3 ) cos x.

       Четвертое правило. Если функции y = f ( x ) и  y = g ( x ) имеют производную в точке x,  причем в этой точке g ( x ) ≠ 0, то и частное имеет производную в точке x, причем:

        Например,

       Дальнейший план изложения материала в этом пункте будет таким. Сначала мы выведем первые два правила дифференцирования – это сравнительно нетрудно. Затем рассмотрим ряд примеров на использование сформулированных правил и формул дифференцирования, чтобы вы к ним привыкли. В самом конце пункта мы приведем доказательства третьего и четвертого правил дифференцирования – для тех, кому это интересно.

       Выведем правило дифференцирования функции

y = f ( x ) + g ( x ).

       Воспользуемся алгоритмом отыскания производной.

       1) Положим, ради удобства, f ( x ) + g ( x ) = h ( x ). Для фиксированного значения x имеем:  h ( x ) = f ( x ) + g ( x ).

       2) В точке имеем:

h ( )  = ( f ( ) + g ().

       3)  h ( )  - h ( x ) =  ( f  ( ) + g ( )) – (( f ( x ) + g ( x )) =

       = ( f ( ) – f ( x )) + ( g ( ) – g ( x )) = .

       Итак,

 .

      4) .

       5) lim  lim  lim lim  = f / ( x ) + g / ( x ). 

      → 0          → 0                               → 0         → 0

       Итак,

( f  ( x ) + g ( x )) / = f / ( x ) + g / ( x ). 

       Выведем  правило дифференцирования функции

y = kf ( x ).

       Воспользуемся алгоритмом отыскания производной.

1. Положим, ради удобства, k  f ( x ) = h ( x ). Для фиксированного значения x имеем:   h ( x )= k  f ( x ).
2. В точке имеем: h ( ) = k  f ().

       3)  h ( )  - h ( x ) = k  f ( ) –k  f ( x ) =

       =k ( f ( ) – f ( x )) = k .    

       Итак,

 k .

       4) .

       5) ) lim  lim k lim  =  k f / ( x ) . 

        → 0          → 0                   → 0        

       Итак,

( k f / ( x )) / = k f / ( x ) .

       Пример 3. Найти производную функции

y = 3x2 – 4x + 2.

       Решение. Имеем:

       y / = ( 3x2 – 4x + 2 ) / = ( 3x2 ) / + ( - 4x + 2 ) / = 3 ( x2 ) / + ( - 4 ) = 3 . 2x – 4 = 6x – 4.

       Мы воспользовались первым и вторым правилами, а также формулами дифференцирования линейной функции y = - 4x + 2 и функции y = x2 .

       Пример 4. Найти производную функции:

       а) y =x3 ;    б) y = x4 ;     в) y = x5.

       Решение. а) Представим x3  в виде x2 . x и применим правило дифференцирования произведения. Получим:

       ( x3 ) / = ( x2 . x ) / = ( x2 ) / . x + x2 . (  x ) / = 2x . x + x2 .1 = 3x2.

       Итак,

( x3 ) / = 3x2.

       б) Представим x4 в виде x3 . x и применим правило дифференцирования произведения. Получим:

( x4 ) / = ( x3 . x ) / = ( x3 ) / . x + x3 . ( x ) / = 3x2 . x + x3 . 1 = 4x3.

       Итак,

( x4 ) / = 4x3.

       в) Представим x5 в виде x4 . x и применим правило дифференцирования произведения. Получим:

       ( x5 ) / = ( x4 . x ) / = ( x4 ) / . x+ x4 .(  x ) / = 4x3 . x + x4 .1 = 5x4.

       Итак,

( x5 ) / = 5x4.

       Сравним тепрь пять формул: две формулы, которые мы знали раньше, и три формулы, которые вывели в примере 4. Смотрите:

( x ) / =1;

( x2 ) / = 2x;

   ( x3 ) / = 3x2;

  ( x4 ) / = 4x3;

( x5 ) / = 5x4.

