Методическая разработка "Задачи с параметрами"
методическая разработка по алгебре (9 класс) на тему

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

 «Гимназия №3» Чистопольского района г. Чистополь

Методическая разработка

«Задачи с параметрами»

                                                                                                           Составители: Горшкова Г.М.,

                                                                                                                                   Иванов Н. М.

2016 год

Анкета

     Фамилия имя отчество: Горшкова Гузель Мингалеевна

Место работы, район, занимаемая должность: муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Гимназия №3» Чистопольского района г. Чистополь, Республика Татарстан, учитель математики

 Фамилия имя отчество: Иванов Николай Михайлович

 Место работы, район, занимаемая должность: муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Гимназия №3» Чистопольского района г. Чистополь, Республика Татарстан, учитель математики

Аннотация

      Предлагаемая разработка  составлена по темам курса «Алгебра и начала анализа» и предназначена для учителей математики общеобразовательных школ, а также для учащихся 9-11 классов. С целью отрабатывать навык выполнения заданий ОГЭ иЕГЭ, формирования умение отвечать на поставленный вопрос задания, проверить умение применять полученные знания на практике были созданы самостоятельная работа и тесты,  охватывающие сложные  темы курса математики. Работа поможет учителям при подготовке и проведении уроков, а также школьникам при изучении материала, закреплении и систематизации знаний.

ПРЕДИСЛОВИЕ

В разработке  охвачен материал школьного курса математики («Алгебра и элементарные функции», «Тригонометрия», «Элементы математического анализа» и «Геометрия»).

Материал разработки  для учащихся  9 – 11 классов школ, гимназий, лицеев и, прежде всего тем, кто желает углубить и расширить свои знания по математике перед вступительным экзаменом в высшее учебное заведение. Особенно полезным оно может оказаться учащимся отделений довузовской подготовки.

Гарантией успешной сдачи экзамена, содержащего как простые, так и сложные (нестандартные) задачи, является не натаскивание на экзаменационные варианты прошлых лет, а систематическое углубленное изучение школьного курса математики. Это изучение включает в себя регулярную работу, решение и обсуждение с учителями, преподавателями курсов и кружков различных математических сюжетов, приемов, идей и подходов к решению задач. Предлагаемый материал как раз и призвано помочь школьнику (или его наставнику) в указанном отношении. Он позволит выпускнику ликвидировать имеющиеся пробелы в знаниях школьного курса математики, устранить недостатки подготовки к стандартным экзаменационным задачам и подготовиться к предстоящему Единому государственному экзамену по математике, особенно ко второй его части.

Методическая разработка содержит необходимый теоретический и справочный материал, подробно разобранные примеры, взятые из практики вступительных экзаменов в вузы, при решении которых в некоторых случаях используется не только материал данной темы, к которой относится пример или задача, но и материал из других тем. Иногда излагаются несколько различных способов решения одной и той же задачи, для сравнения эффективности методов. Кроме того, в разработку  включены задачи для самостоятельной работы учащихся, расположенные в порядке возрастания трудности, которые сопровождаются ответами. В работе  также включены тесты, которые можно использовать для подготовки к вступительному экзамену по математике в форме тестирования.

Задачи с параметрами

Пусть дано равенство с переменными x, a:

.        (1)

Если ставится задача для каждого значения a решить уравнение (1) относительно x, то уравнение (1) называется уравнением с переменной x и параметром a.

Условимся всюду в настоящем параграфе уравнение (1) понимать как уравнение с переменной x и параметром a. Под областью изменения параметра будем подразумевать (если нет специальных оговорок) множество всех действительных чисел, а задачу решения уравнения с параметром формулировать следующим образом: решить уравнение (1) (с переменной x и параметром a) – это значит на множестве действительных чисел решить семейство уравнений, получающихся из уравнения (1) при всех действительных значениях параметра a.

По некоторому целесообразному признаку будем разбивать множество всех значений параметра на подмножества и решать заданное уравнение на каждом из этих подмножеств. Для разбиения множества значений параметра на подмножества удобно воспользоваться теми значениями параметра, при которых или при переходе через которые происходят качественные изменения уравнения. Такие значения параметра будем называть контрольными.

В основном встречаются два типа задач с параметрами. Первый: «для каждого значения параметра найти все решения некоторого уравнения или неравенства». Второй: «найти все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения или неравенства удовлетворяют заданным условиям».

