Арифметическая и геометрическая прогрессия
методическая разработка по алгебре (9 класс) на тему

Дата 14.01.2015.

Класс 9

Тема урока: Арифметическая и геометрическая прогрессии 

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний учащихся по теме

Образовательные цели: создание условий на уроке для:

• обобщения и систематизации теоретических знаний по данной теме;
• совершенствования навыков применения теоретических знаний при решении задач, в том числе и прикладных; перевода реальных задачи на математический язык.
• решения задач с использованием межпредметных связей;
• преодоления в сознании учащихся представлений об оторванности данного материала от жизни и практики.

Развивающие цели: способствовать развитию

• логического мышления,
• вычислительных навыков, памяти;
• познавательного интереса у учащихся;
• грамотной математической речи.

Воспитательные цели:

• формулирование таких качеств личности, как ответственность, внимательность, умения анализировать;
• воспитывать настойчивость для достижения конечных результатов.

Задачи учителя на уроке:

• проконтролировать знания теоретического материала;
• проверить навыки учащихся по применению своих знаний в ходе решения экономических задач;
• развивать представление учащихся об использовании прогрессии в окружающей жизни;
• продолжить работу над развитием логического мышления, умением анализировать, сопоставлять и обобщать полученные знания.

Мотивация: мотивировать учащихся к осознанному восприятию значимости материала для подготовки к государственной итоговой аттестациии в повседневной жизни.

Задачи учащихся на уроке:

• устранить пробелы в знаниях;
• применять знания в решении экономических задач.

Оборудование к уроку:

• Таблица с формулами: «Арифметическая прогрессия» , «Геометрическая прогрессия»
• Раздаточный справочный материал.
• Индивидуальные карточки для ответов учащихся.
• Раздаточный дидактический материал (листы с задачами).
• Карточки проверки знаний теоретического материала (тест)
• Таблицы для устного счета.
• Плакаты
• Презентация

Формы работы на уроке: фронтальная, индивидуальная, групповая.

Метод обучения: частично-поисковый, установления связи, теоретических и практических знаний.

Структура урока:

1. Организационный момент, приветствие, пожелания.
2. Сообщение темы и целей урока.
3. Актуализация опорных знаний учащихся

а) Устная работа.
б) Письменная работа
в) Совместная работа

4. Теоретическая разминка. Проверочный тест по теории
5. Историческая справка
6. Решение задач прикладного характера
7. Дополнительные задачи
8. Домашнее задание
9. Итог урока

ХОД УРОКА

I. Организационный момент, приветствия, пожелания

Сегодня мы проводим повторительно–обобщающий урок по теме: «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

«Прогрессия – движение вперед».

  Продолжайте ребята двигаться вперед по дороге знаний, и это правильная дорога.

Желаю, чтобы  вы надеялись на собственные силы и не боялись сделать попытку понять то, что кажется непонятным в данной теме.

II. Сообщение темы и целей урока

Запишем тему: «Арифметическая и геометрическая прогрессии. Решение задач». Сегодня на уроке мы будем научиться применять свои знания при решении прикладных и экономических задач, готовиться к решению контрольной работы.

III. Актуализация опорных знаний и умений

Цель – вспомнить и проверить теоретические знания по теме, подготовиться к практическим заданиям.

а) Устная работа: Основные формулы арифметической и геометрической прогрессий

1) Прогрессия – это последовательность чисел.

Обозначается:

a1; a2; a3;…;an;…  
a1 – первый член прогрессии 
a2 – 2-ой; an – n-ый член последовательности,
n – его номер.

Найдите предыдущий и последующий члены прогрессии:  a4; b10; an

2) Являются ли данные арифметическая и геометрическая прогрессии, конечной или бесконечной, убывающей или возрастающей?

Арифметическая прогрессия?

       1) 5,10, 15, 20, …
           d = ?
       2) –13, –21, –29, –38, …
           d = ?

Геометрическая прогрессия?

       1)3, 6, 12, …
           q = ?
       2) 1; – 0,1; 0,01; –0 ,001;
           q = ?

IV. Теоретическая разминка. Проверочный тест

Ученики получают бланк с тестом и бланк для ответов. После выполнения сдать на проверку.

