«Многоуровневая система задач с параметрами при решении линейных уравнений в 7 классе»
статья (7 класс) на тему

            «Методические особенности обучения решению задач с параметрами в условиях перехода на ФГОС ООО»

Тема:    «Многоуровневая система  задач с параметрами при решении линейных    

                  уравнений в 7 классе»

Цель  работы: Формировать универсальные учебные действия и научить решать задачи на заданную тему.

 Задачи:

- образовательные (формирование познавательных УУД):  

научить в процессе реальной ситуации использовать определения следующих понятий: «параметр», «линейное уравнение с одной переменной», «линейное уравнение с двумя переменными», «линейная функция» , «системы двух линейных уравнений с двумя переменными»,; решать задачи с параметрами

- воспитательные (формирование коммуникативных и личностных УУД):  

умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие, воспитывать ответственность и аккуратность.

- развивающие (формирование регулятивных УУД)

1. умение обрабатывать информацию и ранжировать ее по указанным основаниям; представлять информацию в табличной форме, формировать коммуникативную компетенцию учащихся; выбирать способы решения задач в зависимости от конкретных условий; рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности.

Формы работы учащихся: индивидуальная работа, фронтальная работа, групповая технология, ИКТ.

Необходимое техническое оборудование и средства: компьютер, мультимедийный проектор, доска, экран, тетради, учебники, карточки с заданиями.

1.Место и значение данного разработанного блока на ступени основного общего образования: Задачи с параметрами представляют математический интерес, способствуют интеллектуальному развитию учащихся, служат хорошим материалом для отработки навыков. Они обладают диагностической ценностью, так как с помощью них можно проверить знание основных разделов математики, уровень математического и логического мышления, первоначальные навыки исследовательской деятельности и перспективные возможности успешного овладения курса математики в высших учебных заведениях.

Умение решать задачи с параметрами поможет  при сдаче ЕГЭ

В курсе математики в общеобразовательной школе учащимися должны быть отработаны умения решения задач с параметрами. Кроме непосредственной подготовки учащихся к экзаменам по данному разделу математики (решение задач с параметрами), главная его задача - поднять на более высокий уровень изучение математики в школе, следующий за развитием умений и навыков решения определенного набора стандартных задач. Ибо, решение задач с параметрами требует наличия определенного уровня математической культуры, навыков обобщения и разделения задачи на элементарные, аргументирования и обоснования своих действий, рассуждения на отвлеченном уровне, т.е. навыков проведения логических операций.

Знакомить учащихся с заданиями с параметрами следует, начиная с 7 класса, постепенно включая их в список задач к общему курсу.

• В 7 классе представляется возможным вводить решение линейных уравнений с параметрами и простейших систем линейных уравнений с параметрами.

Параметр (от греч. рarametron –отмеривающий, соразмеряющий), величина, значения которой служат для различения элементов некоторого множества между собой.

В уравнениях коэффициенты при неизвестных или свободные члены заданные не конкретными числовыми значениями, а обозначенные буквами называются параметрами.

Решить уравнение с параметрами означает:

1. Определить, при каких значениях параметров существуют решения;
2. Для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующее множество решений.

Существуют  различные формы условий задач с параметрами - исследовать уравнение, определить количество решений, найти положительные решения и др. В седьмом классе мы изучаем предмет алгебра по учебнику А.Г.Мордковича. В данном учебнике всего 1610 упражнений. Из них около 30 с параметрами. Таким образом, задачи с параметрами составляют примерно 1,8% от общего количества упражнений по алгебре в 7 классе.   Конечно же, при таком соотношении упражнений  сложно научиться решать задачи с параметрами. Однако, можно ввести многоуровневую систему задач с параметрами, используя основные этапы ее составления:

1. Выделение уровней внешней дифференциации.

2.Выделение уровней внутренней дифференциации.

3. Составление перечня базовых задач

4. Конструирование матричной модели многоуровневой системы задач для определенной темы курса.

5. Проведение уроков на основе многоуровневой системы задач.

6.Ведение мониторинга успешной математической деятельности учащихся.

                         Линейные уравнения с одной переменной.

Общий вид: αх+ b=0

αх = b, где х – неизвестное; α, b – параметры.

Методы решения уравнений с параметром:

1)Аналитический - способ прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в уравнении без параметров.

       Алгоритм решения:  

Упростить уравнение так, чтобы оно приняло вид      ах=в.

Исследовать коэффициент уравнения (если он содержит параметр) на равенство нулю (а = 0, а ≠ 0).

Исследовать корни уравнения при каждом фиксированном значении параметра (уравнение имеет единственный корень, бесконечное множество корней, не имеет корней).

Записать ответ с учетом фиксированных значений параметра.

Базовый уровень

Решить уравнение

1).a x-7=0.

Решение:

Запишем уравнение в стандартном виде  a x=7.

