Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение Самарской области

средняя общеобразовательная школа " Центр образования"                                                                               с. Шигоны муниципального района Шигонский Самарской области

 «Методические особенности решения квадратных неравенств с параметром в условиях перехода к новым образовательным стандартам»

                                                                               Учитель математики Гусарова А.М.

Шигоны 2017

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

         Основным направлением модернизации математического школьного образования является отработка механизмов итоговой аттестации через введение единого государственного экзамена. В заданиях ЕГЭ по математике с развернутым ответом (часть С), а также с кратким ответом (часть В), встречаются задачи с параметрами.

    Появление таких заданий на экзаменах далеко не случайно, т.к. с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень логического мышления учащегося и их математической культуры.

    Решению задач с параметрами в школьной программе уделяется мало внимания. Большинство учащихся либо вовсе не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкие выкладки. Причиной этого является отсутствие системы заданий по данной теме в школьных учебниках.

Задачи с параметрами являются непривычными, сложными для многих. Они представляют сложность в логическом, техническом и психологическом плане.

Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры учащихся.

Отметим, что задачи с параметрами (в частности уравнения и неравенства с параметрами) обладают большим потенциалом в развитии исследовательских умений таких, как умение наблюдать, анализировать, выдвигать и доказывать гипотезу, обобщать и др. Данные задачи играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры как у школьников, так и у студентов.

          Проанализировав диссертационные исследования, учебные пособия и программы (посвященные задачам с параметрами), а также государственные образовательные стандарты отметим следующее :

Во-первых, задачи с параметрами полностью отсутствуют в учебных программах основной средней школы.

Во-вторых, задачи с параметрами являются наиболее сложными в техническом плане (как с позиции школьников, так и с позиции учителей математики).

В-третьих, овладение школьниками методами решения задачи с параметрами ведет к более глубокому пониманию всего школьного курса математики.

В-четвертых, благодаря своей высокой диагностической и прогностической ценности задачи с параметрами:

• развивают у учащихся логическое мышление;
• формируют математическую культуру учащихся;
• помогают учащимся в овладении техники исследования;
• позволяют учителю выявить нестандартность мышления учащегося;
• наталкивают учащихся проводить элементарные математические рассуждения;
• открывают перед учащимися значительное число эвристических приемов.

Задачи с параметрами позволяют сформировать ключевые компетенции, применимые как в учебной, так и в будущей профессиональной деятельности:

• использование приобретенных знаний и умений в практической деятельности и повседневной жизни;
• проведение анализа ситуаций;
• планирование своей деятельности;
• осуществление самоконтроля;
• планирование и выбор более рационального решения;
• работа с учебной и научной литературой;
• систематизация знания по теме, решение и составление аналогичных задачи и др.

Целенаправленное использование задач с параметрами позволяет развивать и диагностировать развитие ряда предметных компетенций учащихся.

1. Выполнять вычисления и преобразования.
2. Решать уравнения и неравенства, в том числе:

• находить область допустимых значений;
• приводить дроби к общему знаменателю;
• приводить подобные слагаемые;
• производить проверку принадлежности корней уравнения области допустимых значений;
• применять метод группировки слагаемых;
• свободно владеть формулами сокращенного умножения и др.

1. Выполнять действия с функциями.
2. Выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами.

Строить и исследовать простейшие математические модели

Формируемые  УУД в рамках ФГОС при решении задач с параметрами:

Структура решений квадратных неравенств

  при разных значениях a,b,c.

Аналогично определяется множество решений, если  a<0

Базовые задачи.

Первый тип – это задачи в которых требуется найти  значения параметра, при котором данное неравенство:1) выполняется при любом значении x; 2) выполняется ровно для одного значения x; 3) не выполняется ни для одного значения x. Решение этих задач основывается на исследовании знака дискриминанта и знака старшего коэффициента при x2.

Задача 1. При каких значениях параметра а неравенство

  выполняется при всех значениях х.

Решение: а=1, ветви параболы, направлены вверх. В зависимости от знака дискриминанта возможны три варианта:

Ответ: 

Задача 2

При каких значениях параметра а неравенство   не выполняется ни для одного значения  х.

Решение:

Ответ: таких   нет

Задача 3. При каких р неравенство  

а)выполняется при всех х; б) не выполняется ни для одного значения х; в)выполняется ровно для одного значения х

Решение:

а)

Ответ:

а)

б)

в) p=-2

Второй тип – это задачи, в которых задано некоторое множество М, отличное от  R  и необходимо найти значение параметров, при которых данное квадратное неравенство выполняется на множестве М. Основной подход к их решению – нахождение нужного расположения корней квадратного трехчлена относительно множества М, а затем описать найденное расположение корней в виде  неравенств. Решение этих неравенств позволяет найти требуемые значения параметров.

Задача 4. При каких значениях параметра а неравенство

   выполняется при всех значениях х<2.

Решение:

Ответ:

Задача 5

При каких значениях параметра а неравенство

   выполняется при всех значениях х≥5.

Решение:

Ответ:

Задача 6

При каких значениях параметра а неравенство

   выполняется при всех значениях 1<х≤4.

Решение:

Ответ: .

Модифицированные задачи

Задача1

При каких значениях параметра m неравенство

   выполняется при всех значениях 1<х<2?

Ответ:

Задача 2

При каких значениях параметра а неравенство

   выполняется при всех значениях х.

Ответ:

Задача 3

При каких значениях параметра а неравенство

   выполняется при всех значениях х?.

Ответ:

Нестандартные задачи

Задача 1

При каких значениях параметра а неравенство

выполняется при всех x

Ответ: a

Задача 2

При каких значениях параметра p выполняется

для любого x

Ответ: [-7,5;+∞]

Задача 3

При  каких m неравенство выполняется для всех x

Ответ: [-6; 4]

ЛИТЕРАТУРА

1. Азаров А.И., Барвенов С.А., Федосенко В.С. Методы решения задач с параметрами. Математика для старшеклассников. Минск: «Аверсэв», 2003.
2. В.С. Высоцкий, Задачи с параметрами для подготовки к ЕГЭ
3. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. — К.: РИА "Текст"; МП "ОКО", 1992. -290 с.
4. Качалова Г. А. О необходимости включения содержательно-методической линии «Задачи с параметрами» в учебный модуль «Основы математики» // Materiały Międzynarodowej Naukowi-Praktycznej konferencji Postępów w nauce. Nowe poglądy, problemy, innowacje. 29.07.2012. — 31.07.2012. Część 2. — Łódź, 2012. — С. 67–70.
5. Козко А. И., Панферов В. С, Сергеев И. Н., Чирский В. Г. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С5. Задачи с параметром / Под ред. А. Л. Семенова и И. В.Ященко. — М.: МЦНМО, 2011.-144 с.
6. Родионов Е.М. Решение задач с параметрами. М.: МП «Русь-90»,1995
7. Шевкин А.В. Задачи с параметром: Линейные уравнения и их системы. /Серия «Математика. Проверь себя». М.: ООО «Русское слово – учебна