Дидактические материалы для элективного курса «Решение рациональных линейных и квадратных уравнений и неравенств с параметрами и их систем»
учебно-методический материал по алгебре (9, 10 класс) на тему

Методическое обеспечение для элективного курса теме «Решение рациональных линейных и квадратных уравнений и неравенств с параметрами и их систем»

 .

Тест 1

1. Решите уравнение  mx + 2   = - 1  относительно  х .

2.    Решите уравнение k(х – 4 ) +  2(х + 1) = 1 относительно  х .

3. Решите уравнение    2а (а-2)х = а2-5а+6  относительно х .

4. При каких значениях     b   уравнение 1+2х –bх=4+х  имеет отрицательное решение?

А. При b < 1    Б. При b > 1        В. При b <  -2

Тест 2

1.При каких значениях a неравенство ax – a2 +9 >0 не имеет решений?

А. a=0                 Б.                 В.

2. При каких значениях b неравенство  выполнимо при любом значении x?

А. b=2,                Б. b<2                В. b≥2,

     b=-2.                                            b-2.

3. При каких значениях а неравенство ax-2x+a>0 справедливо при любом x?

А. a>2                Б.                 В.

4. При каких значениях а неравенство 4ax –5x+3>2ax+3x+11 не имеет решения?

А. a>4                Б. a<4                В.a

Тест 3

2. При каких значениях  а парабола  у=ах2-2х + 25 касается оси  ОХ ?

А. При а =25               Б. При а=0  и   а = 0,04             В При  а = 0,04

2. Найдите наименьшее целое значение  k, при котором уравнение 3х2 -х -k =0 имеет два различных корня .

    А. k  = -2                 Б. k  = -2                         В. k  = -3    

3.    При каких значениях  а произведение корней уравнения       х2 – 4х + а2 - 3а +2 =0    равно нулю?

   А.   При а=-1, а=-2             Б.  При а = 1, а =2               В. При а=2 , а=4

4. При каких значениях k  уравнение   (k -2) х2 – (4-2 k )х + 3 =0  имеет единственное решение ?

   А.  При k  =-5,  k =-2               Б. При k = 5                       В. При k =2, k =5

Самостоятельная работа. Линейные уравнения.

Вариант 1.

1. Дано уравнение аx = 4x + 5.

Найдите множество корней этого уравнения в случае, если: а) а = 4; б) а =/= 4.

2. При каких значениях параметра b уравнение: b(b – 3)x = 10(2b + x) не имеет корней?
3. При каких значениях параметра n уравнение (n2 – 4)x = n3 – 2n2 – n + 2:

а) имеет единственный корень;
б) имеет бесконечное множество корней;
в) не имеет корней?  

4. Решить уравнение:

 -  = 0

4. Найти все значения параметра  а, при каждом из которых решение уравнения

 15х – 7а = 2 + 6а – 3ах меньше 2

Вариант 2.

1. При какиx значениях параметра а уравнения: аx = 12 и 3x = а имеют общие корни?
2. При каких значениях параметра b уравнение в2 (х – 5) = 25(х – b) имеет один корень?
3. При каких значениях параметра n уравнение (n2  + n – 2)x = 6 + n - n2 

а) имеет единственный корень;
б) имеет бесконечное множество корней;
в) не имеет корней?

4. Решить уравнение:

5. найти все значения параметра, при каждом из которых все решения уравнения 3х – 6а = 3ах – 6 больше 1.

Самостоятельная работа.  Линейные неравенства.

Вариант 1

1. Решите неравенство, где – параметр:        

а)

б)

в)         

2. При каких значениях параметра а неравенство выполняется при всех значениях х

3. Найти все значения параметра b, для которых неравенство (b - 1)x – 3b + 2 ≤ 0 выполняется при всех х  ≥ -1.

Вариант 2

1. Решите неравенство, где – параметр:        

а)

б) .

в)         

2. При каких значениях параметра а неравенство не имеет решений

3. При каких значениях параметра а любое решение неравенства ах + х + 1 < 0

удовлетворяет условию х > 1?

Самостоятельная работа. Квадратные уравнения.

Вариант 1

1. При каких значениях уравнение имеет единственное решение?
2. При каких значениях ровно один из корней уравнения равен нулю?

3. Решите уравнения:

4.  При каких значениях произведение корней квадратного уравнения равно нулю?

5. При каких значениях параметра а квадратное уравнение (а – 1)х2 – 2(а + 1)х + а + 3 = 0 имеет корни разных знаков?

Вариант 2

1. При каких значениях уравнение имеет более одного корня?
2.  При каких значениях ровно один из корней уравнения равен нулю?

3. Решите уравнения:

4. При каких значениях сумма корней квадратного уравнения равна нулю?

5.  Найти все значения параметра а, при которых квадратное уравнение х2 – 2(а – 1)х + 2а + 1 = 0 имеют корни и определить знаки этих корней.

Самостоятельная работа. Квадратные неравенства.

Вариант 1

1. Решить неравенства:

а)         б)

в)

г)

Вариант 2

1. Решить неравенства:

а)

б)

в)

г) (х + 4)(х – b) ≥0

Самостоятельная работа. Расположение корней квадратного трехчлена.

Вариант 1

1. При каких значениях параметра а корни уравнения х2 + 2(а  + 1)х + а2 + а +1 = 0  больше -2?
2. При каких значениях параметра m корни уравнения х2 – 2mх + m2 – 1 = 0 заключены между числами -2 и 4?

