«Применение определенного интеграла при решении экономических задач»
творческая работа учащихся на тему

Исследовательская работа

Тема: «Применение определенного интеграла

при решении экономических задач»

2016

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение

 Элементы математического анализа занимают значительное место в области математики. Язык производной и интеграла позволяет строго формулировать многие законы природы. В курсе математики с помощью дифференциального и интегрального исчислений исследуются свойства функций, строятся их графики, решаются задачи на наибольшее и наименьшее значения, вычисляются длины, площади и объемы геометрических фигур. Однако возможности методов математического анализа такими задачами не исчерпывается. В физике интеграл используют для вычисления работы переменной силы, пути, пройденный телом, нахождения давление жидкости на вертикальную пластинку, вычисление статических моментов и координат центра тяжести плоской кривой; в биологии - для нахождения численности популяций, биомассы популяций, средней  длины пролета птиц. Приведенные примеры далеко не исчерпывают возможных приложений определенного интеграла. Можно привести еще  массу примеров применения определенного интеграла. Нас заинтересовало применение определенного интеграла для решения различных экономических задач. Результат поисков и вычислений мы изложили в нашей работе.

2. Основная часть
   

Объект исследования - определенный интеграл функции одной переменной.

     Предмет исследования - определенный интеграл в задачах экономики.
     Целью данной работы является изучение возможностей применения определенного интеграла при решении прикладных задач.

Задачи исследования: 

1. Проанализировать научно-методическую литературу по теме исследования.
2. Систематизировать и обобщить знания об определенном интеграле.
3. Показать возможности использования определенного интеграла  при решении прикладных задач экономики.

Гипотеза: применение определенного интеграла во многом облегчает решение прикладных задач экономики.

1. Определенный интеграл. Основные термины  и условия существования

Интеграл  (от лат. Integer – целый) – одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой – измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени и т. п.  Существуют два  определения определённого интеграла.

  Определение 1. Приращение  F(b)-F(a)  любой из первообразных функций F(x)+c при изменении аргумента от x=a до x=b называют определённым интегралом от a до b функции f  и обозначается , где функция F является первообразной для функции f на некотором промежутке D, а числа а и b принадлежат этому промежутку. Это можно записать следующим образом:    (1)      формула Ньютона-Лейбница.

  Определение 2.  Пусть функция f (X) задана в некотором промежутке  [a, b]. Разобьем этот промежуток произвольным образом на части, вставив между a и b точки деления. Наибольшую из разностей ΔXi = X - X           (i = 0, 1,2, ..,n-1) обозначим через λ. Возьмем в каждом из частичных промежутков [X, X] по произволу точку X = ξ ; X ≤  ξ ≤  X (i = 0, 1, … , n-1) и составим сумму σ = f(ξ) ΔXι . Пусть I конечный предел данной суммы:   I = σ.

         Конечный предел I суммы σ при называется определенным интегралом функции f(x) в промежутке от a до b и обозначается символом

I = f(x)dx

В случае существования такого предела функция f (x) называется интегрируемой в промежутке [a, b]  Другими словами, определенный интеграл есть предел интегральной суммы, число членов которой неограниченно возрастает, а каждое слагаемое стремится к нулю. Числа a и b носят название, соответственно, нижнего и верхнего пределов интеграла. При постоянных пределах определенный интеграл представляет собой постоянное число. Приведенное определение принадлежит Риману (B.Riemann), который впервые высказал его в общей форме и исследовал область его применения. Символ  введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова сумма). Само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.)

2. Примеры применение определенного интеграла в экономике

    Интегральное исчисление дает богатый математический аппарат для моделирования и исследования процессов, происходящих в экономике. Интегральное исчисление используют для прогнозирования материальных затрат, нахождения потребительского излишка , определения объема выпуска продукции, определения экономической эффективности капитальных вложений. И это далеко не полный список приложений. Определённый интеграл является не только мощным средством решения прикладных экономических задач, но и универсальным языком всей экономической теории, создает новые возможности для экономических исследований. Остановимся на нескольких примерах использования интегрального исчисления в экономике.