       Возникает естественная гипотеза: для любого натурального показателя n справедлива формула дифференцирования:

                                                              ( xn ) /  =  n xn – 1                        ( 1 )

       Важное замечание. “ Естественная гипотеза “ – это стилистический оборот из области интуиции. Интуиция хороша для открытия новых фактов, но не для их обоснования. Формулу ( 1 ) мы “ прочувствовали “, но строго не обосновали. Приведем      ( для интересующихся ) строгое доказательство.

       Мы знаем, что

( x ) / = 1.

       Эту формулу можно переписать в виде

( x ) / = 1 . x0.

       Значит, формула ( 1 ) верна для n = 1.

       Предположим, что формула ( 1 ) верна для натурального числа n = k, т. е. докажем, что

( xk ) / = k . xk – 1.

       Докажем, что тогда формула ( 1 ) верна и для следующего натурального числа n=k+1, т. е. докажем, что

( xk + 1 ) / =(  k + 1 ) xk.

       В самом деле, имеем:

( xk + 1 ) / =(  xk . x ) / = ( xk ) / . x + xk . ( x ) / =

= k xk - 1 . x + xk . 1  = ( k + 1 ) xk.

       Итак, для n = 1 формула ( 1 ) верна – это мы проверили. Далее, мы доказали, что если формула ( 1 ) верна для n = k, то она верна и для n = k + 1. Воспользуемся этим: формула        ( 1 ) верна для n = 1, значит, она верна и для следующего числа n = 2; так как она верна для n = 2, то она верна и для следующего числа n = 3 и т. д. Значит, формула ( 1 ) верна для любого натурального числа n.

       Приведенный метод рассуждений носит в математике название метод мааатематической индукции.

       Зная формулу ( 1 ) и соответствующие правила дифференцирования, можно найти производную любого многочлена.

       Пример 5. Найти точки, в которых касательная к графику функции y =  x3 – 3x + 2  параллельна оси x.

       Решение. Имеем:

y = ( x3 – 3x + 2 ) / = 3x2 – 3.

       Если касательная параллельна оси x, то ее угловой коэффициент равен нулю. Но, с другой стороны, угловой коэффициент касательной равен значению производной в абсциссе точки касания. Значит, нам нужно найти точки, в которых производная обращается в нуль. Имеем:

3x2 – 3 = 0 ;

x1 = 1, x2 = - 1.

       Далее,

f ( 1 ) = 13 – 3 . 1 + 2 = 0;

f ( - 1 ) = ( - 1 )3 – 3 . ( - 1 ) + 2 = 4.

       Итак, касательная, проведенная к графику функции  y =  x3 – 3x + 2 в точке ( 1; 0 ) или в точке ( -1; 4 ), будет параллельна оси x. На рис 12 дана геометрическая иллюстрация полученног результата ( мы учли , что f ( - 2 ) = 0, т. е. график пересекает ось абсцисс в точке x = - 2).

Рис. 12

       Пример 6. Найти производную функции:

       а) y = tg x;     б)  y = ctg x.

       Решение. а) Воспользуемся тем, что

tg x = ,

       и правилом дифференцирования частного:

       Таким образом, мы вывели еще одну формулу дифференцирования:

( tg x ) / =

       Понятно, что эта формула справедлива лишь при допустимых значениях x, т. е. при     x ≠

       б) Рассуждая аналогично ( советуем вам выполнить соответствующие рассуждения ), получим

       Вы привыкли к тому, что в математике, наряду с прямой задачей, часто решают обратную. До сих пор мы говорили о том, как по функции найти ее производную. Но часто бывает так, что известна производная, а найти нужно саму функцию. Если, например, известно, что f / ( x ) = cos x, то f ( x ) = sin x ; в самом деле, производная от sin x равна cos x. Если известно, что f / ( x ) = x2, то нетрудно догадаться, что f  ( x ) = ; в самом деле,

       Позднее мы подробнее поговорим о решении указанных обратных задач, т. е.  о том, как, зная производную функции, найти саму функцию.