Вариант 2

1. При каких значениях параметра а корни уравнения (1 – 2а) х2 +3ах + а – 5 = 0 расположены по разные стороны от точки х =1?

2. При каких значениях параметра k корни уравнения (k – 1)x2 – 2kx + k = 0 расположены на промежутке (-2;3]?

Контрольная работа №1. Линейные уравнения и неравенства.

Вариант 1        

1. Для всех значений параметров а и р решить уравнение:

а) (р2 – 4)х = р2 + р – 2

б) х = а2 – 1

2. При каких значениях параметра а и b уравнение (а –b +6)х – 3а + 1 = 0 имеет по крайней мере два различных корня?

3. Найти все значения параметра а, при каждом из которых решение уравнения 5х  + 3а = 2  -  7а – 3ах меньше -2.

4. Для всех значений параметров а и k решить неравенства:

а) (k + 1)х – 3k + 1≤ 0;

б) ах + 3(а – х) < 8а – 13х + 1

5. Найти все значения параметра а, для которых неравенство ах + 2а + 3 > 0 верно при всех х, удовлетворяющих условию х < 3.

Вариант 2

2.  Для всех значений параметров а и р  решить уравнение:

а) (р2 -1)х – р2 + 2р – 1 = 0

б) а + =

2. При каких значения параметров а и b уравнение (3а + b + 4)х  - b + 2а = 0 не имеет решений?

3. Найти все значения параметра а, при каждом их которых все решения уравнения 2х – 5а = 3 – 4ах не больше 2

4.  Для всех значений параметров а и m решить неравенства:

а) (m2 – 1)х – 2m + 1 > 0

б)  +  < 2х

5. При каких значениях параметра а любое решение неравенства (а – 3)х < 1 -2a  > -1?

Контрольная работа №2. Квадратные уравнения и неравенства.

Вариант 1

1) Решите относительно х уравнение

2) Решите относительно y уравнения

а)

б)

3)  При каких значениях параметра а корни квадратного уравнения

х2 + (а + 1)х + 3 = 0 лежат по разные стороны от числа 2?

4) Найти все значения параметра а, при которых оба корня квадратного уравнения x2-6ax+(2-2a+9a2)=0 больше 3.

5) Решите относительно х неравенство:

6) При каких значениях параметра a неравенство (х-2а -1)(х - а) < 0 выполняется при всех х, принадлежащих отрезку [1;2]?

Вариант 2

1) Решите относительно х уравнение

2) Решите относительно y уравнения

в)

г)

3) При каких значениях параметра а оба корня квадратного уравнения

(2–a)x2-3ax+2a=0 больше ½.

4) Найти все значения параметра а, которых оба корня квадратного уравнения x2+4ax+(1-2a+4a2)=0 меньше –1.

5) Решите относительно х неравенство:

6) При каких значениях параметра a неравенство (х-2а -1)(х - а) < 0 выполняется при всех х, принадлежащих отрезку [1;2]?

Вариант 1

При каких значениях параметра а уравнение  имеет:

а) два положительных корня;

б) два отрицательных корня;

в) корни разных знаков?

Ответ:         а) а ∈ (2; + ∞);

б) а ∈ (– ∞; – 3);

в) а ∈ (– 3; 2).

Вариант 2

При каких значениях параметра b уравнение  имеет:

а) два положительных корня;

б) два отрицательных корня;

в) корни разных знаков?

Ответ:         а) b ∈ (2; + ∞);

б) b ∈ (– ∞; – 1);

в) b ∈ (– 1; 2).

1. При каких значениях параметра а корни квадратного уравнения

х2 + (а + 1)х + 3 = 0 лежат по разные стороны от числа 2?

2. При каких значениях параметра а оба корня квадратного уравнения

(2–a)x2-3ax+2a=0 больше ½.

3. Найти все значения параметра а, при которых оба корня квадратного уравнения x2-6ax+(2-2a+9a2)=0 больше 3.
4. Найти все значения параметра а, которых оба корня квадратного уравнения x2+4ax+(1-2a+4a2)=0 меньше –1.
5. При каких значениях параметра а оба корня квадратного уравнения

(1+a)x2–3ax+4a=0 меньше 1.

Найти все значения параметра а, при которых число 3 лежит между

Задания для самостоятельного решения

Линейные уравнения

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. При каких значениях параметра с корень уравнения х+с=3х-5 является неотрицательным числом?
24. При каких значениях параметра а корень уравнения 4а+12х=4ах-3а+6 больше 3?
25. При каких значениях параметра а уравнение  имеет решение? Найти это решение.
26. При каком значении параметра а уравнение имеет равно один корень:

II. Линейные неравенства. Решите относительно х.

III. Квадратные уравнения. Решите относительно х.

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. При каких значениях параметра а уравнение имеет равно один корень:

а)

б)

      16. Найти все значения параметра   имеет два различных корня.

      17. Найти число а такое, что графики функций  и

            имеют единственную общую точку.

      18. Выясните, в зависимости от параметра а, сколько корней имеет уравнение:

      19. При каких значениях параметра  принадлежат отрезку                               ?

      20. При каких значениях параметра R произведение корней квадратного уравнения

      21. При каком значении параметра а корни уравнения удовлетворяют          

условию

IV. Квадратные неравенства. Решите относительно х.

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. При каких значениях параметра а неравенство  не имеет решений при всех вещественных х.
10. При каких параметрах а каждое решение неравенства  будет содержатся среди неравенства ?