урок- исследование "Изучение нового свойства квадратного уравнения"
план-конспект урока по алгебре (8 класс) на тему

Урок алгебры в 8 классе учителя математики Каплиной С.В.  по теме:

«Изучение нового свойства квадратного уравнения».

          Цели: 1) Способствовать развитию умения устанавливать взаимосвязь между коэффициентами и корнями квадратного уравнения, в случае решения уравнения ах² + вх + с = 0 , в котором  а + в + с = 0. Способствовать расширению и углублению знаний учащихся о квадратных уравнениях.

           2) Способствовать формированию таких исследовательских умений, как умение выдвигать гипотезу и обоснования для её подтверждения или опровержения, умения делать вывод.

           3) Способствовать воспитанию трудолюбия, целеустремленности, умения работать в коллективе.

       Тип урока: урок-исследование.

       Оборудование к уроку:

• мультимедийный проектор;
• ноутбук;
• карточки для проведения рефлексии ;
• карточки с самостоятельной работой. 

      Формы обучения:  Индивидуальная, фронтальная работа, групповая (коллективная) деятельность.

Ход урока:

     Учащимся сообщаются  цели урока:

1. Повторение и контроль полученных ранее  знаний.
2. Исследовательская работа по изучению нового свойства квадратных уравнений.

     Первый этап урока: повторение пройденного материала.

        - Квадратные уравнения - это фундамент, на котором возвышается величественное здание алгебры. Они находят широкое применение при решении других типов уравнений и являются ступенькой в изучении более сложного материала средней и старшей школы. Поэтому каждый из вас должен уметь верно и рационально решать  эти уравнения. И в этом нам поможет исследование, которое мы сегодня проведем на уроке. Но для начала ответим на вопросы:

1.Чему равны коэффициенты в уравнении: 2x2+x-3=0. Найдите их сумму.

2.Сколько корней может иметь неполное квадратное уравнение вида ax2+c=0?

3.Сколько корней имеет квадратное уравнение, если дискриминант положительный?

4.В каком случае квадратное уравнение имеет два равных корня?

5.Назовите  формулу дискриминанта квадратного уравнения.

6.Напишите формулу корней квадратного уравнения, в котором второй коэффициент является четным числом.

7. Сформулируйте теорему Виета.

8.Чему равна сумма корней квадратного уравнения ax2+bx+c=0?

      - Сегодня мы с вами решим одно квадратное уравнение  3х2 +2х-1=0. 

Назовите коэффициенты  этого уравнения ( а= 3, в = 2, с = -1). Математики никогда не пройдут мимо  возможности облегчить себе вычисления. По какой формуле можно быстрее  найти корни этого  уравнения? Правильно, с помощью формулы корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом. Решите это уравнение, назовите корни.

             Ученики  решают в тетрадях:     3х2+2х-1=0;    

       - Как   вы думаете, можно ли это уравнение решить ещё быстрее? Ответить на этот вопрос нам поможет работа на втором этапе урока.    

     Второй этап урока: изучение нового свойства квадратного уравнения, путем выдвижения гипотезы и обоснования её.

    - Мы с вами решали квадратные уравнения различными способами: выделением квадрата двучлена, по формуле корней, с помощью теоремы Виета, и каждый раз убеждались в том, что уравнение можно решить легче и быстрее. Сегодня мы познакомимся  ещё с одним способом решения, который позволит устно и быстро находить корни квадратного уравнения.                     Для этого нам нужно провести исследование влияния суммы  коэффициентов квадратного уравнения на наличие и значения корней.

      - Напомню вам, что исследование – это процесс и результат научной деятельности, направленный на получение новых знаний.

       - Что включает в себя этот процесс?

( Объект исследования и предмет исследования).

        - В нашем случае объект исследования – это что?

( Квадратное уравнение).

         - А предмет исследования?

( Связь между суммой  коэффициентов  и корней квадратного уравнения).

      - Перечисляем шаги исследования:

1. Выдвижение гипотезы.
2. Проверка и оформление результатов исследования.
3. Вывод по той проблеме, которая изучена.

      - Сформулируем гипотезу о связи коэффициентов квадратного уравнения и его корней: «Сумма коэффициентов квадратного уравнения может влиять на наличие и значения корней».

      - Дальнейшая работа предполагает проверку гипотезы и оформление результатов исследования.

       Класс разбивается на три группы, каждая из которых получает карточку с заданием.

Карточка 1.

1. Решить квадратные уравнения:

а) х² - 3х + 2 = 0;       б) 5х² - 8х + 3 = 0.

     2) Найти сумму коэффициентов.

     3)  Найти закономерность   в соответствии между отдельными коэффициентами и корнями, и суммой коэффициентов.

Карточка 2.

     1) Решить квадратные уравнения:

      а)  х² + х – 2 = 0 ;     б)  2х² + х -3 = 0.

