Методическая разработка "Решение уравнений с параметрами"
методическая разработка по алгебре по теме

Министерство образования и науки Удмуртской Республики

МБОУ «Средняя общеобразовательная школа № 53» г. Ижевска.

Методическая разработка

«Решение уравнений с параметрами»

Составитель:  Орлова Ю.В.

учитель математики высшей категории.

г. Ижевск

2014

Введение.

На задачах с параметрами можно проверить знание основных разделов математики, уровень математического и логического мышления, первоначальные навыки исследовательской деятельности. Опыт показывает, что для многих учащихся задачи с параметром являются камнем преткновения. Поэтому не вызывает сомнения тот факт, что к «встрече с параметром» нужно готовить специально. Целью данной методической разработки  является знакомство с основными приемами решения задач с параметрами.

Задачи с параметром многообразны. Это, во-первых, задачи, в которых требуется решить уравнение для каждого значения параметра. Задачи этого типа отличаются от обычных задач (задач без параметров) только большей общностью, т.к. нужно решить целый класс, целое семейство задач. Сделать это можно разбивая множество всех значений параметра на подмножества и решить заданное уравнение на каждом из подмножеств. Разбивать множество значений на подмножества следует такими значениями параметра, при которых происходит качественное изменение уравнения.

Иногда требуется найти количество корней уравнения  в зависимости от значения параметра. Часто при решении задач этого типа не следует проводить все решения, т.е. решать задачу предыдущего типа.

В задачах другого типа из множеств значений, которые принимает параметр, требуется выделить значения, обладающие некоторыми свойствами. Это могут быть задачи, в которых требуется указать количество решений уравнения  или найти значение параметра, при которых уравнение  имеет решение (не имеет решения, имеет бесконечное множество решений и т.д.)

Часто возникают задачи, в которых требуется найти такие значения параметров, чтобы решение уравнений подчинялось некоторым условиям (уравнение выполняется для любого действительного значения переменной и т.д.)

Необходимо сказать, что задачи с параметром, как минимум коварны и решая их следует проявлять известную осторожность. Так, например: при делении необходимо проверить, не равен ли делитель нулю; нельзя извлекать корень четной степени из выражения, не проверив знаки; не вычислять логарифм неположительного числа; следить за областью определения некоторых тригонометрических функций и т.д.

Далее рассматриваются задачи с параметром, решаемые в зависимости от типа уравнения. При их решении используются такие основные методы решения задач с параметрами, как метод решения относительно параметра, метод прямого оценивания параметра, графический метод (в частности метод «подвижного графика»). Приложение содержит уравнения, для закрепления навыков решения уравнений с параметрами, также ответы к этим уравнениям.

Аналитическая часть.

Определение.Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству (А. Гольдман)

 Независимость параметра заключается в том, что он не удовлетворяет требованиям, заданным по условию задачи. Если стоит задача для каждого значения а решить уравнение F(х,а)=0 относительно переменной х, то данное уравнение называется уравнением с параметром а.

Решить уравнение с параметром это значит, для каждого значения параметра найти множество решений уравнения. Если хотя бы одно значение параметра не рассмотрено, то решение считается неполным.

Контрольным называется значение параметра, при котором происходит качественное изменение уравнения.

В зависимости от вида уравнения используются различные алгоритмы действий, приведенные ниже.

Линейные уравнения.

Рассмотрим алгоритм решения уравнения вида Ах=В.

Пример 1.Решить уравнение: (ab+2)x + a=2b + (b+2a)x.

Приведем уравнение к виду Ах=В:

х( ab+2-b-2a)=2b-a

(b-2)(a-1)=2b-aТакА= (b-2)(a-1)   иВ=2b-a. Рассмотрим случаи:

1. (b-2)(a-1)≠0, т.е.a≠1,b≠2тогда х=.
2. a=1имеем 0х=2b-1.  Решение этого уравнения зависит от выражения, стоящего в правой части. Рассмотрим случаи:

а) 2b-1=0, т.е. b=  подставим : 0х=0. Тогда решение х-любое число.

б) 2b-1≠0,т.е. b≠ , тогда 0=2b-1 – неверное числовое равенство, значит решений нет.

III.   b=2,подставим в уравнение 0х=4-a. Рассмотрим случаи:

 а) 4-a=0, т.е. a=4, подставим в уравнение 0х=0. Тогда решением является любое х.

