Исследовательская работа

«Числовые последовательности и ИКТ»

Оглавление

Введение.        

Теоретическая часть        

Глава 1.Числовые последовательности.        

1.1. Понятие числовых последовательностей.        

1.2. Способы задания числовых последовательностей.        

Глава 2. Исторические факты и примеры.        

2.1. Развитие учения о прогрессиях.        

2.2. Арифметические прогрессии в древности.        

2.3. Геометрические прогрессии в древности.        

Глава 3. Прогрессии        

3.1. Понятие арифметической прогрессии        

3.2. Формула суммы n-первых членов арифметической прогрессии        

3.3. Понятие геометрической прогрессии.        

3.4. Формула суммы n-первых членов геометрической прогрессии.        

Практическая часть        

Глава 1. Реализация решения заданий на прогрессии с помощью табличного процессора Ms Excel        

1.1. Создание арифметической прогрессии в Ms Excel        

1.2. Решение отдельных заданий на арифметическую прогрессию в Ms Excel        

1.3. Как создать геометрическую прогрессию в Ms Excel?        

1.4. Решение некоторых задач на геометрическую прогрессию в Ms Excel        

Заключение.        

Список используемой литературы.        

Использованные сайты:        

Введение.

Геометрическая прогрессия играет большую и важную роль не только в школьном курсе алгебры, но и в дальнейшем обучении в высших учебных заведениях. Важность этого на первый взгляд небольшого раздела школьного курса заключается в его чрезвычайно широких областях применения, в частности он часто применяется в теории рядов.

В настоящее время числовые последовательности рассматриваются как частные случаи функции. Числовая после довательность есть функция натурального аргумента. (Так, на пример, арифметическая прогрессия является линейной функцией натурального аргумента, а геометрическая прогрессия — показа тельной функцией натурального аргумента.)

Понятие числовой последовательности возникло и развилось задолго до создания учения о функции. Вот примеры бесконечных числовых последовательностей, известных еще в древности:

1. 1, 2, 3, 4, 5, …   - последовательность натуральных чисел.
2. 2, 4, 6, 8, 10,…  - последовательность чётных чисел.
3. 1, 3, 5, 7, 9,…   - последовательность нечётных чисел.
4. 1, 4, 9, 16, 25,… - последовательность квадратов натуральных чисел.
5. 2, 3, 5, 7, 11… - последовательность простых чисел.
6. 1, … - последовательность чисел обратных натуральным.

Число членов каждого из этих рядов бесконечно; первые пять последовательностей — монотонно возрастающие, последняя — мо нотонно убывающая. Все перечисленные последовательности, кроме 5-й, являются заданными ввиду того, что для каждой из них извес тен общий член, т. е. правило получения члена с любым номером. Для последовательности простых чисел общий член неизвестен, однако еще в III в. до н. э. александрийский ученый Эратосфен указал способ (правда, очень громоздкий) получения n-го ее члена. Этот способ был назван «решетом Эратосфена».

Идея предела последовательности восходит к V—IV вв. до н. э. Прогрессии — частные   виды   числовых   последовательностей — встречаются в памятниках II тысячелетия до н. э.

Теоретическая часть

Глава 1.Числовые последовательности.

1.1. Понятие числовых последовательностей.

Числовая последовательность – это занумерованное числовое множество.

Будем выписывать в порядке возрастания положительные чётные числа. Первое такое число равно 2, второе – 4, третье – 6, четвёртое – 8 и т.д. таким образом, мы получим последовательность:

2; 4; 6; 8; 10 ….

Очевидно, что на пятом месте в этой последовательности будет число 10, на десятом число – 20, на сотом число – 200. вообще для любого натурального числа n можно указать соответствующее ему положительное чётное число: оно равно 2n, то есть члены последовательности можно найти по формуле f(n)=2n, где n=1,2,…

Рассмотрим ещё одну последовательность. Будем выписывать в порядке убывания правильные дроби с числителем, равным 1:

; ; ; ; ; … .

Для любого натурального числа n мы можем указать соответствующую ему дробь; она равна .  Так, на шестом месте должна стоять дробь , на тридцатом - , на тысячном – дробь .