     2) Найти сумму коэффициентов.

     3)  Найти закономерность  в соответствии между отдельными коэффициентами и корнями, и  суммой коэффициентов.

Карточка 3.

1. Решить квадратные уравнения:

       а)   х² + 3х – 4 = 0;           б) 3х² - 12х + 9 = 0.

      2) Найти сумму коэффициентов.

      3)  Найти закономерность   в соответствии между отдельными коэффициентами и корнями, и  суммой  коэффициентов.

      Один ученик из группы комментирует выполнение предложенного задания и делает вывод.

Работа 1 группы:

1. Уравнения имеют два различных корня: а)  х1 = 1; х2 = 2;  

 б)  х1 = 1; х2  = 3/5.                            

2. Сумма коэффициентов:  а) 1 – 3 + 2 = 0;  б) 5 - 8 + 3 = 0.
3. Первый корень равен 1. Второй корень равен с или с/а.  Сумма  коэффициентов равна 0.

Вывод: Если сумма коэффициентов квадратного уравнения равна 0, то уравнение имеет два различных корня, причем один из них равен 1, а другой  коэффициенту с или с/а.

Работа 2 группы:

1. Уравнения имеют два различных корня: а) х1 = 1;  х2 = - 2;    

б)  х1 = 1;    х2  = 3/2.                    

2. Сумма коэффициентов; а)1 + 1 – 2 = 0 ; б)  2 + 1 – 3 = 0.
3. Первый корень равен 1. Второй корень равен с или с/а.  Сумма  коэффициентов равна 0. 

Вывод: Если сумма коэффициентов квадратного уравнения равна 0, то уравнение имеет два различных корня, причем один из них равен 1, а другой  коэффициенту с или с/а.

Работа 3 группы:

1. Уравнения имеют два различных корня: а) х1 = 1;  х2 = - 4;    

б)  х1 = 1;    х2  = 3.                    

2. Сумма коэффициентов; а)1 +3 – 4 = 0 ; б)  3 - 12  + 9 = 0.
3. Первый корень равен 1. Второй корень равен с или с/а.  Сумма  коэффициентов равна 0.

Вывод: Если сумма коэффициентов квадратного уравнения равна 0, то уравнение имеет два различных корня, причем один из них равен 1, а другой  коэффициенту с или с/а.

        - Делаем  общий вывод по результатам проверки гипотезы: « Проверка гипотезы показала, что сумма коэффициентов квадратного уравнения может влиять на наличие и значения корней».

        - Формулируем правило и записываем его в тетрадь:

        Если в уравнении ах² + вх + с = 0 , а + в + с = 0 , то один из корней равен       1, а другой ( по теореме Виета) равен с или с/а.

                            ах² + вх + с = 0;

                            а  + в + с = 0;

                            х1 = 1;    х2 = с/а;

                           ( если а = 1, то х1 = 1; х2 = с ).

       -Обратите внимание на уравнение, которое вы решали в начале урока. Можно ли к нему применить данное свойство? Ускорило бы это ваше решение? Конечно, ведь это свойство применяют для устного решения квадратных уравнений.  А теперь,  найдите корни следующих квадратных  уравнений, используя изученное свойство:

1. 7х² - 9х + 2 = 0;     ( 7 – 9 + 2 = 0; х1 = 1; х2 = 2/5);
2. х² - 5х + 4 = 0;       ( 1 – 5 + 4 = 0; х1 = 1; х2 = 4 );
3. х² - 28х + 27 = 0;    ( 1 – 28 + 27 = 0; х1 = 1; х2 = 27).

     Далее проводится самостоятельная работа по карточкам на закрепление нового свойства квадратных уравнений.

Самостоятельная работа

1 вариант

Решите уравнения:

а) х² + 23х – 24 = 0;

б)2х² + х – 3 = 0;

в) – 5х² + 4,4х + 0,6 = 0;

г) ⅓х² + 2⅔ х – 3 = 0.

2 вариант

Решите уравнения:

а) х² + 15х – 16 = 0;

б) 5х² + х – 6 = 0;

в) -2х² + 1,7х + 0,3 = 0;

г) ¼х² + 3¾ х– 4 = 0.

        Ученики сдают тетради.

       - Что же вы приобрели сегодня для себя на уроке? Ответьте на вопросы карточки. (Проводится рефлексия). 

         Объявляются оценки.

Карточка для проведения рефлексии:

«Я» : как чувствовал себя на уроке; было ли комфортно; моё настроение на уроке; доволен ли я.

«МЫ» : насколько комфортно работалось в группе; затруднялся ли в общении.

«ДЕЛО» : достиг ли я цели учения; нужен ли мне этот материал ( интересен, развевает меня, пригодиться дальше); мои затруднения, как преодолел(ла).

     Задание на дом:

1. Придумать три уравнения, в которых а + в + с = 0.
2. № 654.