План- конспект урока "Решение линейных уравнений с параметрами", 7 класс
учебно-методический материал по алгебре (7 класс) на тему

Конспект открытого урока в 7 классе по теме «Решение линейных уравнений с параметрами»

Цель урока: обобщить и систематизировать знания по теме «Линейные уравнения с параметром», способствовать формированию навыков решения линейных уравнений с параметром, знакомство учащихся с новыми понятиями, расширение их математического образования.

Задачи урока: 

• Образовательная – показать алгоритм решения уравнений, формировать осознанный подход к решению уравнений с параметром;
• Развивающая – способствовать развитию логического мышления, навыков исследовательской деятельности, творческих способностей, интуиции.
• Воспитательная – воспитать самостоятельность, ответственность, способствовать формированию алгоритмической культуры, рациональному использованию времени.

Тип урока:  урок повторения, обобщения и систематизации знаний.

Методы обучения:

а) словесно-иллюстрационные;

б) наглядные;

в) частично-поисковый;

г) деятельностные.

Оборудование: компьютер, проектор

Форма организации учебной деятельности:

- фронтальная;

- индивидуальная.

Предполагаемый результат:

1) усовершенствованная математическая речь учеников;

2) ученики приобретают знания о  методе решения линейных уравнений с параметром и совершенствуют его применение.

Ход урока

I. Организационный момент

Сформулировать тему урока и его цели

II. Актуализация знаний учащихся

1. Вспомним решение простейшего линейного уравнения ax = b.

Показать на экране:

2. Найдите корни уравнения

а) 3 + х = 4 – х, (0,5)

б) 9х - 4 = 9х + 5, ( ø )

в) 3х + 1 = 3х + 1. (х принадлежит R)

3. При каких значениях b число 3 является корнем уравнения?

а) bx = - 9, (b =- 3)

б) 8x = 4b. (b = 8)

4.        Решить уравнение:

а)  ах = 8

Данное уравнение содержит параметр.

На экране показать:

В правой части уравнения конкретное число, не равное нулю, следовательно, решение данного уравнения будет зависеть от значения параметра а:

Если а = 0, то уравнение имеет вид 0 • х = 8, такое уравнение решений не имеет.

Если  а ≠ 0, то х = а / 8.

б) ах = а

Если а = 0, то уравнение примет вид 0х = 0, а решением данного уравнения является х – любое число; если а ≠ 0, то х = 1

5. Решите уравнение с параметром:

а) , (если m = 0 то x принадлежит R; если m  ≠  0, то решений нет)

б) , (х = а/4)

в) (если а = 0, то решений нет; если а не равен 0, то х = а/4).

6. Назовите одно из решений уравнения .

III. Решение уравнений:

а) (а - 2)х = 10 – 5х  (решает учитель)

Приведем данное уравнение к  виду  ах = в:

ах – 2х = 10 – 5х

-2х  + ах  + 5х = 10

х( 5 + а -2) = 10

(3+а)х  = 10

Выясним при каком значении параметра а коэффициент перед х обратится в ноль:

3 + а = 0    а = -3 (назовем его контрольным значением параметра)

1) если а = -3, то 0 • х = 10, а значит корней нет;

2) если а ≠ -3, то х = 10/ (3 + а)

Ответ: при а = -3   корней нет, при а ≠ -3     х = 10/(3 +а)

б) (n2 – 9)x + 4 = 2(x + 6) – 7x (решают учащиеся)

n2x – 9x + 4 = 2x + 12 -7x

n2x – 9x -2x + 7x = 12 – 4

n2x – 4x = 8

(n2 – 4)x = 8

Найдем контрольные значения параметра

n2 – 4 = 0; n2 = 4;    n = 2 или  n = -2 

Тогда если:

1. n = ± 2, то уравнение примет вид 0 • х = 8, значит корней нет;
2. n ≠ ± 2, то  х = 8/( n2 – 4)

Ответ: при n = ± 2 корней нет, при n ≠ ± 2    х = 8/( n2 – 4)