Числа образующие последовательность, называют соответственно первым, вторым, третьим, четвёртым и т.д. членами последовательности. Члены последовательности обычно обозначают буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена.

Например: , ,  и т.д. вообще член последовательности с номером n, или, как говорят, n-й член последовательности, обозначают . Саму же последовательность обозначают (). Отметим, что последовательность является частным видом функции.

Последовательность может содержать, как бесконечное число членов, так и конечное. В этом случае её называют конечной. 

Например: последовательность двухзначных чисел.

10; 11; 12; 13; …; 98; 99

Поскольку всякая числовая последовательность может рассматриваться как функция натурального аргумента, то на числовые последовательности переносятся понятия монотонности функций.

Числовая последовательность называется возрастающей, если каждый последующий её член больше предыдущего, то есть  для любого n.

Например,

Числовая последовательность называется убывающей, если каждый её член меньше предыдущего, то есть  для любого n.

Например,

Числовая последовательность называется монотонной, если она убывающая и возрастающая.

1.2 Способы задания числовых последовательностей.

Последовательности можно задавать несколькими способами. Чтобы задать последовательность, нужно указать способ, позволяющий найти член последовательности с любым  номером.

Наиболее часто последовательность задают с помощью формулы n-го члена последовательности.

Например: последовательность положительных чётных членов =2n.

Последовательность правильных дробей: =.

Рассмотрим ещё один пример: пусть последовательность задана формулой: =. Подставляем вместо n натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5, и т.д., получаем:

…

Рассмотрим ещё один способ задания последовательности.

Пример: Пусть первый член последовательности (а) равен 10, а каждый следующий равен квадрату предыдущего, т.е. а=10, а=.

С помощью формулы а= можно по известному первому члену вычислить второй, затем третий и т.д.

Формулу выражающую любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько), называют рекуррентной.. При рекуррентном способе задания  последовательности обычно  указываются:

Начальные(ый) члены последовательности;

Формулу, позволяющую определить любой член последовательности по известным предшествующим.

Так же числовую последовательность можно задать простым перечислением её членов.

Глава 2. Исторические факты и примеры.

2.1. Развитие учения о прогрессиях.

Слово прогрессия латинского происхождения (progressio), буквально означает «движение вперёд» (как и слово «прогресс») и встречается впервые у римского автора Боэция (V-VIвв.), первоначально под прогрессией понимали всякую числовую последовательность, построенную по закону, позволяющему неограниченно продолжать её в одном направлении, например последовательность натуральных чисел, их квадратов и кубов. В конце средних веков и в начале нового времени этот термин перестаёт быть общеупотребительным. В XVII веке, например,  Дж. Грегори употребляет вместо прогрессии термин «ряд», а другой видный английский математик, Дж. Валлис, применяет для бесконечных рядов термин «бесконечные прогрессии».

В настоящее время мы рассматриваем прогрессии как частные случаи числовых последовательностей.

Возможно, что древние вавилоняне и другие народы той далёкой эпохи имели некоторые общие приёмы решения задач, которые дошли до нас. Однако об этих приёмах мало что известно.

Теоретические сведения, связанные с прогрессиями, впервые встречаются в дошедших до нас документах Древней Греции.

Уже в V в. до н.э. греки знали следующие прогрессии и их суммы:

1. 1+2+3+…+n= ,
2. 2+4+6+…+2n=n(n+1),
3. 1+3+6+…+(2n+1)=(n+1)2 и др.

В «Псаммите» Архимед впервые сопоставляет арифметическую и геометрическую прогрессии:

1,2,3,4,5,………………..

10,102,103,104,105,………….

И указывает на связь между ними, например:

, т.е. для умножения двух членов геометрической прогрессии достаточно сложить соответствующие члены арифметической прогрессии и взять полученную сумму в качестве показателя 10.

У греков теория геометрических прогрессий была связана с так называемой непрерывной геометрической пропорцией:

        a:b = b:a, в котором числа a, b, c образуют геометрическую прогрессию со знаменателем .

