Арифметическая и геометрическая прогрессия
план-конспект урока по алгебре (9 класс) на тему

МОУ  ООШ №26

                                                                 КУВАКИНА                    

                                                                                         НАТАЛИЯ АЛЕКСАНДРОВНА

Тема урока: Арифметическая и геометрическая прогрессии.

Цели урока.

Образовательные: обеспечить повторение, обобщение и систематизацию знаний  по  

                                 теме. Создание  условий контроля ( самоконтроля) усвоения темы.

Развивающие:    способствовать формированию  умений применения  приемов сравнения,

                               обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию

                               и развитие математического кругозора, мышления и речи, внимания и

                                памяти.  

Воспитательные:  содействовать воспитанию интереса к предмету, активности, мобильности,

                               умения общаться.    

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Методы обучения: частично – поисковый ( эвристический). Тестовая проверка знаний, умений  

                                 навыков, работа с опорными схемами ( проверка теоретических знаний), си-

                                 стемные обобщения, самопроверка.      

Фомы организации урока: индивидуальная, фронтальная.

Оборудование: доска с записями, карточки для индивидуальной работы, листы с копиркой,  

                               тексты с разноуровневой самостоятельной работой мультимедийный проектор,

                               слайды.

1. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ.

Проверить готовность учеников к уроку.

Записать в тетради дату.

Назвать тему и цели урока.

Сегодня у нас один из заключительных уроков по теме « Арифметическая и геометрическая прогрессии». Мы повторим и систематизируем теорию по теме, рассмотрим применение теоретического материала на практике, при решении различных задач, в различных ситуациях.

2. ПРОВЕРКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ.

Домашняя работа была задана в форме индивидуальной домашней контрольной работы, поэтому дом.работа в классе не проверяется. После ее  проверки будет дана индивидуальная консультация каждому ученику.

3. ПОВТОРЕНИЕ.

1. УСТНЫЙ ОПРОС.

 ( один ученик работает у доски над задачей исторического характера)

- Дайте определение числовой последовательности.

Ответ.

- перечислите способы задания числовой последовательности.      

Ответ. 

- Определите по записям на доске,  какая из последовательностей задана АНАЛИТИЧЕСКИМ, РЕКУРЕНТНЫМ, СЛОВЕСНЫМ  способом.

СЛАЙД №1

А) Дана числовая последовательность натуральных чисел, кратных трем. Найдите несколько первых членов этой последовательности.

Б) найдите несколько членов числовой последовательности, если Yn=-4n + 5

В) в числовой последовательности А1=3, Аn+1=2An - 3найдите несколько членов этой последовательности.

Ответ:  первая последовательность задана словесным способом,  вторая – аналитическим,  т.е. формулой, третья – рекуррентным.

- Найдите в каждой числовой последовательности седьмой член.

Ответ:  в первой задаче мы можем записать формулу  п-го члена последовательности  ап=3п и по этой формуле найти любой член последовательности.   А7= 3*7=21.

     Во второй задаче последовательность задана формулой, подставив в нее вместо п число 7, получим седьмой член последовательности.  А7= -4*7+ 5 = -28+ 5 = -23.

    В третьей задаче последовательность задана рекуррентным способом. Чтобы найти седьмой член последовательности, нужно знать предыдущий, т.е. шестой. Этот способ задания числовой последовательности не совсем удобный, т.к. мы должны найти а6, а5, а4, а3, а2, а затем уже а7.

_ рассмотрите следующее задание. Даны две числовые последовательности.

СЛАЙД №2

( ап):  а1=5,  ап+1=ап + 3

( вп):  в1=5,  вп+1=вп * 3

Сравните эти последовательности и сделайте вывод.

( используя приемы сравнения, учащиеся находят: общее – обе последовательности заданы рекуррентным способом и имеют одинаковые первые члены; различное – у первой последовательности следующий член получается из предыдущего сложением с числом 3, а у второй последовательности – умножением на число3. и далее ученики определяют,  к каким группам последовательностей они относятся)

2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ДИКТАНТ  ЧЕРЕЗ КОПИРКУ.

Цель: контроль ( самоконтроль) теоретических знаний по теме « Арифметическая и

          геометрическая прогрессии»

Учитель.  Сейчас проверим ваши теоретические знания по теме « Прогрессии».

( во время диктанта  один ученик работает у доски с аналогичным заданием  по теме

« Геометрическая  прогрессия»)

• Запишите символически определение арифметической прогрессии (ап).

( ( ап), а1=а, ап+1=ап + d)

• Запишите формулу разности арифметической прогрессии.  ( d= ап+1 – ап )
• Запишите формулу п-го члена арифметической прогрессии.  ( ап= а1+ (п-1) d)
• Запишите характеристическое свойство а.п.  (  ап= ( ап-1 + ап+1)/2  )
• Запишите две формулы, по которым можно посчитать сумму п-первых членов а.п.

( S= ,  S=  )

• При каких значениях d  ар.прогрессия является возрастающей, а при каких – убывающей? ( при d< 0 – убывающая, при  d> 0 – возрастающая).

После выполнения  учащиеся сдают один лист учителю, а по второму листу  проверяют работу по записям на доске, сделанным предварительно. Ставят количество правильных ответов.