1)Если  a =0, то уравнение не имеет корней.

2)Если a   0, то x=

Ответ: если a =0, корней нет;

если a  0,то  x=

2)ах=5;

3).a x-4=2.

4).-a x+6=0.

5).7-a x=0.

6).a x-8=х-14.

7).2+a x=4.

8). a x+1,5=4,5.

Модифицированные задачи

Решить уравнение

1.)тх+3=4т-2х.

 Решение:

Запишем уравнение в стандартном виде

тх+2х=4 т-3,

х(т+2)=4 т-3,

Если т+2=0,    т=-2, то уравнение  примет следующий вид   0х=4 (-2)-3,

 0х=-11. Это уравнение не имеет корней. 

Если т+2    0,     т    -2,  то х = (4т-3)/ (т+2).

 Ответ:  при т=-2, корней нет;    при т = -2,  х= (4т-3)/ (т+2).

2) 2х-3(х-а)=3+а;

3) 4х-6(х-а)=6-а;

4)(2m−1)x = 1;

5)8. 12= a(x − 2)

6)9. (3n + 1)x = 1;

7)2ах-5(2+х);

8)ах-а=х-1;

Исследовательские задачи

1). При каких значениях р корнем уравнения р(х+4)-(5-р)=16  является число 2?

Преобразуем выражение, приведем к стандартному виду, учтем условие и найдем значение параметра

рх+4р-5+р=16

р(х+4+1)=16+5

при х=2 имеем: р(2+4+1)=21

р=21:7

р=3

Ответ: при р=3

2). При каких значениях а корнем уравнения  х(6-а)+а(х+2)=26  является число 4?

3). При каком значении параметра  a,    х=5   является корнем уравнения х+2=а+7?

4)  Придумайте  уравнение с параметром т, которое имеет бесконечно много решений.

5). Найдите значения а, при котором число 2 является корнем уравнения  х(а-2)+а(7-х)=3.

6) Решить относительно Х линейное уравнение с параметром m:

По смыслу задачи (m-1)(x+3) = 0, то есть m=1,  x= –3.

Умножив обе части уравнения на (m-1)(x+3), получим уравнение

     , получаем    

          .          

Отсюда при m= 2,25  .

Теперь необходимо проверить, нет ли таких значений m, при которых

найденное значение x равно –3.

          ,          

решая это уравнение, получаем, что х равен –3 при m = –0,4.

Ответ: при m=1, m =2,25.

7 При каком значении параметра а  х=2,5 является корнем уравнения х+2=а+7?
 Решение.
Т.к.  х= 2,5 – корень уравнения  х+2=а+7, то при подстановке  х= 2,5 в уравнение 
получим верное равенство  2,5+2=а+7, откуда находим  а =-2,5.
Ответ: при а=-2,5

.8) Найдите множество корней уравнения  ах = 4х+5
а)  при а=4; б)  при а≠4.

Линейные уравнения с двумя переменными. Линейная функция.

При изучении линейной функции в7 классе рассматривается линейное уравнение с двумя переменными и его график, где учащихся знакомят с параметром в неявном виде, то есть при рассмотрении нахождения корня линейного уравнения с одной неизвестной ставится ограничение на переменную a. 
В задачнике содержатся задания, в которых требуется нахождение коэффициента уравнения если известно решение уравнения, то есть найти значения параметра, если известно решение уравнения или необходимо найти значения переменной, если известно, что график функции проходит через данную точку. Эти задания подготавливают ученика к методу «ветвлений» решения уравнений с параметром.

                                              Базовый уровень

1) Найдите значение коэффициента  а  в уравнении ах+5у-40=0, если известно что решением уравнения является пара чисел (3; 2)

Ранее у нас было задано или мы сами составляли линейное уравнение с известными коэффициентами, в данном случае один из коэффициентов неизвестен, но дано одно из решений уравнений, то есть пара значений х и у, удовлетворяющих уравнению. Чтобы найти параметр а подставим данные значения в уравнение:

а3+5  ;        3а-30=0;       3а=30 ;    а=10,

итак, исходное уравнение имеет вид: 10х+5у-40=0

Итак, мы рассмотрели линейное уравнение с двумя неизвестными:ах+ву+с=0, а0,в Отметим, что в случае, если а=0, мы получаем частный случай данного уравнения – уравнение с одной переменной:ву+с=0 Аналогично если в=0 мы получим линейное уравнение с одной переменной: ах+с=0

2) Найдите значение коэффициента  а  в уравнении ах+5у- 35=0, если известно что решением уравнения является пара чисел( ; 0)

4) Найдите значение коэффициента  в  в уравнении 6х+ву-40=0, если известно что решением уравнения является пара чисел (3; 8,5)

5) Найдите значение коэффициента  с  в уравнении 8х+3у- с=0, если известно что решением уравнения является пара чисел (0,125; -)