Прогрессии рассматривались как бы продолжением пропорций, вот почему эпитеты арифметическая и геометрическая были перенесены от пропорций к прогрессиям.

Такой взгляд на прогрессии сохранился и у многих математиков XVII и даже XVIII в. Именно так следует объяснить тот факт, что символ  встречающийся у Барроу, а затем и у других английских учёных того времени для обозначения непрерывной геометрической пропорции, стал обозначать в английских и французских учебниках  XVIII века геометрическую прогрессию. По аналогии так стали обозначать и арифметическую прогрессию.

Одно из доказательств Архимеда, изложенное в его произведении «Квадратура параболы», сводится также по существу к суммированию бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Для решения некоторых задач из геометрии и механики Архимед вывел формулу суммы квадратов натуральных чисел, хотя её пользовались и до него.

12 + 22 +32 + ... + n2 = 1/6n(n+1)(2n+1)

Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским учёным. Так, Ариабхатта (Vв.) знал формулы для общего члена, суммы арифметической прогрессии и др., Магавира (IXв) пользовался формулой: 12 + 22 +32 + ... + n2 = 1/6n(n+1)(2n+1). И другими более сложными рядами. Однако правило для нахождения суммы членов произвольной  арифметической прогрессии впервые встречается в «Книге абака» (1202) Леонардо Пизанского. В «Науке о числах» (1484) Н. Шюке, как и Архимед, сопоставляет арифметическую прогрессию с геометрической и даёт общее правило для суммирования любой бесконечно малой убывающей геометрической прогрессии.  Формула для суммирования бесконечно убывающей прогрессии была известна П. Ферма и другим математикам XVII века.

2.2. Арифметические прогрессии в древности.

В клинописных табличках вавилонян, как и в египетских па пирусах, относящихся ко II тысячелетию до н.э., встречаются при меры арифметических и геометрических прогрессий.

Вот одна вавилонская задача, в которой используется ариф метическая прогрессия.

 Задача: «10 братьев,  мины серебра.  Брат над братом поднимается,  на сколько поднимается,  не знаю.  Доля восьмого 6 шекелей. Брат над братом — на сколько он выше?»  

Итак,    мины (мина   равна 60 шекелям) серебра требуется разделить между 10 братьями так, чтобы доли братьев составляли арифметическую прогрессию. Требуется найти разность прогрес сии, зная, что восьмой брат получает 6 шекелей.

Вавилонский автор, не имевший в своем распоряжении ни сов ременной символики, ни готовых формул, вынужден придержи ваться строго арифметических рассуждений. Идея его решения следующая. Он начинает с нахождения средней арифметической (средней доли),  деля   мины на 10 и получая   мины,   ее умножает затем на два. Итак, удвоенная средняя доля есть  мины. Это и есть сумма долей третьего и восьмого братьев, имея в виду, что первого от третьего, как и восьмого от десятого отделяют 2 ступени (интервала). Третьего же от восьмого отделяют 5 ступеней, а разность между их долями составляет  мины. Отсюда

и находится значение одной ступени, т. е.  разность прогрессии,

 от мины, или + мины.

А вот египетская задача из папируса Ахмеса.

 Задача: «Пусть тебе сказано:  раздели  10   мер ячменя между 10 человеками, разность же между   каждым человеком и его соседом равна  меры».

При решении этой и других аналогичных задач египтяне, ви димо, пользовались правилом, которое можно записать в соврем енной символике так:

.

Оно эквивалентно нашей формуле.

.

Происхождение этого правила не установлено: оно, вероятно, эмпирического характера.

Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой разность между соседними членами остаётся постоянной. Например, 7, 10, 13, 16 - это арифметическая прогрессия, в которой разность между соседними членами равна трём. Из теории Рамсея следует такое утверждение об арифметических прогрессиях: если каждое число от 1 до 9 покрасить в красный или синий цвет, то либо три синих числа, либо три красных образуют арифметическую прогрессию.

Чтобы доказать это утверждение, мы могли бы проверить все 512 способов раскраски девяти чисел. Но мы можем доказать его, рассмотрев только два случая. Начнём со случая, в котором 4 и 6 имеют одинаковый цвет, скажем синий.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Чтобы избежать синей арифметической прогрессии 4, 5, 6, мы покрасим 5 в красный цвет.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Чтобы избежать синих арифметических прогрессий 2, 4, 6 и 4, 6, 8, мы покрасим 2 и 8 в красный цвет.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Но тогда у нас получится красная арифметическая прогрессия 2, 5, 8. Итак, если 4 и 6 имеют одинаковый цвет, то всегда получится либо красная, либо синяя арифметическая прогрессия . Теперь рассмотрим случай, когда 4 и 6 имеют различный цвет. Число 5 можно покрасить как угодно, не создав при этом арифметической прогрессии , так что мы произвольно покрасим 5 в красный цвет.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Продолжим раскрашивание следующим образом:

3, чтобы избежать 3 4 5

9, чтобы избежать 3 6 9

7, чтобы избежать 5 7 9

8, чтобы избежать 6 7 8

2, чтобы избежать 2 5 8

1, чтобы избежать 1 2 3

Такое раскрашивание даёт последовательность

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Но в ней всё равно осталась красная арифметическая прогрессия 1, 5, 9. Таким образом, независимо от того, в одинаковый или в разные цвета окрашены 4 и 6, всегда имеется либо синяя, либо красная арифметическая прогрессия.

Ван дер Варден поставил перед собой следующую задачу, являющуюся обобщением предыдущей: доказать, что если n - достаточно большое число и все целые числа от 1 до n напечатаны на странице одним из двух произвольно выбираемых для каждой цифры цветов, то всегда существует одноцветная последовательность с определённым числом членов, являющаяся арифметической прогрессией. Это утверждение можно считать теоремой Рамсея для арифметических последовательностей, хотя оно общеизвестно под названием теоремы Ван дер Вардена.

Ван дер Варден призвал на помощь своих коллег Эмиля Артина и Отто Шрейера. Позднее он писал: «Мы пришли в кабинет Артина на факультет математики Гамбургского университета и попытались найти доказательство. Мы рисовали на доске какие-то рисунки. У нас было состояние, которое немцы называют Einfälle (озарение), когда в голову приходят неожиданные идеи. Несколько раз такие новые идеи направляли обсуждение в новое русло, и одна из них в конце концов привела к решению». Оказалось, однако, что Ван дер Варден не смог доказать этот результат для двух красок, не доказав его для случая, когда одновременно используется произвольное число красок.

В своём доказательстве Ван дер Варден применил особый вид математической индукции. Обычная (одинарная) индукция включает в себя два этапа. На первом этапе нужно показать, что утверждение выполняется для некоторого малого числа, скажем, для двух. На втором этапе доказывается, что если утверждение справедливо для какого-либо числа, то оно справедливо и для числа, на единицу большего. Отсюда следует, что оно верно для трёх, четырёх и так далее. Результаты «идут в руки» один за другим как бесконечная очередь падающих костяшек домино, поставленных на ребро: если столкнуть одну, то упадут все.

Чтобы доказать теорему Рамсея для арифметических прогрессий , Ван дер Варден применил более тонкую, двойную индукцию. Он предположил, что для любого фиксированного числа красок существует число n, такое, что если каждое целое число в интервале от одного до n.

Задачи на арифметические (и геометрические) прогрессии имеется и в древнекитайском тракте «Математика в девяти книгах», в котором нет, однако, указаний на применение какой-либо формулы суммирования.

Первые из дошедших до нас задач на прогрессии связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практики, как, например, распределение продуктов, деление наследства и т.д.

2.3. Геометрические прогрессии в древности.

В папирусе Ахмеса содержится задача, в которой требуется найти сумму n членов геометрической прогрессии, зная первый её член и знаменатель.

Из одной клинописной таблички можно заключить, что, наблюдая луну от новолуния до полнолуния, вавилоняне пришли к такому выводу: в первые пять дней после новолуния рост освещения лунного диска совершается по закону геометрической прогрессии со знаменателем 2. в другой более поздней табличке речь идёт о суммировании геометрической прогрессии:

1+2+22+…+29. решение и ответ S=512+(512-1), данные в табличке наводят на мысль, что автор пользовался формулой.

