Программа элективного курса по теме "Решение уравнений и неравенств с параметрами"
элективный курс по алгебре (11 класс) по теме

Программа элективного курса

 по теме «Решение уравнений и неравенств с параметрами»

Автор – составитель программы

учитель   математики  высшей

 квалификационной категории

МОУ «СОШ № 3 города Козьмодемьянска» Республики Марий Эл

Кудрявцев Сергей Владимирович

Пояснительная записка

Решению задач с параметрами в школе уделяется очень мало внимания. Поэтому трудно рассчитывать на то, что учащиеся, не получившие необходимых навыков в решении уравнений и неравенств с параметрами, смогут на  ЕГЭ по  математике получить высокий балл. Кроме того навыки в решении уравнений и неравенств с параметрами будут хорошим подспорьем для успешных выступлений на математических олимпиадах.

        Подготовка к ЕГЭ по математике и успешность выступления на олимпиадах это лишь одна сторона вопроса. Другой, на мой взгляд, наиболее значимой, является математическое развитие учащихся. Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления, математической культуры школьников, способствуют развитию интеллекта, умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы.

Практика показывает, что у большинства учащихся  решение задач  с параметрами вызывает  значительные затруднения, которые обусловлены тем, что наличие параметра не позволяет решать уравнение или неравенство по шаблону, а требует рассматривать различные случаи, при которых методы решения, как правило, отличаются друг от друга.

Данный элективный курс позволяет глубже познакомиться с методами решения уравнений и неравенств с параметрами, способствует  формированию устойчивого интереса к предмету, развитию познавательной активности учащихся.

Цели элективного курса:

углубление и расширение знаний учащихся о способах и методах решения уравнений и неравенств с параметрами;

систематизация полученных знаний, умений и навыков при решении заданий ЕГЭ, содержащих параметры;

развитие навыков исследовательской деятельности учащихся, их математических способностей, формирование интереса к предмету.

Задачи  курса:

систематизировать основные приемы и методы решения уравнений и неравенств с параметрами;

способствовать формированию у учащихся умения выбирать наиболее рациональные методы решения уравнений и неравенств с параметрами;

сформировать у учащихся устойчивый интерес к предмету;

  способствовать формированию навыков  исследовательской деятельности школьников при решении задач с параметрами;

подготовить учащихся к решению задач с параметрами части С единого государственного экзамена по математике.

Программа  курса рассчитана  на 1 час в неделю. Всего 34 часа.

В результате изучения курса учащиеся должны:

усвоить основные методы решения уравнений и неравенств с параметрами;

осуществлять выбор методов решения уравнений, неравенств, содержащих параметр и  проводить их полное обоснование;

повысить уровень логического мышления, овладеть навыками исследовательской деятельности.

Формы проведения

Основными формами проведения элективного курса являются лекции с элементами беседы, групповая работа, практикумы по решению задач, тестирование.

Содержание элективного курса

Тема 1. Понятие  параметра, уравнения и неравенства с параметрами.

         На первом занятии учащимся сообщаются цель и значение элективного курса. Рассматриваются понятие параметра и способы решения простейших уравнений с параметрами.

Тема 2. Линейные уравнения с одним или несколькими параметрами.

Вводится понятие линейного уравнения с одним или несколькими параметрами. Используя это понятие, решаются уравнения данного типа.

Тема 3. Уравнения с параметрами, приводимые к линейным.

Решение уравнений с параметрами, приводимых к линейным: дробно-рациональных, уравнений, содержащих абсолютную величину.

Тема 4. Системы линейных уравнений с параметрами.

 Решение систем линейных уравнений с параметрами, одно из уравнений которых содержит параметр.

Тема 5. Методы решения квадратных уравнений с параметрами.

          Рассматривается понятие и методы решения квадратных уравнений с параметрами.

Тема 6. Уравнения с параметрами, сводящиеся к квадратным.

Рассматривается методы решения уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям с параметрами.

Тема 7. Линейные неравенства с параметром.

Рассматривается понятие и методы решения линейных неравенств с параметрами.

Тема 8. Неравенства с параметром, приводимые к линейным.

Рассматривается методы решения неравенств с параметрами, сводящихся к линейным неравенствам с параметрами.

Тема 9. Решение квадратичных неравенств с параметром.

Рассматривается понятие и методы решения квадратных неравенств с параметрами.

Тема 10. Показательные уравнения и неравенства с параметрами.

Рассматривается  методы решения показательных уравнений с параметрами и решения показательных уравнений с параметрами, встречающихся на ЕГЭ.

Тема 11. Логарифмические уравнения и неравенства с параметрами.