Соответственно и ответы в задачах этих двух типов различаются по существу. В задачах первого типа в ответе перечисляются все возможные значения параметра и для каждого из этих значений записываются решения уравнения. В ответах к задачам второго типа перечисляются все значения параметра, при которых выполнены условия задачи.

           Пример 1. Решить уравнение

Решение. Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при x обращается в 0. Такими значениями являются  и , поэтому достаточно рассмотреть следующие случаи:

1. при  исходное уравнение принимает вид . Корнем этого уравнения является любое действительное число;
2. при  исходное уравнение принимает вид . Это уравнение не имеет корней;
3. при  и  получаем , откуда .

Таким образом, если , то корнем служит любое действительное число; если , то уравнение не имеет корней; если  и , то .

           Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Контрольным является значение , так как при  данное уравнение является линейным, а при  оно квадратное, поэтому рассмотрим случаи:

1. при  исходное уравнение принимает вид , откуда ;
2. при  для квадратного уравнения выделим те значения параметра, при которых дискриминант уравнения обращается в нуль. Имеем . Значит,  – значение параметра, при котором дискриминант равен нулю.

Если , то , и, следовательно, уравнение не имеет действительных корней; если  и , то  и получаем  ;

если , то  и получаем: , т.е. .

Итак, если , то действительных корней нет;

если , то ;

если , то ;

если  и , то .

          Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Преобразуем данное уравнение следующим образом:

,

которое равносильно совокупности двух уравнений:  и . Второе уравнение имеет корень  при любых значениях параметра. Из первого уравнения следует

.        (2)

Здесь контрольным будет то значение параметра, при котором коэффициент при x обращается в 0, т.е. . При , получаем  и это уравнение не имеет корней. При  уравнение (2) принимает вид

.        (3)

Если , то  и уравнение (15.3) не имеет корней. Если , то  и уравнение (3) имеет корень .

Итак, если , то ;

если , то , .

           Пример 4. Решить неравенство

Решение. Преобразуем данное неравенство к виду

.        (4)

Неравенство (4) равносильно исходному. Приравнивая в числителе коэффициент при x к нулю, находим контрольное значение параметра: . Значит, необходимо рассмотреть следующие случаи: 1) ; 2) ; 3) .

1. При  неравенство (4) примет вид: , откуда .
2. Рассмотрим случай . Для решения неравенства (4) методом интервалов необходимо расположить на числовой прямой точки  и  в порядке возрастания. Для этого составим следующую разность:

.

Получаем, что при  разность , т.е. . Отметив точки ,  и знаки на соответствующих промежутках числовой оси (рис. 1), получим  .

3) При  разность , т.е. . Отметив точки ,  и знаки на соответствующих промежутках числовой оси (рис. 2), получим  .

Таким образом, если , то ; если , то

; если , то .

Пример 5. При каких значениях параметра a система уравнений

имеет единственное решение?

Решение. Заметим, что если пара чисел  является решением данной системы, то пара  – тоже ее решение. Для единственности решения необходимо выполнение условия . Подставляя это значение x в исходную систему, получаем необходимые значения параметра  и , которые являются «кандидатами в ответ».

Важно понимать, что условие  не является достаточным. Достаточность проверим подстановкой значений  и  в исходную систему.

При  система принимает вид

из которой следует три решения .

При  система принимает вид

Из первого уравнения , а из второго . Следовательно, пара чисел  является единственным решением.

Таким образом, исходная система имеет единственное решение при .

         Пример 6. При каких значениях параметра a уравнение

имеет единственное решение?

Решение. При  уравнение примет вид , откуда . Если , то, положив , получим квадратное уравнение относительно t:

.        (5)

Полученное уравнение имеет одно решение t, если его дискриминант равен нулю , откуда . При  корень уравнения (5) , т.е. больше нуля, следовательно, исходное уравнение будет иметь один корень.

Не рассмотрен еще один случай, а именно, когда уравнение (5) имеет два решения, но только одно из них положительное. Это условие можно записать, используя теорему о знаках корней квадратного трехчлена с помощью следующего соотношения

.

Откуда получаем .

Таким образом, исходное уравнение имеет единственное решение при  и .

Пример 7. При каких значениях параметра a уравнение

имеет решения?