       3. Дифференцирование функции y = f ( kx + m ). Мы знаем, чему равны производные функций y = xn, y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = . Но часто на практике приходится находить производные функций y = 2 sin x, y = cos и т. д . Возникает вопрос: если мы знаем, чему равна производная функции y = f ( x ) , то как вычислить производную функции y = f ( kx + m ).

       С функцией y = 2 sin x можно поступить так. Известно, что

sin 2x = 2 sin x cos x.

       Тогда

( sin 2x ) / = ( 2 sin x cos x ) / = 2 (( sin x ) / cos x + sin x ( cos x ) /) =

= 2 ( cos x cos x + sin x ( - sin x )) = 2 ( cos2 x – sin2 x ) = 2 cos 2x.

       Итак, воспользовавшись правилом дифференцирования произведения и правилом вынесения постоянного множителя за знак производной, а также формулами синуса и косинуса двойного аргумента, мы доказали, что

( sin 2x ) / = 2 cos 2x.

       Хорошо, скажете вы, а как быть с производными функций

y = sin 3x, y = cos 4x?

       Неужели каждый раз придется применять соответствующие формулы тригонометрии? Отвечаем: не придется. Обратите внимание на выделенную формулу. Чем она отличается от формулы дифференцирования функции y = sin x? Только тем, что появился дополнительный множитель 2, да в роли аргумента выступает не x, а x. Точно так же будет обстоять дело и в других аналогичных случаях: используется отдельная формула дифференцирования и появляется дополнительный множитель, равный коэффициенту       при x. Например, справедливы следующие формулы:

( cos 4x ) / = - 4 sin 4x;

 ( sin 3 x ) / = 3 cos 3x;

(( 2x + 1 ) 5 ) / = 2. 5 ( 2x + 1 ) 4 = 10 ( 2x + 1 ) 4.

       Вообще, справедливо следующее утверждение.

       ТЕОРЕМА. Производная функции y = kx + m вычисляется по формуле

( f ( kx + m ) ) / = k f / ( kx + m ) 

       Доказательство мы приведем в конце пункта – опять, как и в предыдущих пунктах, это материал, не обязательный для всех.

       Пример 7. Найти значение производной функции

в точке x= 1.

       Решение. Сначала найдем производную в произвольной точке x. Известно, что

       По этой же формуле мы найдем интересующую нас производную, но при этом учтем два обстоятельства:

1. под знаком корня следует писать не x, а 7 – 2,16 x;
2. следует записать дополнительный множитель, равный –2,16, - это коэффициент при x. Таким образом,

 = - 2,16 . 

       Чтобы вычислить f / ( 1 ) , нужно в полученное выражение подставить x = 1:

f / ( 1 ) = - 2,16 . = - 2,16 . 

       Ответ: f / ( 1 ) =

       Завершая этот параграф, докажем сформулированную выше теорему.

       Доказательство теоремы.   Введем обозначение

t = kx + m

       и заметим, что если аргументу x придать приращение , то переменная t получит приращение k. В самом деле,

t ( x ) = kx + m, t ( x + ) = k ( x + ) + m,

= ( k ( x + ) + m ) – ( kx + m ) = k.

       Теперь применим привычный 5-шаговый алгоритм отыскания производной.

1. Положим, ради удобства, f ( kx + m ) = h ( x ).

       Для фиксированного значения x имеем:

h ( x ) = f ( kx + m ) = f ( t ).

       2 ) В точке x + имеем:

h ( x + ) = f ( k (x + ) + m ) =

f ( kx + m + k ) = f ( t + ). 

       3)

       4)

       5) lim     

       Теорема доказана.

Список  литературы

1. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. Под ред. Алимова Ш.А. – М: Просвещение. 1998 г.

2. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11классов общеобразовательных учреждений. Под ред. Мордковича А.Г. –  Мнемозиана. 1999  г.

3. Дифференциальное и интегральное исчисление. Учебник для ВТУЗов. Под ред. Пискунова Н.С. – М: Наука. 1978 г.