Комбинированные задачи для арифметической и геометрической прогрессий.
план-конспект урока по алгебре (9 класс) по теме
План урока по комбинированным задачам, содержит: теоретический опрос, опрос анологичный международным тестам PIZA, задачи, домашнее задание.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 819 КБ |
Предварительный просмотр:
Тема урока: Комбинированные задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии.
Эпиграф урока.
Закончился XX век.
Куда стремится человек?
Изучены космос и моря,
Строенье звёзд и вся Земля.
Но математиков зовёт
Известный лозунг:
“Прогрессио – движение вперёд”.
Цели и задачи урока: (слайд 3) Научить приёмам комбинирования формул, определений, свойств арифметической и геометрической прогрессий. Научить приёму оформления задач через таблицу.
Развить навыки применения формул, составления уравнений, систем уравнений и методов их решений. Развить математический кругозор, мышление, математическую речь;
Воспитать активную работу на уроке, сознательное отношение к учёбе, интерес к изучению математики, воспитывать стремление к непрерывному совершенствованию.
Оборудование:
интерактивная доска, интернет, карточки(график для теста PISA) , презентация.
План урока.
- Организационный момент.
- Немного истории.
- Теоретический опрос.
- Решение задания PISA.
- Решение задач.
- Составление алгоритма решения комбинированных задач на арифметическую и геометрическую прогрессии.
- Рефлексия. Ответьте на вопросы сами себе.
- Домашнее задание.
Ход урока.
- Организационный момент.
- Немного истории.
В клинописных табличках вавилонян, в египетских папирусах, относящихся ко 2 тысячелетию до нашей эры, встречаются примеры арифметических и геометрических прогрессий.
Первые теоретические сведения, связанные с прогрессиями, дошли до нас в документах Древней Греции. Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны и индийским учёным.
Правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии даётся в «Книге абака» (1202г.) Леонардо Фибоначчи.
А общее правило для суммирования любой конечной геометрической прогрессии встречается в книге Н. Шюке «Наука о числах», в 1484 году.
- Теоретический опрос.
Задание. Записать номер формулы.
- Определение арифметической прогрессии.
- Формулу суммы n-первых членов арифметической прогрессии через первый член и последний.
- Формулу суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
- Формулу суммы n-первых членов геометрической прогрессии.
- Общую формулу для вычисления разности арифметической прогрессии.
- Формулу свойства членов геометрической прогрессии.
- Формулу суммы n-первых членов арифм-кой прогрессии через первый член и разность.
- Общую формулу для вычисления знаменателя геометрической прогрессии.
- Определение геометрической прогрессии.
- Формулу n-го члена геометрическую прогрессии.
- Формулу свойства членов арифметической прогрессии.
- Формулу n-го члена арифметической прогрессии.
- an+1 = an + d 7)
8)
- an = a1 + (n – 1)d 9)
0)
6) 11)
12)
Проверить код ответов ( 1, 6, 12, 11, 2,0.
Расшифровать полученные числа, как день16.12.11. 20-летия Независимости Казахстана.
- Решение заданий PISA, адаптированных для арифметической и геометрической прогрессий.
Задания по графику.
- Какая из последовательностей {cn} или {pn}является арифметической, а какая – геометрической? ( - арифм.пргрессия {cn}, - геометр.прогессия {pn})
- Найти с1 (0)
- Найти р1 (1)
- Найти d (4)
- Найти q (2)
- Какое число является и членом арифм-ской прогрессии {cn} и членом геометрической прогрессии {pn} и под какими номерами? Заполнить таблицу. (слайд 10)
Число | сn | pn |
4 | с2 | р3 |
8 | С3 | Р4 |
16 | С5 | Р5 |
32 | С9 | Р6 |
- Какой член {pn} не является членом арифметической прогрессии? (1 и 2)
- Какое число под одинаковым номером входит в обе прогрессии?(16)
- Сравнить члены прогрессий: (слайд 11)
- с2 и р2, (>) 2) с3 и р4, (=) 3) с9 и р6, (=) 4) с7 и р8, (<) 5) с1 и р1.(<)
- Какие члены арифметической прогрессии {cn} изображённые на графике не являются членами геометрической прогрессии {pn}? (0, 12, 20, 24, 28)
- Решение комбинированных задач.
«Умение решать задачи – практическое искусство, подобное плаванию или катанию на лыжах, или игре на фортепиано; научиться этому можно лишь подражая избранным образцам и постоянно тренируясь»,
Д. Пойа.
- (слайд 13) Даны 4 числа. Первые 3 из них составляют геометрическую
прогрессию со знаменателем 2, а последние 3 - арифметическую прогрессию с
разностью 6. Найти данные числа.
Дано: а, в, с, е – искомые числа. Из них геометр. прогрессия{ а, в, с} и q = 2,
арифмет.прогрессия{ в, с, е} и d = 6.
Найти: а, в, с, е.
Решение:
а | в | с | е | |
Геометр. прогрессия | а | аq = 2а | аq2 = 4а | - |
Арифмет. прогрессия | - | в | в + d = в + 6 | в + 2d = в + 12 |
По данным составим таблицу.
По таблице видно, что 2а = в и 4а = в + 6.
Имеем 4а = 2а + 6, 2а = 6, а = 3. Тогда в = 2
Ответ: 3, 6, 12, 18.
- Сумма трёх чисел, образующих арифмет. прогрессию, равна 27.
Если от этих чисел отнять соответственно 1; 3; 2, то полученные числа будут
образовывать геометрическую прогрессию. Найти исходные три числа.
Дано: а, в, с – искомые числа, арифмет. прогрессия { а, в, с},
геометр. прогрессия {а – 1, в – 3, с – 1}.
Найти: а, в, с.
Искомые числа | а | в | с |
Арифмет. прогрессия | а | в = а + d | с = а + 2d |
Геометр. прогрессия | а - 1 | (а + d) – 3 | а + 2d – 2 |
Решение:
По данным составим таблицу.
- По условию сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 27, тогда можно записать: а + а + d + а + 2d = 27, 3а + 3d = 27, а + d = 9 (1).
По данным таблицы получили при решении в = 9, так как в = а + d.
- Используем свойство членов геометрической прогрессии. Получим уравнение:
(а + d – 3)2 = (а – 1)(а + 2d – 2), (9 – 3)2 = (а – 1)( а + d + d – 2), 62 = (а – 1)(7 + d) (2)
Составим систему уравнений из уравнений (1) и (2) решим её.
d2 – d – 20 = 0
По теореме Виета и ей обратной найдём корни полученного уравнения:
Найдём искомые числа: 1) а = 9 – (– 4) = 13, в = 9, с = 9 – 4 = 5.
2) а = 9 – 5 = 4, в = 9, с = 9 + 5 = 14.
Ответ: 13, 9, 4 или 4, 9, 14.
- Даны 4 числа, составляющих геометрическую прогрессию. Если от
этих чисел отнять соответственно 10; 11; 9; 1, то полученные числа будут
образовывать арифметическую прогрессию. Найти данные числа.
Дано: а, в, с, е – искомые числа. Из них геометр. прогрессия { а, в, с, е},
арифмет. прогрессия { а – 10, в – 11, с – 9, е – 1}.
Найти: а, в, с, е.
Решение:
По данным составим таблицу.
Числа | а | в | с | е |
Геометр. прогрессия | а | аq | аq2 | аq3 |
Арифмет. прогрессия | а – 10 | в – 11 = аq – 11 | с – 9 = аq2 – 9 | е – 1 = аq3 – 1 |
По таблице используем данные и применим свойство арифметической прогрессии 1) , 2аq – 22 = a + аq2 – 19, аq2 - 2аq + a = – 3,
a(q2 - 2q + 1) = – 3, a(q – 1)2 = – 3 (1).
2) , 2аq2 – 18 = aq + аq3 – 12, аq3 - 2аq2 + aq = – 6,
aq(q2 - 2q + 1) = – 6, aq(q – 1)2 = – 6 (2).