Решение. После замены переменной , где , исходная задача сводится к следующей: «при каких значениях параметра a уравнение

        (6)

имеет хотя бы одно решение на множестве »?

Можно вычислить корни уравнения (6) и попытаться определить значения параметра, при которых хотя бы один из найденных корней удовлетворяет условию . Такой способ приведет к необходимости решения нескольких иррациональных неравенств, и назвать его рациональным нелегко.

Для решения данной задачи наиболее рациональным будет использование теоремы о расположении корней квадратного трехчлена.

Случай, когда только один из корней квадратного трехчлена

лежит на отрезке , разрешается условием

.

Решение этого неравенства имеет вид  и .

Случай, когда оба корня рассматриваемого трехчлена лежат на отрезке , описывается системой неравенств

Решая эту систему, получаем  и . Таким образом, исходное уравнение имеет решение при  и .

Использование графических иллюстраций в задачах с параметрами. Использование разного рода геометрических интерпретаций при анализе задач с параметрами часто позволяет существенно упростить этот анализ, а в ряде случаев представляет собой единственный «ключ» к решению задач.

Необходимо обратить особое внимание на приемы построения графиков функций.

           Пример 8. При каких значениях параметра a система уравнений

имеет ровно три решения?

Решение. Для решения данной задачи воспользуемся геометрической интерпретацией уравнений, входящих в систему. Рассмотрим на координатной плоскости  множество точек, задаваемых уравнениями системы. Первое уравнение системы задает ломанную прямую , а второе – целое семейство концентрических окружностей с центром в начале координат и радиусом . Из рис. 3 ясно, что рассматриваемая система будет иметь три решения при том значении параметра a, при котором окружность проходит через точку . Это будет окружность радиуса 3, ей соответствует значение a, равное 9.

            Пример 9. При каких значениях параметра a система неравенств

выполняется для всех x из отрезка ?

Решение. Первый способ. Построим множество решений данной системы на плоскости . Решением первого неравенства системы является множество точек, лежащих ниже графика функции  (парабола), а решением второго – множество точек, лежащих выше графика функции  (также парабола). Заштрихованное множество точек на рис. 4 представляет собой решение системы.

Поставленную задачу можно переформулировать теперь следующим образом: «определить значения a, при которых все x из полосы, заключенной между прямыми  и , лежат внутри заштрихованной области или на ее границе». Для решения такой задачи осталось найти абсциссы точек пересечения прямой  и параболы . Получаем, что заданная система неравенств выполняется для всех x из отрезка  при .

Второй способ. Из первого неравенства системы следует, что , а из второго , т.е. . Для того чтобы исходная система неравенств выполнялась для всех x из отрезка , необходимо выполнение следующих неравенств

Решая эту систему, получаем .

Пример 10. При каких значениях параметра a система уравнений

имеет хотя бы одно решение?

Решение. Корнями квадратного трехчлена, стоящего в левой части первого неравенства данной системы, являются числа  и . Поэтому левую часть первого неравенства системы можно разложить на множители, тогда неравенство представится в виде  .

Рассмотрим множество точек плоскости , в которых левая часть полученного выражения обращается в нуль. Это множество является объединением двух прямых, разбивающих плоскость на четыре области (см. рис. 5).

В каждой из этих областей квадратный трехчлен из левой части первого неравенства системы имеет постоянный знак. Области, являющиеся решением первого неравенства, отмечены штриховкой.

Второе уравнение исходной системы определяет окружность радиуса 3 с центром в начале координат. Решениями системы на плоскости  являются дуги этой окружности, проходящие через заштрихованные области. Следовательно, исходная система имеет решения (пары чисел  при  и , где значения  и  (причем ) являются абсциссами точек пересечения окружности с прямой , а значения  и  (причем ) – абсциссами точек пересечения окружности с прямой . Получаем две системы уравнений

     и

из которых соответственно находим  и  . Следовательно, исходная система имеет решения при

 и .

Задачи

Решить уравнения (1 – 24):

1.            2.    

3.            4.    

5.            6.    

7.    

8.            9.    

10.  

11.          12.  

13.          14.  

15.          16.  

17.          18.  

19.          20.  

21.          15.22.  

23.          24.  

Решить неравенства (25 – 40):

25.          26.  

27.          28.  

29.          30.  

31.          32.  

33.          34.  

35.          36.  

37.          38.  

39.          40.  