 б).4-a≠0,т.е. a≠4. Тогда 0=4-a  - неверное числовое равенство, значит, решений нет.

IV.a=1 и b=2подставим в уравнение: 0=3. Следовательнорешений нет.

Ответ:  при  a≠1, b≠2х =; при a=1, b=  или b=2, a=4любое действительное число; при a=1, b≠  или a≠4, b=2нет решений.

Квадратные уравнения.

При решении уравнений не выше второй степени удобно использовать следующий алгоритм действий:

1. На области допустимых значений параметра с помощью равносильных преобразований привести уравнений к виду Ах² + Вх +С = 0.
2. Найти контрольные значения параметра из условия А = 0 и D = 0.
3. Отметить все контрольные значения на оси параметра, определить знак дискриминанта в промежутках и рассмотреть все полученные случаи, продвигаясь по оси параметра  слева направо.
4. Записать ответ по количеству найденных решений, указывая соответствующие значения параметра.

Пример. Решить уравнение: (a-5)x² +3a - (a-5)=0.

Решение:Одним из значений параметра а, при котором происходит качественное изменение исходного уравнения,  является а=5. Действительно, в этом случае квадратное уравнение превращается в линейное. Таким образом, при а=5 имеем 3·5х = 0, откуда х=0.

Найдем теперь дискриминант квадратного уравнения: D=(3а)² + 4(а-5)². Так как D>0, то квадратное уравнение имеет при любом а≠5 два действительных корня:

= , =

Ответ:если а=5, то уравнение имеет один корень х=0;

приа≠5 два корня = , =.

Пример. Решить уравнение: (2а-1)х² - (3а+1)х + а -1= 0.

Решение:Одним из значений параметра а, при котором происходит качественное изменение исходного уравнения,  является а=, т.к. при этом значении квадратное уравнение вырождается в линейное. В этом случае имеем  -(3· +1)х +  -1 = 0, откуда х= - .

Пусть теперь а≠. Тогда решения квадратного уравнения (2а-1)х² - (3а+1)х + а -1= 0существенно зависят от его дискриминанта. Следовательно, можно говорить о качественном изменении уравнения при переходе через точки, где D=0. Составим дискриминант D= (3а+1)² - 4 (2а-1)(а-1)= а² + 18 а – 3. Приравняем его к нулю и найдем интервалы, в которых D<0 и  D>0. Имеем

= 18² - 4(-3)= 336, = == -9 ±2.

         +        -        +        а

-9  - 2                           -9 + 2

Применяя метод интервалов, получаем, что

D> 0, если  а -9  - 2  или   а -9 + 2 и квадратное уравнение  имеет 2 корня = .

D< 0 при   -9 - 2< а < -9 + 2квадратное уравнение  не имеет решений.

Ответ:= при а -9  - 2;

нет решений при -9  - 2< а < -9 + 2;

= при -9 + 2;

х = -  при а = ;

= при а.

Пример. Решить уравнение: 9 - х² - 2ах - а² = 0.

Решение: Уравнение является квадратным относительно параметра а. Поэтому применим прием «решения уравнения относительно параметра».

Имеем а² - 2ах + (х² - 9) = 0.

D = 4х² - 4 (х² - 9) = 36 ,  а= или а= , получим квадратные уравнения относительно х :  3х² + х –а =0  или  3х² - х + а =0.

 Если 3х² + х –а =0, то = , причем эти корни существуют при 1+12а  0, т.е. при а - .

 Если 3х² - х + а = 0, то  = , причем оба корня существуют при 1 – 12а 0, т.е. при а.

Произведем теперь «развертку» решений вдоль оси параметра:

                              -                                 а

Ответ:  при а   х = ;

при     х=, х= ;

при а   х= .

Задачи о свойствах корней квадратного уравнения

Ах² + Вх + С =0, где А≠0.

Используя формулы Виета получаем следующие условия:

Справедливы и обратные утверждения, которые используются для решения задач рассматриваемого типа.

Пример.  При каких значениях а, уравнение х² - 4х + а – 1 = 0 имеет два различных положительных корня?

Решение: Для того, чтобы корни данного уравнения были положительными необходимо и достаточно, чтобы имела решение система неравенств:

   =>   =>

Ответ:  1<a<5.