- Почленно разделим равенство (2) на равенство (1)
=
,
После сокращения дробей получим q = 2.
- Найдём значение а из равенства (1) а = – 3.
Вычислим остальные числа: в = – 3 · 2 = – 6, с = – 6 ·2 = – 12, е = – 12 · 2 = –24.
Ответ: – 3, – 6, – 12, – 24.
- (слайд 19) Даны 3 различных числа, составляющих геометрическую
прогрессию. Необходимо между вторым и третьим членом этой
последовательности вставить число, чтобы получившаяся последовательность
была арифметической прогрессией. Найти знаменатель заданной
геометрической прогрессии.
Дано: а, в, с – искомые числа, геометрическая прогрессия { а, в, с},
арифметическая прогрессия { а, в, х, с}.
Найти: q
Решение: Так как по условию 3 различных числа, составляющих геометрическую прогрессию, то q для арифметической прогрессии d
а | в | х | с | |
Геометр. прогрессия | а | аq | - | аq2 |
Арифмет. прогрессия | а | а + d
| а + 2d | а + 3d |
По данным составим таблицу.
По таблице видно, что 1) аq = а + d, d = аq – а, d = а(q – 1) (1)
2 ) аq2 = а + 3d, 3d = аq2 – а , 3 d = а(q2 – 1) (2)
- Подставим равенство (1) в равенство (2) 3а(q – 1) = а(q2 – 1).
Разделим полученное равенство на а(q – 1) , получим 3 = q + 1, q = 2. Ответ: 2.
- Решить неравенство (3х + 7 + 3 – 1 – …)(2 + 4 + 8 + …+ х)
0, где в скобках по 6 числовых слагаемых.
Решение. 1) Рассмотрим числовые слагаемые первой скобки: 7; 3; - 1;…
Заметим, что 3 – 7 = – 4, – 1 – 3 = – 4 раз другие слагаемые не предлагаются, значит эта закономерность сохраняется и эти 6 слагаемых и они образуют арифметическую прогрессию с d = – 4 и а1 = 7.
По формуле суммы n-первых членов арифметической прогрессии найдём сумму 6 членов:
- Рассмотрим числовые слагаемые второй скобки: 2; 4; 8;…
Заметим, что 4 : 2 = 8: 4 = 2 раз не другие слагаемые не предлагаются, значит эта закономерность сохраняется и все 6 слагаемых образуют геометрическую прогрессию с
q = 2 и в1 = 2.
По формуле суммы n-первых членов геометрической прогрессии найдём сумму 6 членов:
- Полученные данные подставим в заданное неравенство (3х – 18)(126 + х)
0 и решим его методом интервалов.
Построим чертёж + –– +
– 126 6
Ответ: (-
- Решить уравнение х2 – 6│х│ – 21 – 15 – 9 - … = 3 + 2 + 1 + 0,5 + ….. где в левой части уравнения 8 числовых слагаемых.
Решение.
- Рассмотрим числовые слагаемые левой части уравнения: - 21; - 15; - 9;…
Заметим, что – 21 – (– 15) = – 15 – (– 9) = 6, раз другие слагаемые не предлагаются, значит эта закономерность сохраняется и эти 8 слагаемых образуют арифметическую прогрессию с d = 6 и а1 = – 21.
По формуле суммы n-первых членов арифмет. прогрессии найдём сумму 8 членов:
- Рассмотрим числовые слагаемые правой части уравнения без числа 3: 2; 1; 0,5;…
Заметим, что 1 : 2 = 0,5: 1 = 0,5 раз не другие слагаемые из этой последовательности не предлагаются, значит эта закономерность сохраняется и все слагаемые образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с q = 0,5 и в1 = 2.
По формуле суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии найдём сумму всех членов:
- (слайд 24) Подставим полученные результаты в уравнение х2 – 6│х│+ 0 = 3 + 4 и решим его.
х2 – 6│х│ = 7, х2 – 6│х│ – 7 = 0. Раскроем модуль по определению.