в) а3х + 6 = а2 + 4ах – а

а(а2 – 4)х =  а2 – а – 6

Контрольные значения параметра:

а(а2 – 4) = 0

а = 0 или (а2 – 4) = 0

                 (а - 2)(а + 2) = 0

                  а = 2 или а = -2

1) при а = 0 уравнение примет вид 0 • х = -6, значит корней  нет;

2) при а = 2  получим   0 • х = -4 , значит корней нет;

3) при а = -2  получим 0 • х = 0 , то х – любое число;

4) если а ≠ ±2  и а ≠ 0, то х = (  а2 – а – 6)/(а(а2 – 4)).

Ответ: при а = 0 или а = 2 решений нет;

            при а = -2 х – любое число;

            если а ≠ ±2  и а ≠ 0, то х = (  а2 – а – 6)/(а(а2 – 4)).

3. Самостоятельная работа.

Решить уравнение:

Текст самостоятельной работы показать на экране:

4. Самопроверка.

На экране высвечивается решение уравнений.

5. Задание с введением дополнительного условия

При каких  значениях  параметра  а  среди   корней   уравнения                        

      2ах – 4х –а2 + 4а - 4  = 0 есть корни больше  1.

Решение: 2ах – 4х – а2 + 4а - 4  = 0

      2(а-2) х = а2 –4а +4

                2(а-2) х = (а-2)2

                При а = 2, 0 х = 0  решением будет любое число, в том числе и большее  1.

                 При а ≠ 2  х = , по условию  х> 1, то  > 1, а>4 .

Ответ : при а ∈{2}  ∪ (4 ; + ∞  ) .

6. Выполнение теста.

Тест

Вариант 1

1. Решите уравнение  mx + 2   = - 1  относительно  х .

А. x = - , при m ≠ 0  

Б. 1) при m = 0 корней нет;

    2) при m ≠ 0             x =                          

В. 1) при m = 0  корней нет

     2) при m ≠ 0               x = - .

 2.    Решите уравнение k(х – 4 ) +  2(х + 1) = 1 относительно  х.

А.1) при k = -2  корней нет;

    2) при k  ≠ -2            х =

Б.1) при k = - 2 корней нет

    2) при k =          x = 0

В.1) при   k  = 0 корней нет.

   2) при k ≠ 0  х =  

   3) при  k ≠ -2 , k ≠          х =

3. Решите уравнение    2а (а-2)х = а2-5а+6  относительно х.

А. 1) при а =2          х  ∈ R

2) при а =0 корней нет

3) при а ≠ 0 и а ≠ -2, х =

Б. 1) при а =2     х ∈ R

    2) при а =0 корней нет

    3) при а≠0 и а ≠ 2, х =

В. 1) при а=2   х ∈ R

2) при  а =0  корней нет    

3) при а =3  х =3

4)  при а ≠2, а ≠ 0, а≠ 3      х =  

4. При каких значениях     b   уравнение 1+2х –bх=4+х  имеет отрицательное решение?

А.При  b  < 1     Б.  При b > 1              В. При  b < -1

Тест

Вариант 2

1. Решите уравнение  (m – 2) х = 3   относительно  х .

А. x = - , при m ≠ 0  

Б. 1) при m = 2 корней нет;

    2) при m ≠ 2            x =                         

В. 1) при m = 2  корней нет

     2) при m ≠ 2               x =  .

 2.    Решите уравнение а(3х-2) =6х – 4 относительно  х .

А.1) при а = 2       x – любое число;

    2) при а  ≠ 2            х =

Б.1) при а = -2  корней нет

    2) при  а =          x = 0

В.1) при   а  = 0 корней нет.

   2) при а ≠ 0  х =

   3) при  а ≠ -2 , а ≠          х =

3. Решите уравнение  3ах – 6х –а2 + 4а - 4  = 0   относительно х .