Другая группа задач о свойствах корней квадратного уравнения связана с нахождением значений выражений, например, суммы квадратов корней, суммы или разности кубов, суммы четвертых степеней и т.д. Чтобы   было удобно отыскать значение такого выражения, обычно применяют формулы Виета. Для этого с помощью тождественных преобразований выделяют сумму и произведение корней.

Пример.      При каких значениях параметраа отношение корней уравнения  х² + ах + а +2 = 0  равно 2.

Решение: Пусть  и  - корни квадратного уравнения.

Тогда по условию =2. Используя теорему Виета, имеем     или, в нашем случае.   Из первого уравнения находим = - и для определения а имеем квадратное уравнение  2(- )² - а – 2 = 0, т.е. 2а² - 9а -18 = 0, откуда а = -или  а = 6. Проверка показывает, что при этих значенияха дискриминант исходного уравнения положителен.

Ответ:  а = - ;  а = 6.

Пример.  При каких значениях параметраа корни квадратного уравнения  х² + ах + 1 =0 удовлетворяют условиям ,  = 4.

Решение: Найдем  , используя одно из уравнений теоремы Виета и уравнение из условия задачи:

Получаем пары чисел ( 2+); ( 2 - ). Условию  удовлетворяет пара чисел ( 2 - ). Наконец, второе из уравнений теоремы Виета исходного уравнения имеет вид    = - а, откуда  а = - (), что дает а = - (2 -  + ) = - 3 + . Следует обратить внимание на то, что условие а² - 4  0 (корни квадратного уравнения  х² + ах + 1 =0 вещественные и различные), очевидно, выполнено.

Ответ :а = - 3 + .

Дробно-рациональные уравнения.

При решении  дробно-рациональных уравнений пользуемся условием равенства дроби нулю: Дробь равна нулю когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом нулю не равен.

Пример. Решить уравнение:  -  =  .

Решение:Приведем уравнение к стандартному виду:

 -  -  = 0  => = 0 => = 0 =>

При а =1 уравнение решений не имеет, т.к. числитель не обращается в ноль ни при каких условиях; при a≠1   x=,  при условии, что х≠ ±3.

Выполним проверку: для этого найдем значения параметра a, при которых х = ± 3 и исключим их из числа возможных. Так   = 3 =>а= - ;

 = - 3 =>a = .  При этих значениях параметра знаменатель дроби обращается в ноль.

Ответ:при а =1, а= - , а =  решений нет; при а ≠1, а≠ - , а ≠    единственный корень х = .

Задачи с графической иллюстрацией, в которых требуется указать количество решений уравнения или найти значения параметра, при которых уравнения имеет решение.

В задачах данного типа целесообразно использовать следующий алгоритм действий:

1. Выделить два ГМТ, одно неподвижное (не зависящее от параметра), другое – подвижное (зависящее от параметра).
2. Построить неподвижное ГМТ.
3. Построить подвижное ГМТ (выяснить, что из себя представляет подвижное ГМТ и как именно оно перемещается по координатной плоскости в зависимости от параметра).
4. При изменении параметра исследовать взаимное расположение подвижного и неподвижного ГМТ п отношению друг к другу, выделяя ключевые значения параметра (те, при переходе через которые существенным образом меняется взаимное расположение обоих ГМТ ).
5. Прочитав картинку записать проект решения.
6. Выполнить необходимые вспомогательные вычисления, уточняющие проект решения.
7. Записать ответ.

Пример: Для каждого значения параметраа определить число корней  уравнения |х² - 2х - 3| = а.

Решение:Строим неподвижное ГМТ (график функции  у = |х² - 2х - 3|)  и выясняем, при каких значениях параметра а и в скольких точках существует пересечение с подвижным ГМТ (прямой у = а).

При построении графика функции  у = |х² - 2х - 3| сначала удобно построить параболу у = х² - 2х - 3) с вершиной в точке (1; -4) и точками х= -1; х=3 пересечения с осью Ох, а затем ту часть, которая расположена ниже оси Ох, отобразить симметрично относительно оси Ох.

Ответ: при а<0 решений нет; при а=0 два корня х= -1; х=3; при  0<а< 4 четыре корня; при а= 4 три корня; при а> 4 два корня.

Пример.  При каком значении параметра а уравнение |2х -а| + 1=|х + 3| имеет единственное решение?