Sn=2n+(2n-1),

Однако о том, как он дошёл до нее никому не известно.

Издавна большой популярностью  пользуется следующая задача легенда, которая относится к началу нашей эры.

«Индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахматной игры, своего подданного Сету, чтобы наградить его за остроумную выдумку. Сета, издеваясь над царём, потребовал за первую клетку шахматной доски 1 пшеничное зерно, за вторую – 2 зерна, за третью – 4 и т.д. оказалось, что царь не  был в состоянии выполнить это «скромное» желание Сеты».

В этой задачи речь идёт о суммировании геометрической прогрессии 1, 2, 22, 23, … 263. Её сумма равна:

264-1=18 446 744 073 709 551 615.

Такое количество зёрен пшеницы можно собрать лишь с урожая планеты, поверхность которой примерно в 2000 раз больше поверхности Земли.

Любопытно отметить, что в задачах на геометрические прогрессии китайской «Математики в девяти книгах» знаменатель равен 2. Формул суммирования здесь нет. По содержанию некоторые китайские задачи трактуют о растущей или убывающей производительности труда ткачих. Примеры арифметических и геометрических прогрессий имеются и в индийских «сиддхантах».

Суммированием геометрических прогрессий и составлением соответствующих, не всегда отвечающих практическим нуждам задач занимались многие любители математики на протяжении древних и средних веков.

В древнерусском юридическом сборнике «Русская правда» содержаться выкладки о приплоде от скота и пчёл за известный промежуток времени. О количестве зерна, собранного с определённого участка земли и т.д. В некоторых из них вычисляется сумма геометрической прогрессии со знаменателем 2. Эти задачи, не имели хозяйственного или юридического значения, а являлись результатом развития интереса любителей математики к математическому содержанию подобных задач. Однако впервые задачи на прогрессии возникли из наблюдений за явлениями природы из исследования общественно-экономических явлений, к которым применим закон арифметической или геометрической прогрессии.

Глава 3. Прогрессии

3.1. Понятие арифметической прогрессии

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

Рассмотрим последовательность натуральных чисел, которые при делении на четыре дают в остатке 1:

1; 5; 9; 13; 17; 21 …

Каждый её член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену числа 4. эта последовательность является примером арифметической прогрессии.

Иначе говоря, последовательность () – арифметическая прогрессия, если для любого натурального n выполняется условие.

, где d некоторое число.

Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым её членом, начиная со второго, и предыдущим членом равна d, т.е. при любом натуральном n верно равенство

.

Число d называют разностью арифметической прогрессии.

Чтобы задать арифметическую прогрессию достаточно указать её первый член и разность.

Например: если а=1 и d=1, то получим арифметическую прогрессию

1; 2; 3; 4; 5; …,

члены которой – последовательные натуральные числа.

Если разность арифметической прогрессии – положительное число, то такая прогрессия является возрастающей; если это отрицательное число, то такая прогрессия называется убывающей. Если разность арифметической прогрессии равна нулю, то все её члены равны между собой и прогрессия является постоянной последовательностью.

Зная первый член и разность арифметической прогрессии, можно найти любой её член, вычисляя последовательно второй, третий, четвёртый и т.д. члены. Однако для нахождения члена прогрессии с большим номером такой способ не удобен. Постараемся отыскать способ, требующий меньшей вычислительной работы.

По определению арифметической прогрессии:

,

.

Точно так же находим, что , и вообще, чтобы найти , нужно к  прибавить (n-1)d, т.е.

мы получим формулу n-го члена арифметической прогрессии.

Формулу n-го члена арифметической прогрессии  можно записать иначе:

.

Отсюда ясно, что любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой вида , где k и b – некоторые числа.

При любом n справедливо равенство , и по определению последовательность (аn) является арифметической прогрессией, причём разность этой прогрессии равна k.

