Скорость, движение, время. Задачи на движение.
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) на тему

В.К. Кузнецова,

учитель математики ГБОУ «Школа № 329» г.  Москва,

кандидат педагогических наук

Готовимся к ЕГЭ

Скорость, движение, время. Задачи на движение.

В данном пособии собраны задачи на движение. При составлении систем для таких задач обычно не требуется никаких особенных математических знаний. Требуется лишь здравый смысл и понимание того, что

Расстояние = скорость х время

Существуют два подхода к решению задач на движение:

1.  С помощью таблиц — самый распространенный прием, который в большинстве случаев помогает быстро получить уравнение, но не всегда в некоторых задачах этот прием дает положительный результат.
2.  Последовательный анализ условия с привлечением иллюстраций — классический прием из средней школы, о котором к 11-му классу многие забывают.

Обратите внимание: на практике любую задачу B14 можно решить каждым из этих способов. И ответ получится одинаковым. Однако некоторые задачи проще решаются таблицами, а другие — иллюстрациями и анализом. Поэтому какой способ выбрать — зависит исключительно от предпочтений ученика.

Примеры решения задач

Задачи на движение в одном направлении

Задача № 1.

Два человека отправляются одновременно из одного и того же места на прогулку до опушки леса, находящейся в 4,5 км от места отправления. Один идет со скоростью 2,4 км/ч, а другой — со скоростью 3 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от места отправления произойдет их встреча? Ответ выразите в километрах.

Решение:

Задача № 2

Из пункта  в пункт , расстояние между которыми  км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на  км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт  на  часа позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Что здесь лучше всего обозначить за ? Скорость велосипедиста. Тем более, что ее и надо найти в этой задаче. Автомобилист проезжает на  километров больше, значит, его скорость равна .

Нарисуем таблицу. В нее сразу можно внести расстояние — и велосипедист, и автомобилист проехали по  км. Можно внести скорость — она равна  и  для велосипедиста и автомобилиста соответственно. Осталось заполнить графу «время».

Его мы найдем по формуле: . Для велосипедиста получим , для автомобилиста .
Эти данные тоже запишем в таблицу.

Вот что получится:

Остается записать, что велосипедист прибыл в конечный пункт на 4 часа позже автомобилиста. Позже — значит, времени он затратил больше. Это значит:

Решаем уравнение:

Получим:

 Преобразуем:

Найдем дискриминант  и корни:

, .

Ясно, что  не подходит по смыслу задачи — скорость велосипедиста не должна быть отрицательной.

Ответ: скорость велосипедиста 10 км/час.

Задачи на движение вдогонку 

Как и большинство других текстовых задач на движение такие задачи лучше всего решаются с помощью таблиц.

Задача № 3

Данный пример интересен тем, что мы сравниваем время движения двух объектов — мотоциклиста и велосипедиста — при этом сама скорость движения вдогонку нас мало интересует. При этом возникает опасность неправильно составить исходное уравнение.

Решить задачу: из города А в город Б, расстояние между которыми равно 240 км, одновременно выехали велосипедист и мотоциклист. Скорость мотоциклиста на 40 км/ч больше скорости велосипедиста, а в пункт Б он приехал на 8 часов раньше, чем велосипедист. Найдите скорость велосипедиста. Ответ дайте в км/ч.

Ключевое правило при сравнении времени движения следующее:

1. Если в задаче указано общее время движения, то нужно сложить  полученные дроби, отвечающие за время.
2. Если же время движения сравнивается (как в данной задаче), то нужно приравнять их и добавить слагаемое по принципу: «больше = меньше + число» либо «меньше = больше + число».

Последнее правило естественным образом следует из самой терминологии «больше — меньше»: чтобы получить большее число, нужно к меньшему числу прибавить что-то еще. Если же вместо прибавки мы будем вычитать, то получим еще меньшее, что никак не согласуется с условием задачи.

Кроме того, необходимо помнить, что при равном расстоянии (а в задачах B14 расстояния очень часто оказываются равны) объект с большей скоростью накроет это расстояние за меньшее время. И наоборот: чем меньше скорость, тем больше времени потребуется на преодоление пути.

Решение:

Обозначим за х км/ч скорость велосипедиста. Составим таблицу

Время мотоциклиста на 8 часов меньше времени велосипедиста.

Составим уравнение:

Необходимо помнить, что время велосипедиста больше, чем время мотоциклиста. Поэтому от большей дроби вычитаем меньшую.

Решим уравнение:

Получим, x=20 или x= -60. -60 – посторонний корень. Скорость велосипедиста равна 20 км/ч.

Ответ: 20 км/ч.