Числовые последовательности. Пределы функций и последовательностей.
презентация к уроку по математике
Числовые последовательности. Пределы функций и последовательностей.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 380.86 КБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Содержание Геометрический смысл предела последовательности Теорема Вейерштрасса Теорема о единственности предела Свойства пределов
О 1 (последовательности). Пусть каждому натуральному числу поставлено в соответствие действительное число: числу 1 соответствует число а 1 , числу 2 – а 2 , числу 3 – а 3 ,……, числу n – a n и т.д. Тогда говорят, что задана числовая последовательность и пишут: а 1, а 2 , …..а n ,… Иначе а n . числа а 1, а 2 , …..а n ,…называются членами числовой последовательности: а 1 – первый член, а 2 – второй член, а n – n - й член. Рассмотрим предел числовой последовательности О 2 . Число b называется пределом последовательности (а n ), если какое бы положительное число ни взять (это число обычно обозначают ( эпсилон )) найдется номер N , начиная от которого, (т.е. n N ) отличие а n от b по модулю будет меньше , т.е. а n b . Пишут: lim а n = b или а n b а n сходится к b n ∞
Геометрический смысл предела последовательности Неравенство а n - b равносильно двойному неравенству Интервал ( b - , b + ) называют -окрестностью точки b . Если b – предел последовательности а n , то какую бы окрестность точки b не выбрать, вся последовательность, начиная с некоторого номера N , будет изображаться точками, лежащими в этой окрестности. Окрестность точки b – это интервал с центром в точке b . b - b b + О 3 . Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а не имеющая предел – расходящейся. О 4 . Последовательность может иметь только один предел. О 5 . Последовательность (а n ) называется ограниченной, если существуют два числа m и М такие, число для любого n выполняется неравенство m a n M. О 6 . Убывающие, возрастающие, неубывающие и невозрастающие последовательности называется монотонными.
Теорема Вейерштрасса Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел. Примеры: Рассмотрим последовательности: 1) 1 , ½, 1/3, ¼, … , 1/ n , … Чем больше номер члена последовательности, тем меньше этот член отличается от нуля. Последовательность сходится, предел её равен 0., т.е. lim 1/ n =0. n ∞ 2) ½, 2/3, ¾, 4/5, …, n / n +1,… Члены этой последовательности по мере увеличения номера всё меньше и меньше отличаются от числа 1. Эта последовательность сходится причём lim n / n +1 . n ∞ Действительно, . Какое бы не взять , найдётся номер N такой, что для любого n N выполняется неравенство n / n +1 . Чтобы найти такое N , достаточно решить неравенство n / n +1 , и взять в качестве N любое натуральное число, удовлетворяющее этому неравенству. т.е. n 1/ - 1, при =0,01. , n = 100, тогда х 100 = х 100 - 1 = - 1 = 3) 2 , 0, 3, 2, 03, 2,. 0, 3,… Эта последовательность не сходится, не имеет предела. Для вычисления пределов последовательностей используют следующие утверждения: а) Последовательность (1/ n ) сходится к числу 0 lim 1/ n = 0 n ∞ б) Последовательность q n , где q , сходится к числу 0. lim 1/ n =0, n ∞ q . в) lim а = а n ∞
Пример. Вычислить lim n ∞ Сформулируем определение предела функции в точке. О 7 . Пусть функция f ( x ) определена в некоторой окрестности точки a , кроме, быть может самой точки а.. Число В называется пределом функции f ( x n ) в точке а (или при х а), если для любой последовательности значений аргумента х п а, n N сходящейся к а , последовательность соответствующих значений функции f ( x ), n N , сходится к числу В. Пишут lim f ( x ) = B или f ( x ) B при x a x a короче B = lim f ( x ), если lim f ( x ) = B , для любой последовательности x a x ∞ х п а, n N , сходящейся к а Если же для некоторой последовательности значений аргумента х п а, n N , сходящейся к а, последовательность соответствующих значений функции f ( x n ), n N , предела не имеет, то функция f ( x n ) не имеет предела в точке а. Аналогично функция f ( x ) не имеет предела в точке а, если для двух различных последовательностей значений аргумента, сходящихся к а, последовательности соответствующих значений функции имеют различные пределы. Из определения предела следует, что если f ( x ) a при x a , то f ( x ) – B 0 при x a . Введем обозначение ( х ) = f ( x ) – B . Тогда f ( x )= B + ( x ), где ( x ) 0 при x a . Очевидно, что число В является пределом функции f ( x ) при f ( x ) х a , следовательно, когда f ( x ) можно представить в виде f ( x ) = B + ( x ), где ( х ) 0 при x a . Отметим, что точка а, в которой рассматривается предел функции f ( x ), а может и не принадлежать. При нахождении предела функции в точке не рассматривается значение функции в этой точке.