6) При каком  значении m  решением  уравнении mх+4у-12m=0, является пара чисел (0;-3)

7) Преобразуйте линейное уравнение с двумя переменными  -4х + 2у=6 к виду линейной функции у=kх+m

2у= 4х+6

8) При каком  значении р  решением  уравнении рх-3ру+ 6=0, является пара чисел(1,5;-1,5)

Модифицированные задачи

1) Преобразуйте линейное уравнение с двумя переменными  х - у +1= 0 к виду линейной функции у=kх+m

2)Найдите значение m, если известно, что график линейной функции у= -5х + m  проходит через точку  N(1;2)

3)Найдите значение m, если известно, что график линейной функции у= -5х + m  проходит через точку  К(0,5;4)

4)Найдите значение m, если известно, что график линейной функции у= -5х + m  проходит через точку  Р(1,2; -3)

5)Найдите значение m, если известно, что график линейной функции у= -5х + m  проходит через точку  Е (-7; 8)

6) Найдите значение k, если известно, что график линейной функции у=kх+4проходит через точку  C (3;5)

7) Найдите значение k, если известно, что график линейной функции у=kх+4проходит через точку  F (;-8)

8) Найдите значение k, если известно, что график линейной функции у=kх+4проходит через точку  L (7,2; -5)

Исследовательские задачи

1)При каких а уравнение 6(ах - 1) + а = 3(а-х) + 7  имеет бесконечно много решений?
2)При каких а уравнение 6(ах - 1) + а = 3(а-х) + 7  имеет одно  решение?
3)При каких а уравнение 6(ах - 1) + а = 3(а-х) + 7   не имеет решений?
4) При каких а уравнение 2(3х-2а) = 2 + ах не имеет решений?

5) При каких а уравнение 2(3х-2а) = 2 + ах имеет одно  решение?

6) При каких а уравнение 2(3х-2а) = 2 + ах   имеет бесконечно много решений?

7) При каком значении а  

 3х + 5y = 10 и 2x + ay = 6 пересекаются в точке, принадлежащей оси ординат?

8) При каком значении k  прямые 2x + 3y = 4 и kx – 5y = 13 пересекаются в точке, принадлежащей оси абцисс?

Систем двух линейных уравнений  с двумя переменными.

 
Говорят, что дана система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными x и y, если требуется найти пары чисел (,), являющиеся решениями одновременно первого и второго уравнения.
Системы линейных уравнений с параметрами решаются, как обычные системы, — методом подстановки или сложения. Однако нужно помнить, что коэффициенты при неизвестных могут обращаться в нуль, что влияет на количество решений системы уравнений. Система может не иметь решений, иметь одно решение, иметь бесконечно много решений. 
Системе двух линейных уравнений с двумя неизвестными соответствует пара прямых на плоскости. Это позволяет наглядно продемонстрировать число решений системы. Две прямые могут либо пересекаться — одно решение, либо совпадать — бесконечно много решений, либо не иметь общих точек. 

                                              Базовый уровень

1) При каких значенях a  и b   решением системы уравнений

    является пара чисел (2; -1)

Решение:

2) )является пара чисел (-1;2)

3) )является пара чисел (1;-2)

4)  является пара чисел (-2;1)

5)  является пара чисел (1;1)

6)  является пара чисел (-4;-6)

7) )  является пара чисел (2;2)

8)  является пара чисел (1;1)

Модифицированные задачи

1) При каких значениях параметра а система 
а) имеет бесконечно много решений;
б) имеет единственное решение?
Решение:
а)  = , а = 4.
б)  , а  4.

Ответ: а) если а = 4, то система имеет бесконечно много решений;
б) если а 4, то решение единственное.

2) Решите систему уравнений: 
Решение:
а)
  , т. е. при m  1 система имеет единственное решение  
1– ym – y = n – 2y

-ym + y = n – 1

 , 

б)   , т. е. при m = 1 и n  исходная система решений не имеет.

в)    , при m = 1 и n = 1 система имеет бесконечно много решений.

Ответ: если m = 1 и n , то решений нет;
если m = 1 и n = 1, то решений бесконечное множество, если m  и n – любое, то 
3)При каком значении k система  имеет бесконечное множество решений?
4)Решите систему уравнений 

5) При каком значении d система  не имеет решений?

6) Решите систему уравнений 
7) Решите систему уравнений 

8)  При каком значении а система  решений не имеет?

Исследовательские задачи

При каком значении параметра a  система уравнений не совместна?

1)

2)

При каком значении параметра a  система уравнений не определенна?

4)

5)

При каких значениях параметра a решением  системы уравнений

6)  ,будет неотрицательная пара чисел?

При каком значении параметра a  решение ( х0, у0)  системы уравнений удовлетворяет условию

7)   х0+у010

8)   х0+у0-18