3.2. Формула суммы n-первых членов арифметической прогрессии

Обозначим сумму n-первых членов арифметической прогрессии (аn) через Sn и запишем эту суму дважды, расположив в первом случае слагаемые в порядке возрастания их номеров, а во втором случае в порядке убывания:

,

.

Сумма каждой пары членов прогрессии, расположенных друг под другом, равна а1+аn. Действительно,

 и т.д.

число таких пар равно n. Поэтому, сложив почленно равенства, получим:

.

Разделив обе части последнего равенства  на 2, получим формулу суммы и первых членов арифметической прогрессии:

.

3.3. Понятие геометрической прогрессии.

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел. Каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.

Рассмотрим последовательность, членами которой являются числа 2 с натуральными показателями:

2, 22, 23, 24, 25, ……

Каждый член этой последовательности, начиная со второго, получается умножением предыдущего члена на 2. Эта последовательность является примером геометрической прогрессии.

Иначе говоря, последовательность  – геометрическая прогрессия, если для любого натурального n выполняются условия:   не равно нулю и , где  – некоторое число. Обозначим, например, через () последовательность натуральных степеней числа 2, в этом случае для любого натурального n верно равенство , здесь .

Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого её члена, начиная со второго, к предыдущему члену равно , т.е. при любом натуральном n верно равенство:

Число  называют знаменателем геометрической прогрессии. Понятно, что знаменатель геометрической прогрессии всегда отличен от нуля.

Чтобы задать геометрическую прогрессию, достаточно указать её первый член и знаменатель.

Например:

Если b1=1 и q=0,1, то получим геометрическую прогрессию

1; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 … .

Зная первый член и знаменатель геометрической прогрессии, можно найти последовательно второй, третий и вообще любой её член:

Из этого следует: чтобы найти , мы должны   умножить на , т.е.

3.4. Формула суммы n-первых членов геометрической прогрессии.

Выведем формулу суммы  n первых членов произвольной геометрической прогрессии.

Пусть дана геометрическая прогрессия (bn). Обозначим сумму n первых членов её через Sn.:

                                                                        (1)

Умножим обе части этого равенства на q:

Учитывая, что , получим:

                                                                         (2)

Вычтем почленно из равенства (2) равенство (1) и приведём подобные члены:

                         (3)

Мы получили формулу n первых членов геометрической прогрессии, в которой q не равно 1, если q равно 1, то все члены прогрессии равны первому её члену.

При решении задач удобно пользоваться формулой суммы n первых членов геометрической прогрессии, записанной в другом виде: .        

Практическая часть

Глава 1. Реализация решения заданий на прогрессии с помощью табличного процессора Ms Excel

1.1. Создание арифметической прогрессии в Ms Excel

Табличный процессор Ms Excel может автоматически продолжать заполнение прогрессии числами, комбинациями чисел и текста, датами и временем, что в свою очередь дает возможность создания арифметической прогрессии. Существуют следующие способы создания арифметической прогрессии:
1 способ:

1. В окне открытого листа введите начальные значения создаваемого ряда прогрессии в первую ячейку и вторую ячейку диапазона.
   Например: 1, 2; 07:00, 08:00; пн, вт; янв, фев.
2. Выделите эти ячейки и наведите курсор на правый нижний угол выделенной зоны.
3. Курсором в виде тонкого черного креста при нажатой левой кнопке мыши протащите маркер заполнения по столбцу (вверх или вниз) либо по строке (вправо или влево).
   Получится результат – 4,5; 09:00, 10:00; ср, чт; мар, апр.

2 способ:

4. В окне открытого листа в первую ячейку диапазона введите начальное значение создаваемого ряда прогрессии.
5. Наведите курсор мыши на правый нижний угол ячейки и, когда курсор станет тонким черным крестом, при нажатой ПРАВОЙ кнопке мыши протащите маркер заполнения вверх или вниз по столбцу либо вправо, либо влево по строке.
6. В конце нужного диапазона отпустите правую кнопку мыши.
7. В контекстном меню выберите пункт «Заполнить». ( рис. 1)

Рис. 1. Контекстное меню прогрессии

3 способ:

8. В окне открытого листа введите начальные значения создаваемого ряда прогрессии в первую ячейку и вторую ячейку диапазона.
9. Выделите эти ячейки и наведите курсор на правый нижний угол выделенной зоны.
10. Курсором в виде тонкого черного креста при нажатой ПРАВОЙ кнопке мыши протащите маркер заполнения по столбцу (вверх или вниз) или по строке (вправо или влево) и отпустите кнопку мыши.
11. В контекстном меню выберите в списке пункт «Линейное приближение» (рис. 2).