А. 1) при а =2          х  ∈ R

2) при а =0 корней нет

3) при а ≠ 0 и а ≠ -2, х =

Б. 1) при а =2     х ∈ R

    2) при а≠2 , х =

В. 1) при а=2   х ∈ R

2) при  а =0  корней нет    

3) при а =3  х =3

4)  при а ≠2, а ≠ 0, а≠ 3      х =  

4. При каких значениях b среди корней уравнения   х – bх + b2 – 1=0  есть корни больше  1?

А.При  b  > -1     Б.  При b > 0              В. При  b < -1

ТЕСТ №1

ТЕСТ №2

7. Подведение итогов.

8. Домашнее задание:

Решите уравнения:

а) (2b – 3x) + (x – 5b) = 4x + 6b

б) (2x – c) – (5c – x) = 3c

1. При каких значениях параметра с корень уравнения х+с=3х-5 является неотрицательным числом?
2. При каких значениях параметра а корень уравнения 4а+12х=4ах-3а+6 больше 3?

Самоанализ урока

1. В классе обучаются 29 учащихся. 10 учащихся могут учиться на 4-5, 13 человек на четвёрки, остальные без направляющей помощи учиться не могут. При планировании урока это было учтено и определило выбор методов и приёмов изложения  материала и способов закрепления полученных знаний на основе систематизации .

2. Этот урок является  уроком обобщения и систематизации знаний и умений. Материал урока направлен на развитие логического мышления, алгоритмической культуры, интуиции, навыков исследовательской деятельности, творческих способностей учащихся. Задачи подобраны одно-двухшаговые и алгоритмичные по своему решению. Структура урока: постановка цели и задач урока; повторение умений и навыков, являющихся опорой для обобщения и систематизации знаний по данной теме; проведение проверочных упражнений (устное решение уравнений); ознакомление с алгоритмом решения линейных уравнений с параметром, упражнения на закрепление данного алгоритма; тренировочные упражнение по образу и подобию в виде самостоятельной работы; самоконтроль учащихся; решение уравнений с дополнительным условием, предполагающие элементы творчества в деятельности учащихся

3. На уроке решались следующие задачи:

Обобщить и систематизировать знания по теме «Линейные уравнения с параметром», Изучить  алгоритм решения линейных уравнений с параметром, формировать у  учащихся осознанный подход к решению уравнений с параметром. Способствовать развитию логического мышления. Воспитание самостоятельности, ответственности, способствовать формированию алгоритмической культуры, рациональному использованию времени.

Комплексность их решения продумана. Главными были обучающие задачи, при их решении попутно решались и развивающие, и воспитывающие задачи. Развивающая задача решалась через приёмы доступного изучения материала, а воспитывающая уже на этапе выбора класса для открытого урока, во время самопроверки.

4. Данная структура урока продиктована тем, что класс сильный, большинство учащихся  активно работают на уроке, способны быстро воспринимать информацию. Поэтому урок  плотнен и динамичен на всех этапах. Опрос проводился с целью актуализации имеющихся знаний.  Связки между этапами логичны. Домашнее задание содержит четыре номера.

5. Главный акцент делался на понятиях: линейное уравнение, параметр, контрольные значения параметра, алгоритм решения линейного уравнения с параметром. Выбраны задания различного вида: линейные уравнения стандартного вида, уравнения, которые нужно привести к стандартному виду, линейные уравнения с дополнительным условием. Существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа.

6. Методы обучения выбраны частично-поисковые, наглядные, деятельностные.

7. Необходимости применения методов дифференцированного обучения не было. Достаточно оказания индивидуальной помощи.

8. Контроль усвоения знаний осуществлялся наблюдением за самостоятельностью и активностью учащихся на первых этапах урока, в конце урока была дана самостоятельная работа в форме теста.

Результаты выполнения теста:

9. Использовались средства обучения: Учебник и задачник А.Г.Мордкович и др.-2011 год, компьютер, проектор, карточки с тестом,  активно использовалась доска.

10. Задачи реализованы полностью.