41. При каких значениях параметра a оба корня уравнения  больше 3?

42. При каких значениях параметра a оба корня уравнения  принадлежат отрезку ?

43. Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение  имеет ровно три решения.

44. Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение  имеет ровно три различных решения.

45. Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение  имеет единственное решение.

46. Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение  имеет ровно одно решение.

47. Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение  имеет единственное решение.

48. Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение  имеет единственное решение.

49. При каких значениях параметра a уравнение  имеет только один корень?

50. При каких значениях параметра a уравнение  имеет только один корень?

51. При каких значениях параметра a уравнение  имеет два корня?

52. Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение  имеет единственное решение.

53. Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение  имеет хотя бы одно решение.

54. При каких значениях параметра a неравенство  имеет хотя бы одно решение?

55. При каких значениях параметра a неравенство  выполняется при всех x, принадлежащих отрезку ?

56. При каких значениях параметра a неравенство  выполняется при всех x, принадлежащих отрезку ?

57. Найти все значения параметра a, при каждом из которых неравенство  имеет хотя бы одно отрицательное решение.

58. Найти все значения параметра a, при каждом из которых неравенство  справедливо для всех значений x.

59. Найти все значения параметра a, при каждом из которых неравенство  имеет хотя бы одно неотрицательное решение.

60. Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение  имеет единственное решение.

61. Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение  имеет единственное решение.

62. При каких значениях параметра a система уравнений  имеет единственное решение?

63. При каких значениях параметра a система уравнений  имеет единственное решение?

64. При каких значениях параметра a система уравнений  имеет единственное решение?

65. При каких значениях параметра a система уравнений  имеет единственное решение?

66. При каких значениях параметра a система уравнений  имеет хотя бы одно решение?

67. При каких значениях параметра a система уравнений  имеет хотя бы одно решение?

68. При каких значениях параметра a система уравнений  не имеет решений?

69. При каких значениях параметра a система уравнений  имеет ровно два решения?

70. При каких значениях параметра a система уравнений  имеет только одно решение?

Ответы

1.  ∅   2.  3. ∅  4. ∅    5.   ∅   ,  и . 6.  7.      8. ∅   9. ∅   10. ∅   11. ∅   12. ∅   13.  14. ∅  15. ∅   16. ∅   17. ∅   18. ∅   19. ∅   20. ∅   21. ∅   22. ∅  23. ∅  24. ∅  25. ∅  26. ∅   27. ∅   28.   29.   30. ∅   31.   ∅  32. ∅    33. ∅   34. ∅    35. ∅  36.  37. ∅  38.   ∅  39. ∅   40. ∅   41.  42.  43.  44.  45.  46.  47.  48.  49.  50.  51.  52.  53.  54.  55.  56.  57.  58.  59.  60.  61.  62.  63.  64.  65.   66.  67.  68.  69.   70.

Тест

1. Система уравнений  имеет единственное решение, если a равно

1) ;           2) ;         3)   ;            4) ;         5) .

2. При каком значении a сумма квадратов корней уравнения  принимает наименьшее значение?

1) ;     2) ;              3) ;     4) ;             5) 2.

3. При каких значениях параметра a, неравенство  выполняется на всей числовой оси

1) ;      2) ;      3) ;       4) ;       5) .

4. Квадратный трехчлен  можно представить в виде квадрата двучлена, если a принимает значения

1) ;          2) ;         3) ;         4) ;        5) .

5. Уравнение  имеет два различных отрицательных корня, если a принадлежит промежутку

1) ;   2) ;    3) ;        4) ;     5) .

6. Количество целых значений параметра a, при которых абсцисса и ордината вершины параболы  положительны, равно

1) 4;                 2) 5;                  3) 1;                   4) 2;              5) 3.

7. Сумма значений параметра a, при которых период функции  равен , равна

1) 0;                2) 1;                   3) 2;                   4) 3;               5) 4.

8. При каком наибольшем значении параметра a система неравенств  имеет одно решение?

1) 5;               2) 6;                   3) 7;                    4) 8;               5) 9.

9. Найти наибольшее целое значение a, при котором для функции  выполняются неравенства

1) ;             2) ;               3) ;                 4) 0;               5) 1.

10. Графики функций  и  имеют три общие точки, если a равно

1) 2;               2) ;                3) ;                 4) 4;             5) 8.