При прогнозировании материальных затрат часто возникает необходимость вычисления площадей сложных фигур. Приведем соответствующий пример,  для решения которого используется определенный интеграл.

Пример 1. Палуба корабля напоминает две пересекающиеся параболы. Сколько необходимо краски для ее покрытия, если длина корабля 80 м, ширина в центре – 20 м, а на каждый квадратный метр необходимо 0,25 кг краски.

Решение: Введем систему координат следующим образом: начало координат поместим в центре корабля, а ось x вдоль палубы. Чтобы найти площадь палубы, определим уравнение одной из парабол.

Общее уравнение параболы имеет вид.

Так как точки (-40;0), (40;0), (0;10) принадлежат параболе, то решением системы уравнений    

являются следующие числа: а =-, b=0, с=10. Таким образом, уравнение искомой параболы имеет вид  у=.

Площадь половинки палубы корабля равна

Для окраски половины палубы необходимо 0,25 S =      (кг) краски. Поэтому для покраски всей палубы потребуется    2∙0,25S=2∙ 266,7 (кг).

Пример 2. Определить объем продукции, произведенной рабочим, если производительность труда характеризуется функцией . Определить выработку рабочего: а) за весь рабочий день; б) за третий час работы;  в) за последний час работы, если продолжительность рабочего дня 6 часов; г) провести экономический анализ задачи.

Решение: Если непрерывная функция f(t) характеризует производительность труда рабочего в зависимости от времени t, то объем продукции, произведенной рабочим за промежуток времени от t1 до t2 будет выражаться формулой:  . В нашем случае    

 Найдем общую выработку рабочего за весь день (6 часов)

Определим выработку рабочего за третий час работы

Определим  выработку рабочего за последний час работы

Вероятно, работа утомительна и требует большого напряжения, поэтому к концу дня падает производительность труда.

3. Применение определенного интеграла в оценке дифференциации доходов населения

          Определенный интеграл применяют и при оценке дифференциации доходов населения. Интегральное исчисление дает богатый математический аппарат для моделирования и исследования процессов, происходящих в экономике. Еще в начале XX в. экономист В. Парето установил, что неравенство в доходах населения присуще каждой стране. В 1920-е гг. ученые-статистики американец Макс Лоренц и итальянец  Коррадо Джини независимо друг от друга провели исследование неравенства распределения дохода и разработали специальные показатели, позволяющие судить о неравенстве этого распределения: кривую Лоренца  и коэффициент Джини.  Введем эти понятия.       Кривая Лоренца отражает кумулятивные (накопленные) доли дохода населения. Построение кривой Лоренца удобнее всего рассмотреть на следующем примере: 
        Представим экономику, состоящую из 3-х агентов: А, B, C. Доход агента А составляет  200 единиц, доход  агента    В составляет 300 единиц, доход агента С составляет 500 единиц. Для построения кривой  Лоренца   найдем доли   индивидов в общем доходе. Общий доход составляет 1000. Тогда доля индивида А составляет 20%,    доля В   составляет     30%, доля С составляет 50%. 
  Далее будем искать кумулятивные (накопленные) доли доходов и численности населения для индивидов, начав с самого бедного и постепенно включая более богатых индивидов: Доля в населении индивида А составляет 33%. Доля его дохода составляет 20%.Затем включим в анализ более богатого индивида – индивида В. Совместная доля А+В в населении составляет 67%. Совместная доля А+В в доходе составляет 50% (20%+30%). 
Далее включим в анализ еще более богатого индивида С. Совместная доля А+В+С в населении составляет 100%. Совместная доля А+В+С в доходе составляет 100% (20%+30%+50%). Отметим полученные результаты на графике. Линия, соединяющая левую нижнюю точку и правую верхнюю точку графика, называется линией равномерного распределения доходов. Это гипотетическая линия, которая показывает, что было бы, если доходы в экономике распределяются равномерно. При неравномерном распределении доходов кривая Лоренца лежит левее этой линии, причем чем больше степень неравенства, тем сильнее изгиб кривой Лоренца. А чем ниже степень неравенства, тем более она приближена к линии абсолютного равенства. В нашем случае кривая Лоренца выглядит как кусочно-линейный график. Это получилось так, потому что в нашем анализе мы выделили только три группы населения. С ростом числа рассматриваемых групп населения кривая Лоренца будет выглядеть в виде кривой. Кривая Лоренца позволяет судить о степени неравенства доходов в экономике по ее изгибу. Для количественного измерения степени неравенства дохода по кривой Лоренца существует специальный коэффициент – коэффициент Джини. Коэффициент Джини равен отношению площади фигуры, ограниченной прямой абсолютного равенства и кривой Лоренца, к площади всего треугольника под кривой Лоренца. 