Вариант 1.

1. Какое из чисел не является членом арифметической прогрессии 2; 5; 8;11….

1) 26,       2)30,     3)44,    4) 122.

   2. Найти сумму всех двузначных чисел. 1) 109,   2) 4905, 3) 99,    4)4500.

  3. В геометрической прогрессии b1=5, bn+1 =bn*2. Укажите формулу n-ого члена этой прогрессии.

1)  bn =5*2n ,   2) bn=5*2n,   3) bn=5*2n-1, 4) bn=5*2(n-1)

4. Найти сумму шести первых членов геометрической прогрессии -10;-20;-40...

1) 640,   2) 630,  3)-630,  4)-640.

5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 3 и  не превосходящих 150.

Вариант 2.

1. Какое из чисел не является членом арифметической прогрессии 7; 12; 17;22…?

1) 97,       2)107,     3)31,    4) 52.

   2. Найти сумму всех трехзначных чисел. 1) 999,   2) 49400, 3) 494550,    4)900.

  3. В геометрической прогрессии b1=3, bn+1 =bn*2. Укажите формулу n-ого члена этой прогрессии.

1)  bn =3*2n ,   2) bn=3*2n,   3) bn=3*2n-1, 4) bn=3*2(n-1)

4. Найти сумму шести первых членов геометрической прогрессии -12;-24;-48...

1) 1536,   2) -1524,  3)-1536,  4)1524.

5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 5 и  не превосходящих 300.

V. Физкультминутка. Упражнения для профилактики сколеоза и упражнения для глаз.

 V I.Историческая справка

Уже в далекой древности было широко распространено ростовщичество – дача денег взаймы под проценты. Разность между той суммой, которую возвращали ростовщику, и той, которую первоначально взяли у него, называлась лихвой. Так, в Древнем Вавилоне она составляла 20% и более!  Это означало, что ремесленник, взявший у ростовщика 1000 денежных единиц сроком на один год, возвращал ему по прошествии года не менее 1200 этих же единиц.

Известно, что в 14-15 вв. в Западной Европе широко распространились банки – учреждения, которые давали деньги в долг князьям, купцам, ремесленникам, финансировали дальние путешествия, завоевательные походы и т. д. Конечно, банки давали деньги не бескорыстно: за пользование предоставленными деньгами они брали плату, как и ростовщики древности. Эта плата выражалась обычно в виде процентов к величине выданных в долг денег.

Тех, кто берет в долг деньги в банке, называют заемщиками, а ссуду, т.е. величину взятых у банка денег, называют кредитом. Основную часть тех денег, которые банки выдают заемщикам, составляют деньги вкладчиков, которые они вносят в банк на хранение. Часть прибыли, которую получает банк, он передает вкладчикам в виде платы за пользование их деньгами. Эта плата также обычно выражается в процентах к величине вклада. Таким образом, средства, помещенные на хранение в банк, через определенный период времени приносят некоторый доход, равный сумме начисленных за этот период процентов.

Итак, с одной стороны, банки принимают вклады и платят по этим вкладам проценты вкладчику, а с другой – дают кредиты заемщикам и получают от них проценты за пользование этими деньгами. Разность между той суммой, которую получает банк от заемщиков за предоставленные кредиты, и той, которую он платит по вкладам, и составляет прибыль банка. Таким образом, банк является финансовым посредником между вкладчиками и заемщиками. Эта связь наглядно показана на схеме.

(а-в) – это прибыль банка.

Одним из самых распространенных способов привлечения в банк сбережений граждан, фирм и т.д. является открытие вкладчиком сберегательного счета: вкладчик может вносить на свой счет дополнительные суммы денег, может снимать со счета определенную сумму, может закрыть счет, полностью изъяв деньги, на нем хранящиеся. При этом вкладчик получает от банка плату в виде процентов за использование его денег для выдачи кредитов предпринимателям, фирмам, государству, другим банкам и т.д.

VII. Решение задач прикладного характера

Задачи:

1. Через три года в банке оказалось 880 руб., положенных под 40% (простые) годовых. Каков первоначальный вклад?