Затем идет прослушивание ответа ученика, работающего у доски. Учащиеся по ходу ответа дополняют, исправляют ошибки. ( в данном задании ответ не надо проверять с использованием слайда).

СЛАЙД №3

3. РАБОТА НА ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА ПО ТЕМЕ

      « ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ»

Цель: привести в систему знания по способам решения задач с использованием формул п-го члена арифметической или геометрической прогрессий, формул суммы п-первых членов прогрессий.

Учитель.  Мы повторили теоретический материал. Давайте напомним, какие задачи мы решаем с помощью формул.

( в это время один ученик работает у доски : выполняет задание по арифметической прогрессии)

• Геометрическая прогрессия (вп) задана членами в1, в2, в3, в4, …, вп, …

Какие задачи можно решить, если г.п. задана таким образом?

Ответ:  можно найти:

• знаменатель геометрической прогрессии,
• записать формулу п-го члена ,
•  найти любой член г.п, зная первый член и знаменатель q,
• Найти в1, зная q и вп.
• найти номер члена г.п., зная в1, q и вп.

Что используют при решении этих задач?

            Ответ: формулу п-го члена г.п.

СЛАЙД №4

Пример: Дана геометрическая прогрессия: в1, в2, в3. …

                А) Известно, что в1=2/3, q=-3. Найти …   (   в4 )

                         б) Известно, что в1=3, q=2, вп=192. Найти …   ( п – номер )

                в) Известно, что q=-2, в7=-512. Найти ….  ( в1 )

                Г) Известно, что в1=14, в4=7/4.  Найти…  ( q, S4 )

      ( во время этой работы происходит повторение и систематизация изученного материала, отрабатывается математическая речь, проверяется усвоение математической символики, устанавливаются связи между понятиями и свойствами, отрабатываются и применяются приемы учебной деятельности: поиск решения задач и т.д.)

• проверить решение задачи у доски. № 467

4. РАЗНОУРОВНЕВАЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА.

Дана арифметическая прогрессия ( ап): 2, 1,8, 1,6, 1,4, …

1. Найдите разность арифметической прогрессии.
2. Найдите пятый член этой прогрессии.
3. Найдите одиннадцатый член прогрессии.
4. Найдите сумму одиннадцати членов арифметической прогрессии.

      5)  Является ли членом этой прогрессии число   0,3?

      6)   Начиная с какого номера все члены этой прогрессии будут меньше данного числа -1,4?

Дополнительное задание: № 437 стр 96

 IY.     ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ.

25. ЗАДАНИЕ НА ДОМ.

Повт п 14 – 16  индивидуальные тесты.

ИСТОРИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА.

« ДРЕВНЕЙШАЯ ПРОГРЕССИЯ»

древнейшая задача на прогрессии – не вопрос о вознаграждении изобретателя шахмат, насчитывающий за собой двухтысячелетнюю давность, а гораздо более старая задача о делении хлеба, которая записана в египетском папирусе Ринда, который назван в честь человека, нашедшего его в конце 19 века. Этот папирус составлен около двух тысяч лет до нашей эры. На нем записано очень много различных задач. Одна из них такая:

« 100 мер хлеба разделить между пятью людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых должны получить в 7 раз меньше трех остальных. Сколько мер нужно дать каждому?»

Решение.

Количества хлеба, полученные людьми, составляют возрастающую арифметическую прогрессию. Пусть первый ее член равен Х, а разность d равна У. тогда

1. х
2. х+у
3. х+2у
4. х+3у
5. х+4у.

Получаем уравнение х+( х+у) +( х+2у) + ( х+3у) + ( х+4у) = 100.

Так как двое первых получили в 7 раз меньше, чем остальные трое, то получим уравнение

7( х+ х+у) =  ( х+2у) + ( х+3у) + ( х+4у).

Запишем систему и решим ее.

Х+2у=20,

11х=2у.

х=1 2/3, у=9 1/6,  значит, хлеб разделен следующим образом 1 2/3, 10 5/6, 20, 29 1/6, 38 1/3.

ИНДИВИДУАЛЬНАЯ КАРТОЧКА ПО ТЕОРИИ.

1.Запишите символически определение геометрической прогрессии ( вп).

2.запишите формулу знаменателя геометрической прогрессии q.

3.при каких  условиях геометрическая прогрессия будет возрастающей, а при каких – убывающей?

4.запишите формулу п-го члена геометрической прогрессии.

5. запишите характеристическое свойство геом.прогрессии.

6. по какой формуле можно вычислить сумму п-первых членов геом.прогрессии?

№ 467

Числа  -100 и -78 являются соответственно седьмым и девятым членами арифметической прогрессии. Найдите пятнадцатый член этой прогрессии прогрессии и сумму ее первых 20 членов.

РЕШЕНИЕ.

S20=

А7=-100, а9=-78, а9=а7+2d,   2d=а9-а7= -78-(-100)=22, d=11.

А7=а1+6d, а1=а7-6d=--100-66=--166

А15=а1+14d=--166+14*11= -12,  а20=а1+19 d=-166+19*11=43,  S20=

ОТВЕТ: а15=12, S20=-1230.