Рис. 2. Контекстное меню прогрессии

4 способ:

12. В окне открытого листа введите начальное значение создаваемого ряда прогрессии в первую ячейку диапазона.
13. Выделите диапазон ячеек и перейдите к вкладке «Главная».
14. В группе «Редактирование» раскройте меню кнопки «Заполнить» и в списке команд выберите пункт «Прогрессия» (рис. 3).

Рис. 3. Вкладка «Главная». Меню кнопки «Заполнить».

15. В окне «Прогрессия» (рис.4) в группе «Тип» активируйте пункт «Арифметическая».

Рис. 4. Окно «Прогрессия»

1. В графе «Шаг» введите число развития прогрессии, то есть значение, на которое будут увеличиваться все числа, а в графе «Предельное значение» при необходимости задайте максимально возможное число прогрессии.
2. Закройте окно кнопкой «ОК»

1.2. Решение отдельных заданий на арифметическую прогрессию в Ms Excel

Составим таблицу, вычисляющую n-й член и сумму арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прогрессии:  и формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии: , где – первый член прогрессии, а d – разность арифметической прогрессии. Первый член возьмем = -2.

Технология выполнения задания (Таб.1):

Таблица 1. Вычисление n-го члена и суммы

арифметической прогрессии

1. В ячейку А1 вводится заголовок таблицы «Вычисление n-го члена и суммы арифметической прогрессии». Заголовок будет размещен в одну строку и займет несколько ячеек правее А1.
2. В ячейку А2 введите «d», в ячейку В2 - «n», в С2 - «аn», в D2 - «Sn».
3. Для набора нижних индексов воспользуйтесь командой Формат - Ячейки - Шрифт - активизируйте переключатель Подстрочный.
4. Выполним заполнение таблицы.
5. В ячейку A3 введите величину разности арифметической прогрессии d (в нашем примере это 0,725).
6. Далее заполните ряд нижних ячеек таким же числом. Растиражируйте это значение вниз, используя маркер заполнения.
7. В следующем столбце размещена последовательность чисел от 1 до 10. Воспользуйтесь маркером заполнения и заполните столбец. Введите 1, на ячейку ниже введите 2, выделив обе ячейки и, используя маркер автозаполнения, заполните ячейки далее.
8. В ячейку C3 введите значение первого члена арифметической прогрессии «–2»
9. В ячейку С4 поместите формулу для вычисления n-го члена арифметической прогрессии аn =$C$3+A4*(B4-1) и зафиксируйте ее нажатием клавиши Enter. Выполните автозаполнение нижних ячеек, «протащив» формулу за маркер заполнения. Сверьте получившиеся значения с образцом.
10. Аналогично введите в ячейку D3 формулу для подсчета суммы n первых членов арифметической прогрессии Sn =($C$3+C3)*B3/2 и распространите заполнение на прилегающие ячейки.
11. Теперь данными заполнены все ячейки, остается только их оформить. Все столбцы одинаковой ширины, хотя и содержат информацию разного объема. Автоматически подгоним ширину столбцов. Выделите столбцы А, В, С, D, протянув мышью по заголовкам, и выполните команду Формат - Столбец - Автоподбор ширины.
12. Займемся заголовком таблицы.
13. Для заголовка и шапки таблицы выберите полужирное начертание. Шапку таблицы отцентрируйте.
14. Заголовок довольно неэстетично «вылезает» вправо за пределы нашей маленькой таблички. Выделите диапазон ячеек A1:D1 и выполните команду Формат - Ячейки - Выравнивание - активизируйте переключатели Объединение ячеек и Переносить по словам - В поле По вертикали установите По центру - ОК.
15. Увеличить высоту первой строки. Для этого необходимо установить курсор мыши на границу между первой и второй строкой так, чтобы курсор приобрел вид горизонтальной черты с двумя стрелками и растянуть границу вниз.
16. Сохраните созданный вами файл.