Решение:

a4 = 880               a4 = a3 + 3d, d = a1.p/100 = a1.40/100 = 0,4a1

p = 40%                 880 = a1 + 1,2a1

n=3                        880 = 2,2a1

a1 - ?                        a1 = 400

Ответ: первоначальный вклад 400 руб.

2. 750 руб. положили в банк и через 4 года получили сумму вдвое больше. Под сколько процентов (простых) положили деньги?

Решение:

a1 = 750               a5 = a4 + 4d, d = a1.p/100 = p.750/100 = 7,5p

a5 = 1500                 1500 = 750 + 30p

n=4                        750 = 30p

p - ?                        p = 25%

Ответ: 25%.

3. На сколько лет надо положить 1000 руб. по 20% (сложные), чтобы получить 1440 руб.?

Решение:

b1 = 1000                        bn+1 = b1.qn, q = 1 + p/100 = (1 + 0,2) = 1,2

p = 20                        1440 = 1000.1,2n

bn+1 = 1440                        1,44 = 1,2n

                                n = 2

Ответ:  на 2 года.

4) Банковская задача: Предприниматель взял в банке кредит на сумму 500,00 рублей под 15% годовых. Какую сумму должен вернуть предприниматель банку через 3 года?  

Решение:

Дано: (bn) – геометрическая прогрессия
b1 = 500 000
q = 1,15
b4 – ?
b4 = b1 · q3
b4 = 500 000 · (1,15)3= 500 000 · 1,520875= 760.437,5 (p)
То есть должен через 3 года 760 тыс. 437 руб. 50 коп.
Отсюда вывод: Каждый человек, который взял кредит в банке, должен обязательно выяснить все условия кредитования, чтобы убедится в том, что сможет выплатить его.

VIII. Дополнительные задачи (решаем, если останется время)

5) Вознаграждение за раны: Войну, который служил, определено вознаграждение: за 1 коп., за вторую – 2 коп., за третью – 4 коп.и т.д. Оказалось, что воин получил вознаграждение 1 руб. 27 коп. Сколько ран было у него?  

Решение:

Дано: (bn) – геометрическая прогрессия
b1= 1
q = 2
Sn = 127 коп.
n – ?


127= 2n – 1
2n = 128
2n = 27
n = 7
Ответ: 7 ран.

6) Покупка коня. (Л. Магницкий.Арифметика. 1703 г.) Купец продал коня за 156 руб., но покупатель, приобретя коня, передумал покупать и возвратил его, говоря: «Нет мне пользы покупать за эту цену коня, который таких денег не достойный». Тогда купец предложил другие условия:  «Если, по-твоему, цена за коня очень высока, то купи только ее подковные гвозди, коня же получишь бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне всего   коп., за второй  –  коп., за третий – 1 коп.  и т. д. Покупатель, прельстившись низкой ценой и желая получить коня, принял условия купца, думая, что за гвозди придется заплатить не больше 10 руб. На сколько  покупатель проторговался?

Решение:

гвоздей 6 · 4 = 24
 
Дано: (bn)– геометрическая прогрессия
b1 = 
q = 2
S24 – ?

212 = 4096
224 = (212)2 = 40962 =16 777 216

1) Покупка телефона. Родители ко Дню рождения своего сына Андрея решили купить и обновить ему мобильный телефон. Для этого они в первый месяц отложили 650 рублей, а в каждый последующий месяц они откладывали на 50 рублей больше, чем в предыдущий. Какая сумма будет у родителей Андрея  через 10 месяцев? (решаем вместе)

Решение:

Дано: (an) – арифметическая прогрессия
650; 700; …
a1 = 650
d =50
S10 – ?

a10 = a1+ 9d = 650+ 9 х 5 = 650 + 450 = 1100

VIII. Домашнее задание

§9-10,  №614, №637, №640

IX. Итог урока:

Итак, сегодня мы решали много задач о кредитах и вкладах.

-Как вы думаете выгодно ли взять кредит в банке?

- Что надо делать, чтобы не “сидеть” в кредитах?

Ученики сдают карточка рефлексии, которые лежали у них на партах.

Оценки.