Рассматривается методы решения логарифмических уравнений с параметрами и решения логарифмических уравнений с параметрами, встречающихся на ЕГЭ.

Тема 12. Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами.

Рассматривается методы решения тригонометрических уравнений с параметрами и решения тригонометрических уравнений с параметрами, встречающихся на ЕГЭ.

Тема 13. Повторение вопросов курса «Решение уравнений и неравенств с
параметрами».  Проверочная работа по курсу.

Календарно-тематическое планирование

Пример одного занятия

ЗАНЯТИЕ 1. Тема: «Понятие  параметра, уравнения и неравенства с параметрами».
(лекция с элементами беседы)
Цель: познакомить учащихся с понятием «параметр», с основными типами уравнений и неравенств, которые будут  рассмотрены в курсе, учить анализировать, рассуждать, развивать логическое мышление.
План занятия: 

1.  Цели, задачи, содержание занятия.

2. Основная часть занятия:
- определение понятия «параметр»;
-  решение некоторых простых уравнений с параметром;
3. Домашнее задание.
Содержание занятия.
Определение: (справочник по математике)

Переменная или постоянная величина в уравнении, неравенстве, системе уравнений и др., которая не рассматривается как искомая, а наоборот, решения отыскиваются в зависимости от этой величины.

Постоянная величина, характеризующая некоторый математический объект.

Вспомогательная переменная величина, от которой зависят другие величины, определяющий математический объект.

Параметры встречаются при введении некоторых понятий:
- функция, прямая пропорциональность: у = кх, (х и у - переменные, к – параметр);
- линейная функция: у = кх + в, (х и у – переменные, к и в – параметры)
- уравнение первой степени: ах + в = 0, (х- переменная, а и в – параметры);
- квадратное уравнение; ах2+вх+с=0, (х - переменная, а, в, с - параметры, а=0).

При первом знакомстве с параметром  необходимо научить учащихся осторожно обращаться с фиксированным, но неизвестным числом - параметром.

Примеры:

1.  Решить уравнение ах = 1.

Решение. 

Решить уравнение с параметром – значит, для всех допустимых значений параметра найти множество всех решений уравнения.
1) если а ≠ 0,  х = 1/а.

2) если  а = 0, то данное уравнение решений не имеет.

Ответ: если а = 0, то нет решений;

если а ≠ 0, то х = 1/а.

2. Решить уравнение: (а2 – 1)х = а + 1.

Решение. Рассмотрим следующие случаи:
1. Если а =1, то  уравнение принимает вид 0х = 2 и не имеет решений;
2. Если а = - 1, то  уравнение принимает вид 0х = 0, и тогда х - любое действительное число;
3. Если  а ≠ 1 и уравнение имеет единственное решение  .

нным этапом решения задач с параметрами является запись ответа. В решении уравнений с параметром составление ответа – это запись всех полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения.

Ответ: если а = -1, то х – любое действительное число;
если а = 1, то уравнение не имеет решений;

если а = а ≠ 1 , то  .

Домашнее задание: Решить уравнения а) (а2- 9)х = а+3;  б) (а2- 3а + 2)х = а – 1.

Список литературы

Высоцкий В.С., Задачи с параметрами при подготовке к ЕГЭ. - М.: Научный мир, 2011.- 316 с.

Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С., Задачи с параметрами. – М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 2005, - 328 с.

Иванов С.О., Войта Е.А., Ковалевская А.С., Ольховская Л.С.; под ред. Ф.Ф.Лысенко, Учимся решать задачи с параметром, Подготовка к ЕГЭ. – Ростов – на – Дону: Легион – М, 2011. – 48с.

Локоть В.В., Задачи с параметрами. Линейные и квадратные  уравнения, неравенства, системы. – М.:АРКТИ, 2005. – 96 с.

Локоть В.В., Задачи с параметром. Иррациональные  уравнения, неравенства, системы, задачи с модулем. – М.:АРКТИ, 2010. – 64 с.

Локоть В.В., Задачи с параметром и их решение: Тригонометрия: уравнения и неравенства. Системы. 10 класс. – М.:АРКТИ, 2008. – 64 с.

Локоть В.В., Задачи с параметрами.  Показательные и логарифмические уравнения, неравенства, системы. – М.:АРКТИ, 2004. – 96 с.

Прокофьев А.А., Задачи с параметрами. – М.: МИЭТ, 2004. – 258 с.

Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В. Уравнения и реравенства с параметрами. Издат МГУ, 1992г

Ястребинецкий Г.А., Уравнения и неравенства, содержащие параметры. Пособие для учителей. М., Просвещение, 1972.