Пример 1. Докажем, что предел постоянной функции равен этой же постоянной. Решение. Пусть f ( x ) =С для всех х из некоторого интервала, содержащего точку а. Тогда для любой последовательности х n такой, что х n a при х ∞, имеем f ( x n ) = C и lim f ( x n )= C n ∞ Следовательно, lim f ( x )= lim C = C х a х a Пример 2. Докажем, что для f ( x ) =х lim f ( x n ) = lim x = а х a х a Решение. Для любой х n такой, что х n a при х ∞ имеем lim f( x n ) = lim x n = а n ∞ n ∞ Следовательно, согласно определению предела, lim x = а х a
Теорема о единственности предела Функция не может иметь двух разных пределов в точке. Доказательство . Доказательство проведем методом от противного. Пусть в точке х=а функция f ( x ) имеет два различных предела А и В. Согласно определению предела, для любой последовательности значений аргумента х n , n N , такой, что х n а и lim x n = а n ∞ имеем lim f ( x n ) =А, если lim f ( x n ) = В n ∞ n ∞ В силу единственности предела последовательности, отсюда получаем равенство А=В, которое протворечит предположению. Следовательно, функция не может иметь двух разных пределов в точке.
Свойства пределов Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) их пределов, если последние существуют. lim (f(x) g(x)) = lim f(x) lim g(x) х a х a х a Предел произведения функций равен произведению их пределов, если последние существуют. lim (f(x) ∙ g(x)) = lim f(x) ∙ lim g(x) х a х a х a Постоянный множитель можно выносить за знак предела. lim (с ∙ f ( x )) = с ∙ lim f ( x ), если lim f ( x ) существует. х a х a х a Предел отношений двух функций равен отношению их пределов, если последние существуют и предел делителя отличен от нуля lim , если lim g(x) 0 Доказательство. Пусть lim f ( x ) =А, и lim g ( x ) = В 0. х 1 х a Согласно определению предела функции в точке, для любой последовательности значений х n аргумента такой, что х n а и lim х n = a , имеем lim f ( x ) =А, и lim g ( x ) = В 0. х a х a Используя последние равенства и теорему о пределе частного для сходящихся последовательностей, получаем lim = , т.е. lim , ч.т.д.
Пример 3. Найти lim (9х 2 – 6х -8) х 1 Решение. Применив свойства о пределе суммы, разности и произведения, получим. Lim (9х 2 – 6х -8) = lim (9х 2 ) - lim (6х) + lim 8 = 9 lim x 2 – 6 lim x + 8 = 9( limx )( limx )-6+ +8=11 х 1 х 1 х 1 х 1 х 1 х 1 х 1 Пример 4. Найти lim Решение. Здесь предел знаменателя равен нулю, поэтому воспользоваться теоремой о пределе частного нельзя. Разложим числитель на множители х 2 – 5х + 6 = (х-3)(х-2), так как при нахождении предела в точке 2 рассматриваются лишь х 2, и поэтому lim Пример 5. Вычислить lim Решение. Разделив числитель и знаменатель на х 3 получим: lim , т.к . lim , то воспользовавшись теоремами о пределе суммы произведения, вынесения постоянного множителя, о пределе частного, имеем Выполнить задание: lim (2x -7x+6) x →3 lim (9x -6x+8 ) x→1 lim (5x -3x+7) x →1 lim x→2 lim x → -2 lim (3x +2x +5) x →∞ lim x →∞
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Презентация "Нахождение предела функции"
Цель: обобщить знания по нахождению предела функцииМетодические рекомендации: презентация может быть использована для подготовки к практической работе, особенно если после изложения теории прошло неко...
Практическая работа "Нахождение предела функции"
Практическая обучающая работа в 30 вариантах. Вырабатывается навык нахождения предела функции при переменной, стремящейся к числу, нулю, бесконечности, навыки раскрытия неопределенностей типа деления ...
![](/sites/default/files/pictures/2017/08/26/picture-76875-1503777186.jpg)
Методические рекомедации по организации и проведению практического занятия по математике. Тема: Вычисление пределов функций с использованием первого и второго замечательных пределов.
Методические рекомендации по проведению практического занятия по дисциплине «Математика». Практическое занятие №7. Вычисление пределов функций с использованием первого и второго замечательного п...
![](/sites/default/files/pictures/2016/04/20/picture-784086-1461173613.png)
Технологическая карта практического занятия по математике на тему: Вычисление пределов функции. Предел функции на . Два замечательных предела. Вычисление числа «е»
В технологической карте содержится описание заняти со всеми необходимыми пояснениями...
![](/sites/default/files/pictures/2016/04/20/picture-784086-1461173613.png)
Презентация к практическому занятию по математике на тему: Вычисление пределов функции. Предел функции на . Два замечательных предела. Вычисление числа «е»
В презентации содержится материал к занятию...
![](/sites/default/files/pictures/2017/02/13/picture-893837-1486988684.jpg)
Разработка открытого урока по алгебре и началам анализа в 10 классе по теме: «Окрестность точки. Предел функции в точке. Теоремы о пределах функций. Предел функции при х→0 »
открытый урок по теме "пределы" для старшеклассников (в помощь учителю математики)...
Числовая последовательность, способы ее задания, вычисления членов последовательности. Предел последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
Числовая последовательность, способы ее задания, вычисления членов последовательности. Предел последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия...