Комбинированные задачи для арифметической и геометрической прогрессий.
план-конспект урока (алгебра, 9 класс) по теме

Тема урока: Комбинированные задачи  на                                   арифметическую и геометрическую        прогрессии.  

Эпиграф урока.

Закончился XX век.
Куда стремится человек?
Изучены космос и моря,
Строенье звёзд и вся Земля.
Но математиков зовёт
Известный лозунг:

“Прогрессио – движение вперёд”.

Цели и задачи урока: (слайд 3)   Научить приёмам комбинирования формул, определений, свойств арифметической и геометрической прогрессий. Научить приёму оформления задач через таблицу.

     Развить навыки применения формул, составления уравнений, систем уравнений и методов их решений. Развить математический кругозор, мышление, математическую речь;

     Воспитать активную работу на уроке, сознательное отношение к учёбе, интерес к изучению математики, воспитывать стремление к непрерывному совершенствованию.

Оборудование:

 интерактивная доска, интернет, карточки(график для теста PISA) , презентация.

План урока.

1. Организационный момент.
2. Немного истории.
3. Теоретический опрос.
4. Решение задания  PISA.
5. Решение задач.
6. Составление алгоритма  решения комбинированных задач на арифметическую и геометрическую прогрессии.
7. Рефлексия. Ответьте на вопросы сами себе.
8. Домашнее задание.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Немного истории.

            В клинописных табличках вавилонян,  в   египетских папирусах, относящихся ко         2 тысячелетию до нашей эры, встречаются примеры арифметических и геометрических прогрессий.

           Первые теоретические сведения, связанные с прогрессиями, дошли до нас в документах Древней Греции. Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны и индийским учёным.

         Правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии даётся в «Книге  абака» (1202г.) Леонардо Фибоначчи.

         А общее правило для суммирования любой конечной геометрической прогрессии встречается в книге Н. Шюке «Наука о числах», в 1484 году.

3. Теоретический опрос.

Задание.  Записать номер формулы.

1. Определение арифметической прогрессии.

1. Формулу суммы n-первых членов арифметической прогрессии через первый член и последний.

1. Формулу суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

1. Формулу суммы n-первых членов геометрической прогрессии.

2.     Общую формулу для вычисления разности арифметической прогрессии.

1. Формулу свойства членов геометрической прогрессии.

1. Формулу суммы n-первых членов арифм-кой прогрессии через первый член и разность.

1. Общую формулу для вычисления знаменателя  геометрической прогрессии.

2. Определение геометрической прогрессии.

2. Формулу n-го члена геометрическую прогрессии.

1. Формулу свойства членов арифметической прогрессии.

3. Формулу n-го члена арифметической прогрессии.

1. an+1  = an  + d                                   7)  
2.                           8)
3. an = a1 + (n – 1)d                            9)
4.                             0)

6)                  11)

                     12)

Проверить код ответов (      1, 6, 12, 11, 2,0.

Расшифровать полученные числа, как день16.12.11.  20-летия Независимости Казахстана.

4. Решение заданий PISA, адаптированных для арифметической  и геометрической прогрессий.

Задания по графику.

1. Какая из последовательностей {cn} или {pn}является арифметической, а какая – геометрической? (       - арифм.пргрессия {cn},      - геометр.прогессия {pn})
2. Найти с1 (0)
3. Найти р1 (1)
4. Найти d (4)
5. Найти q (2)
6. Какое число является и членом арифм-ской прогрессии {cn} и членом геометрической прогрессии {pn} и под какими номерами? Заполнить таблицу. (слайд 10)

7. Какой член {pn} не является членом арифметической прогрессии?  (1 и  2)
8. Какое число под одинаковым номером входит в обе прогрессии?(16)
9. Сравнить члены прогрессий: (слайд 11)

1. с2 и р2, (>)      2)   с3 и р4,  (=)      3) с9 и р6,  (=)           4) с7 и р8,  (<)  5) с1 и р1.(<)

10.  Какие члены арифметической прогрессии  {cn} изображённые на графике не являются членами геометрической прогрессии {pn}? (0, 12, 20, 24, 28)

5. Решение комбинированных задач.

     «Умение решать задачи – практическое искусство,   подобное плаванию или катанию на лыжах, или игре на фортепиано;  научиться этому можно лишь подражая избранным образцам и постоянно тренируясь»,

Д. Пойа. 

1. (слайд 13) Даны 4 числа. Первые 3 из них составляют  геометрическую

            прогрессию со знаменателем 2, а последние 3 - арифметическую прогрессию с

            разностью 6. Найти данные числа.

Дано: а, в, с, е – искомые числа. Из них геометр.  прогрессия{ а, в, с} и q = 2,

           арифмет.прогрессия{ в, с, е} и d = 6.

Найти: а, в, с, е.

Решение: 

По данным составим таблицу.

По таблице видно, что 2а = в     и     4а = в + 6.

Имеем  4а = 2а + 6, 2а = 6, а = 3. Тогда в = 2

Ответ: 3, 6, 12, 18.

2.  Сумма трёх чисел, образующих  арифмет. прогрессию, равна 27.

            Если от этих чисел отнять соответственно 1; 3; 2, то полученные числа будут

            образовывать геометрическую прогрессию. Найти исходные три числа.

Дано: а, в, с – искомые числа, арифмет.  прогрессия { а, в, с},

           геометр.  прогрессия {а – 1, в – 3, с – 1}.

Найти: а, в, с.

Решение:

По данным составим таблицу.

1.    По условию сумма трёх чисел, образующих  арифметическую прогрессию, равна 27, тогда можно записать: а + а + d + а + 2d = 27,        3а + 3d = 27,       а + d = 9 (1). 

По данным таблицы получили при решении в = 9, так как в = а + d.

2. Используем свойство членов геометрической прогрессии. Получим уравнение:

(а + d – 3)2 = (а – 1)(а + 2d – 2),      (9 – 3)2 = (а – 1)( а + d + d – 2),        62 = (а – 1)(7 + d) (2)

Составим систему уравнений из уравнений (1) и (2) решим её.

  d2 – d –  20 = 0

По теореме Виета и ей обратной найдём корни полученного уравнения:
Найдём искомые числа: 1) а = 9 – (– 4) = 13,      в = 9,        с = 9 – 4 = 5.

                                           2) а = 9 – 5 = 4,             в = 9,        с = 9 + 5 = 14.

Ответ: 13, 9, 4 или  4, 9, 14.

3. Даны 4 числа,  составляющих  геометрическую прогрессию. Если от

            этих чисел отнять соответственно 10; 11; 9; 1, то полученные числа будут

            образовывать арифметическую прогрессию. Найти данные числа.

Дано: а, в, с, е – искомые числа. Из них геометр.  прогрессия { а, в, с, е},

            арифмет.  прогрессия { а – 10, в – 11, с – 9, е – 1}.

Найти: а, в, с, е.

Решение: 

По данным составим таблицу.

По таблице используем данные и применим свойство арифметической  прогрессии                1)      ,      2аq – 22 = a + аq2 – 19,       аq2 - 2аq + a = – 3,    

 a(q2 - 2q + 1) = – 3,          a(q – 1)2 = – 3  (1).

2)  ,      2аq2 – 18 = aq + аq3 – 12,       аq3 - 2аq2 + aq = – 6,    

 aq(q2 - 2q + 1) = – 6,          aq(q – 1)2 = – 6  (2).

3. Почленно разделим  равенство (2) на равенство (1)         = , 

После сокращения  дробей получим  q = 2.

4. Найдём значение а из равенства (1)   а =  – 3.

Вычислим остальные числа: в =  – 3 · 2 = –  6,  с = – 6 ·2 = – 12,  е = – 12 · 2 = –24.

 Ответ: – 3, – 6, – 12,  – 24.

4. (слайд 19) Даны 3 различных числа,  составляющих  геометрическую

            прогрессию. Необходимо между вторым и третьим членом этой  

            последовательности вставить число, чтобы получившаяся последовательность

            была  арифметической прогрессией. Найти знаменатель заданной

            геометрической  прогрессии.

Дано: а, в, с – искомые числа,  геометрическая  прогрессия { а, в, с},

            арифметическая  прогрессия { а, в, х, с}.

Найти: q

Решение: Так как по условию 3 различных числа,  составляющих  геометрическую прогрессию, то q для арифметической  прогрессии d  

По данным составим таблицу.

По таблице видно, что   1)  аq = а + d,         d = аq – а,         d = а(q – 1) (1)

2 ) аq2 = а + 3d,        3d = аq2 – а ,      3 d = а(q2 – 1) (2)

1. Подставим равенство (1) в равенство (2)  3а(q – 1) = а(q2 – 1).

Разделим полученное равенство на а(q – 1) , получим  3 = q + 1,  q = 2.  Ответ: 2.

5.  Решить неравенство (3х + 7 + 3 – 1 – …)(2 + 4 + 8 + …+ х)  0, где в скобках по 6 числовых слагаемых.

Решение. 1)  Рассмотрим числовые слагаемые первой скобки: 7; 3; - 1;…

 Заметим, что 3 – 7 = – 4,      – 1 – 3 = – 4 раз другие слагаемые не предлагаются, значит эта закономерность сохраняется и эти 6 слагаемых и они  образуют арифметическую  прогрессию с  d = – 4 и а1 = 7.

По формуле суммы n-первых членов арифметической  прогрессии найдём сумму 6 членов:    

1. Рассмотрим числовые слагаемые второй скобки: 2; 4; 8;…

Заметим, что 4 : 2 = 8: 4 = 2 раз не другие слагаемые не предлагаются, значит эта закономерность сохраняется и все 6 слагаемых образуют геометрическую  прогрессию с

 q = 2 и  в1 = 2.

По формуле суммы n-первых членов геометрической  прогрессии найдём сумму  6 членов:

2.  Полученные данные подставим в заданное неравенство (3х – 18)(126 + х)  0 и решим его методом интервалов.

Построим чертёж         +                           ––                       +

          – 126                                      6

Ответ: (-         

6. Решить уравнение х2 – 6│х│ – 21 – 15 – 9 - … = 3 + 2 + 1 + 0,5 + ….. где в левой части уравнения 8 числовых слагаемых.

Решение.

1. Рассмотрим числовые слагаемые левой части уравнения: - 21; - 15; - 9;…

 Заметим, что – 21 – (– 15) =  – 15 – (– 9) =  6,   раз  другие слагаемые не предлагаются, значит эта закономерность сохраняется и эти 8 слагаемых образуют арифметическую  прогрессию с  d = 6 и а1 = – 21.

По формуле суммы n-первых членов арифмет.  прогрессии найдём сумму  8 членов:            

3. Рассмотрим числовые слагаемые правой части уравнения без числа 3: 2; 1; 0,5;…

Заметим, что 1 : 2 = 0,5: 1 = 0,5 раз не другие слагаемые из этой последовательности не предлагаются, значит эта закономерность сохраняется и все  слагаемые образуют бесконечно убывающую геометрическую  прогрессию с  q = 0,5 и  в1 = 2.

По формуле суммы  членов бесконечно убывающей геометрической  прогрессии найдём сумму всех членов:

2. (слайд 24)  Подставим полученные результаты в уравнение х2 – 6│х│+ 0  = 3 + 4 и решим его.

х2 – 6│х│ = 7,   х2 – 6│х│ – 7 = 0. Раскроем модуль по определению.

Если хто уравнение примет вид  х2 – 6х – 7 = 0. Найдём его корни по второму свойству коэффициентов квадратного уравнения

Если хто уравнение примет вид х2 + 6х – 7 = 0. Найдём его корни по первому свойству коэффициентов квадратного уравнения

Ответ:

6. Составление алгоритма решения комбинированных задач на арифметическую и геометрическую прогрессии.

1. Введение обозначений. Дано.
2. Составление таблицы.
3. Составление равенств по таблице.

4.    Решение или преобразования полученных равенств с использованием формул арифметической  и геометрической прогрессий. 

7.  Рефлексия.  Ответьте на вопросы сами себе.

1. Я знаю какая последовательность чисел является арифметической  прогрессией, а какая – геометрической?
2. Я знаю формулы для прогрессий?
3. Я умею и знаю, как их применять эти формулы?
4. Я знаю как комбинировать формулы при решении смешанных задач для арифметической  и геометрической прогрессий?

Если хоть на один вопрос себе вы ответили «нет», то надо на эту тему обратить внимание и обратиться за помощью к учителю.

8.   Домашнее задание.

1. Три числа составляют арифметическую  прогрессию с разностью равной 4. Если к третье число увеличить на 8, эти три числа будут образовывать геометрическую  прогрессию. Найти данные числа. (2, 6, 10)
2. Даны три числа образующих геометрическую прогрессию, первое из которых равно 8. Если второе число увеличить на 1, то эта последовательность станет арифметической  прогрессией. Найти знаменатель геометрической прогрессии.(1,5 или 0,5)
3. Даны четыре числа. Первые три образуют геометрическую прогрессию, а последние три - арифметическую  прогрессию. Сумма первого и последнего чисел равна 32, а сумма средних чисел – 24. Найти данные числа.(32, 16, 8, 0 или 2, 6, 18, 30)

          "Прогрессио - движение вперёд!"

      Урок сегодня завершён,

      Но каждый должен знать:

     Познание, упорство, труд

    К прогрессу в жизни приведут.

До свидания.