Предел числовой последовательности
план-конспект по алгебре на тему

Числовая последовательность. Предел числовой последовательности

Определение. Расположенные друг за другом n чисел  называются числовой последовательностью длины n. Элементы, из которых она составлена, называются ее членами. Например: 1, 3, 5, 7, 9, 11.

Определение. Бесконечной числовой последовательностью  называется отображение  (т.е. функция, определенная на множестве натуральных чисел).

Элемент  называется n-ым членом последовательности.

Пример 1. Последовательность самих натуральных чисел: 1,2, 3,4,5,...,n,...

Пример 2. Последовательность квадратов натуральных чисел: 1, 4, 9, 16, ..., n2,...

Пример 3. Арифметические и геометрические прогрессии.

Для задания бесконечной последовательности  необходимо указать правило, по которому любому натуральному числу n можно поставить в соответствие число . Это можно сделать одним из следующих способов.

Способы задания числовой последовательности

1. Задание последовательности с помощью формулы общего члена последовательности .

Пример 1. .

Пример 2. 

2. Табличный способ.

Последовательность можно записать в виде таблицы, например: 2, 4, 6, 8, 10, 12,...

3. Графический способ - изображение числовой последовательности в виде графика, состоящего из точек, имеющих координату x=n, или изображая ее члены на числовой оси точками.

4. Рекуррентно, т.е. с помощью формулы, выражающей n-й член последовательности через один или несколько предыдущих членов.

Пример 1. .

Пример 2. .

5. Словесный способ - описать словами способ получения членов последовательности. Например, "последовательность всех натуральных чисел, кратных 5".

Рассмотрим числовую последовательность . При возрастании номера n члены данной последовательности все более приближаются к , т.к. из формулы n-го члена последовательности

следует, что с возрастанием номера n второе слагаемое становится все меньше, поэтому при  разность . Таким образом, если задать сколь угодно малое , то начиная с некоторого натурального , расстояние между членами последовательности и числом , будет меньше заданного , т.е. .

Определение. Число a называется пределом числовой последовательности , если для любого положительного числа  найдется натуральное число N, такое, что при всех n>N выполняется неравенство .

Обозначение: .

Определение. Последовательность, у которой существует конечный предел, называется сходящейся, в противном случае - расходящейся.

Пример 1.

Пример 2.  не существует

Рассмотрим числовую последовательность, n-ый член которой равен

.

В курсе высшей математики доказывается, что эта последовательность является сходящейся.

Рассмотрим таблицу

Из таблицы видно, что по мере возрастания n значение выражения возрастает, замедляясь в росте.

 Приближенное значение предела равно 2,718281828459045...

Л. Эйлер предложил предел этой последовательности обозначать буквой e.

Таким образом,

Число e является иррациональным, оно, как и число , относится к тем немногим постоянным величинам, которые широко используются в математике, естествознании и технике.