Чем выше неравенство в распределении доходов, тем больше коэффициент Джинни приближается к единице. И чем выше равенство в распределении доходов, тем меньше данный коэффициент. При абсолютном равенстве он достигает нуля.

Задача:  По данным исследования распределения доходов в одной из стран кривая Лоренца может быть описана уравнением , где  х – доля населения, у – доля доходов населения. Найти коэффициент Джинни.

Решение: Изобразим заданную кривую

Это  четверть окружности с центром в точке  (0,1),  радиуса  R=1, удовлетворяющая условиям  (область изменения функции) и  ( по смыслу задачи).  Проведем также и биссектрису у=х. Тогда коэффициент Джини вычисляется по формуле

  Тогда коэффициент Джинни

Высокое значение коэффициента показывает существенное неравномерное распределение доходов среди населения в данной стране.

4. Кривая  Лоренца и коэффициент Джини для России

            После изучения материалов по теме, мы заинтересовались, как же выглядит кривая Лоренца и коэффициент Джини для нашей страны,   как она менялась  с течением времени. В интернете мы нашли множество графиков и таблиц. Предлагаем их и вам ( приложение 1). Кривые Лоренца для России, построенные на основе экспертных оценок  распределения денежных доходов населения в РФ, и определенные коэффициенты Джини (приложение 2), свидетельствуют об усилении неравенства населения в доходах. Неравенство в распределении доходов является не только важным экономическим показателем, но и характеристикой социального благополучия или неблагополучия в обществе. Именно поэтому оно выходит на передний план в современных дебатах о перспективах глобального и регионального развития. 

III. Заключение

Трудно назвать научную область, в которой бы не применялись математические методы изучения реальных объектов и процессов. Одним из важнейших разделов математики, используемых для описания и решения прикладных задач, является интегральное исчисление.

Рассмотренные в данной работе примеры практических задач, дают нам ясное представление о значимости определенного интеграла. Так в процессе выполнения были рассмотрены примеры практических задач в области экономики, решаемые с помощью определенного интеграла. Конечно, это еще далеко не исчерпывающий список задач, которые используют интегральный метод, но даже они показывают широкое применение этого метода при решении реальных прикладных задач. Всё это подчеркивает значимость и актуальность выполненной работы, и позволяет считать, что цель работы достигнута.

Эта работа позволила нам глубже понять и систематизировать знания об определенном интеграле и возможностях его применения в различных областях науки. Рассмотренный материал работы оказался нам очень полезен и в подготовке к выпускным экзаменам, и возможно, пригодится и в дальнейшей нашей учебе.

IV. Список использованных источников и литературы

1. Красс, М. С., Чупрынов Б. П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. 4-е изд.,испр. — М.: Дело, 2003. 688 с.
2. Основы экономической теории. Курс лекций. Под редакцией Баскина А. С., Боткина О. И., Ишмановой М. С. Ижевск: Издательский дом «Удмуртский университет», 2000.
3. Нуреев, Р. М. Курс микроэкономики: Учебник для вузов. — 2-е изд., изм.-М.: Норма, 2005. 576 с.
4. Солодовников, А. С., Бабайцев В. А., Браилов А. В., Шандра И. Г. Математика в экономике: учебник: ч.2. М.:
5. Финансы и статистика. 2007. — 560 с.
6. Журнал «Молодой ученый» № 19,  2015 год. 
7.  Ляпунова М.Г. Приложение определенных интегралов к решению задач геометрии и физики: Учебно-методическое пособие./ Благовещенск,     2000. – 44 с.

Приложение 1

Приложение 2