Если хто уравнение примет вид х2 – 6х – 7 = 0. Найдём его корни по второму свойству коэффициентов квадратного уравнения
Если хто уравнение примет вид х2 + 6х – 7 = 0. Найдём его корни по первому свойству коэффициентов квадратного уравнения
Ответ:
- Составление алгоритма решения комбинированных задач на арифметическую и геометрическую прогрессии.
- Введение обозначений. Дано.
- Составление таблицы.
- Составление равенств по таблице.
4. Решение или преобразования полученных равенств с использованием формул арифметической и геометрической прогрессий.
- Рефлексия. Ответьте на вопросы сами себе.
- Я знаю какая последовательность чисел является арифметической прогрессией, а какая – геометрической?
- Я знаю формулы для прогрессий?
- Я умею и знаю, как их применять эти формулы?
- Я знаю как комбинировать формулы при решении смешанных задач для арифметической и геометрической прогрессий?
Если хоть на один вопрос себе вы ответили «нет», то надо на эту тему обратить внимание и обратиться за помощью к учителю.
- Домашнее задание.
- Три числа составляют арифметическую прогрессию с разностью равной 4. Если к третье число увеличить на 8, эти три числа будут образовывать геометрическую прогрессию. Найти данные числа. (2, 6, 10)
- Даны три числа образующих геометрическую прогрессию, первое из которых равно 8. Если второе число увеличить на 1, то эта последовательность станет арифметической прогрессией. Найти знаменатель геометрической прогрессии.(1,5 или 0,5)
- Даны четыре числа. Первые три образуют геометрическую прогрессию, а последние три - арифметическую прогрессию. Сумма первого и последнего чисел равна 32, а сумма средних чисел – 24. Найти данные числа.(32, 16, 8, 0 или 2, 6, 18, 30)
"Прогрессио - движение вперёд!"
Урок сегодня завершён,
Но каждый должен знать:
Познание, упорство, труд
К прогрессу в жизни приведут.
До свидания.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
![](/sites/default/files/pictures/2011/12/30/picture-44500.jpg)
Комбинированные задачи для арифметической и геометрической прогрессий.
План урока по комбинированным задачам, содержит: теоретический опрос, опрос анологичный международным тестам PIZA, задачи, домашнее задание....
![](/sites/default/files/pictures/2018/04/08/picture-34533-1523187406.jpg)
Презентация и конспект урока на тему" Определение арифметической и геометрической прогрессий. Формулы n-го члена арифметической и геометрической прогрессий"
В технологии УДЕ (укрупненная дидактическая единица) при обучении математике одним из основных элементов является совместное и одновременное изучение родственных разделов. Арифметическая и геометричес...
Решение экономических задач с помощью арифметической и геометрической прогрессии
Предлагаю вашему вниманию урок, который я провожу при изучении темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии» в 9 классе. Материал урока позволяет показать способ решения экономических задач ...
![](/sites/default/files/pictures/2016/01/16/picture-158938-1452931159.jpg)
Задачи с практическим содержанием по теме: Арифметическая и геометрическая прогрессии
В данной презентации представлены математические задачи с практическим содержанием - это задачи, которые связаны с применением математики в технике, физике, экономике, биологии, а также в быту.Использ...
![](/sites/default/files/pictures/2013/11/27/picture-328328-1385526413.jpg)
Тема 22. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИИ.Теория.Ключевые методы решения задач. Упражнения.
Уважаемые коллеги!Актуальной задачей на сегодняшний день является качественная подготовка учащихся к государственной итоговой аттестации (ГИА) и единому государственному экзамену (ЕГЭ) по математике, ...
Многоуровневая система задач по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии».
Многоуровневая система задач по курсу алгебры и начал математического анализа позволит учащимся успешно освоить программу как на базовом, так и на углублённом уровнях, эффективно подготови...
Определение арифметической и геометрической прогрессии. Формула n-ого члена арифметической и геометрической прогрессии. 9 класс.
Конспект урока алгебры в 9 классе.Изучения нового материала....