Были рассмотрены и решены следующие примеры:

Пример 1        

1. Найдите 10-й член арифметической прогрессии:   1,3,5,7,…

Рис. 5. Нахождение неизвестного члена прогрессии

Пример2

Найдите разность арифметической прогрессии (), если: =12, =40.

Рис. 6. Нахождение разности арифметической прогрессии

1.3. Как создать геометрическую прогрессию в Ms Excel?

1 способ:

16. В окне открытого листа введите начальное значение создаваемого ряда прогрессии в первую ячейку диапазона.
17. Выделите диапазон ячеек, в котором будет располагаться геометрическая прогрессия.
18. Перейдите к вкладке «Главная» и в группе «Редактирование» раскройте меню кнопки «Заполнить».
19. В списке команд выберите пункт «Прогрессия».
20. В окне «Прогрессия» в группе «Тип» активируйте пункт «Геометрическая».
21. В графе «Шаг» введите коэффициент развития прогрессии, то есть значение, на которое будут умножаться все числа, а в графе «Предельное значение» при необходимости задайте максимально возможное число прогрессии.
22. Закройте окно кнопкой «ОК»

2 способ:

23. В окне открытого листа введите начальные значения создаваемого ряда прогрессии в первую ячейку и вторую ячейку диапазона.
24. Выделите эти ячейки и наведите курсор на правый нижний угол выделенной зоны.
25. Курсором в виде тонкого черного креста при нажатой ПРАВОЙ кнопке мыши протащите маркер заполнения по столбцу (вверх или вниз) либо по строке (вправо или влево) и отпустите
    кнопку мыши.
26. В контекстном меню выберите в списке пункт «Экспоненциальное приближение».

Рис.9. 2 способ создания геометрической прогрессии

Пусть {bn} – геометрическая прогрессия со знаменателем q и Sn – суммой первых n членов. Найти:

1. b6 , если b5 = 31213 , b7 = 1529437 ;
2. q, если b1 = 7 , b2 + b3 = 42 ;
3. S6 , если b1 = 7 , b6 = 117649 ;

Рис.10. Решение заданий на геометрическую прогрессию

Рис. 11. Решение заданий на геометрическую прогрессию (видны формулы)

Заключение.

Изучением числовых последовательностей занимались многие ученые на протяжении многих веков. Они являются одним из ключевых понятий математики. В своей работе отражены основные понятия связанные с числовыми последовательностями, способы их задания, рассмотрены некоторые из них. Отдельно были рассмотрены прогрессии (арифметическая и геометрическая), рассказано об истории их возникновения, об основных понятиях связанных с ними. Также были рассмотрены способы их задания и вычисления в табличном процессоре Ms Excel.

Список используемой литературы.

1. Теляковский С.A. «Алгебра. 9 класс.», Москва, «Просвещение» 1990г.
2. Большой справочник школьника. Москва, «Дрофа» 2001г.
3. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа. В.С. Крамор, Москва «Просвещение» 1990г.
4. «История математики», Глейзер.
5. «Математика в школе» Ж. 2002г.
6. Полный школьный курс. 5-11 класс. Справочное пособие. – СПб.:ИД «ВЕСЬ», 2001. – 832с.
7. Бабич И.Н. Новые образовательные технологии в век информации / Материалы XIV Международной конференции «Применение новых технологий в образовании». – Троицк: Фонд новых технологий в образовании «Байтик». – 2003. – С. 68-70.
8. Новые педагогические и информационные технологии в системе образования / Под ред. Е.С. Полат. - М., 2000.
9. Роберт И. Современные информационные технологии в образовании: дидактические проблемы; перспективы использования.- М: Школа-Пресс,1994.-205с.

Использованные сайты:

1. http://www.pm298.ru