Решение:Преобразуем уравнение к виду | 2х -а |=|х + 3| - 1 и построим подвижное ГМТ (график функции  у = | 2х -а |)  и неподвижное ГМТ  (график функции  у = | х + 3 | - 1). График  функции  у = | х + 3 | - 1 получается из графика функции  у = | х |  путем сдвига влево на 3 единицы масштаба вдоль оси Ох и последующего переноса на единицу масштаба вдоль оси Оу вниз. График функции  у = | 2х -а | можно построить так: посмотрим полупрямую, проходящую через точки (); (а;а), а затем отобразить ее симметрично прямой у = . При  построении  графика функции  у = | 2х -а | можно также воспользоваться преобразованием у = | 2х -а | = 2| х - |.

Очевидно, что «раствор угла» у графика у = | 2х -а | меньше, чем у графика   у = | х + 3 | - 1. Поэтому лишь одна общая точка у графиков будет при  = -2 или  = -4, откуда а= - 4 или а= -8.

Ответ: а= - 4 или а= -8.

                                                      Заключение.  

           Задачам с параметрами не уделяется должного внимания в школьной программе. Однако в последнее время эти задачи часто присутствуют в текстах экзаменационных работ. Отдельные разделы данной разработки могут быть использованы как на уроках алгебры в ходе изучения различных типов уравнений, так и в целом, при подготовке учащихся к государственной  итоговой аттестации.

Приложение.

Линейные уравнения.

1. Решить уравнение:  ax-3=b.
2. Решить уравнение:  4=a – (bx-1).
3. Решить уравнение:  ax+b -  = .
4. Решить уравнение:  a²x – 2a² +3 = x+a.
5. Решить уравнение:   = 3(x+1) + .
6. Решить уравнение:  ax -  - a = 7 - - 2x.
7. При каких значениях параметра b уравнение

 (x –b +1)² = 2x + 6b + ( x+b - 1)²:

а) имеет бесконечно много корней;

б) не имеет корней;

в) имеет корень, равный единице;

г) имеет ненулевые корни?

      8.  При каких значениях параметра а уравнение  9- ax = 3( 6+ x) имеет:

           а) только положительные корни;

           б) только отрицательные корни?

      9.  Решить уравнение  3xy – 5x +5y =7:

а) относительно  х и найдите значение параметра,

б) относительно  у и найдите значение параметра, при котором корень равен нулю; при котором корень равен единице.

      10. При каких значениях параметра а уравнение (а² - 4)х = а+2 имеет корни не равные 3?

Квадратные уравнения.

1. Решить уравнение:  ax² + 2x + 1= 0.
2. Решить уравнение:  ax² + 2ax + a – 2 = x.
3. Решитьуравнение:  a(a + 1)x² + ( 1 -2a²)x +a² - a = 0.
4. Решить уравнение:  ax² + 8x – 4a – 16 = 0.
5. Решить уравнение:  1 - x² =  .
6. Решить уравнение:  (a² +1)x² + 2(x - a)( 1+ xa) +1= 0.
7. Решить уравнение:  (a² - b²)x² - 4abx - a² + b² = 0.
8. Решить уравнение:  ax² - (a² +2b)x +2ab = 0.
9. Найдите все значения параметра, для которых разность корней уравнения 2х² - (с+1)х + с + 3 = 0 равна 1.
10. При каких значениях параметра а корни квадратного уравнения х² + х +а = 0 удовлетворяют условию  +  =  ?
11. При каких значениях параметра  а отношение корней квадратного уравнения х² + а х - 16= 0 равно  - 4?
12.  При каких значениях параметраа  корень квадратного уравнения 4х² -15 х +4 а ²= 0 равенквадрату другого?
13.  Найти все значения а, при которых сумма квадратов корней уравнения х² - (а - 2)х – (а +3) = 0 равна 9.
14.   Найти все значения  параметра а, при которых сумма корней и сумма квадратов корней уравнения  х² - 2ах + 2а – 1 = 0 равны между собой.
15.  При каком значении параметраа  сумма  кубов корней уравнения

х² -ах + а-2 = 0 равна числу 18?

16. Найти значения параметра, при которых сумма четвертых степеней корней уравнения  х² - ах + 2 = 0 будет равна числу 17.

Метод решения уравнения относительно параметра.

1. Решить уравнение:  х³ +(3 - а)х² - ах + а (а - 3) = 0.
2. Решить уравнение:   х³ +(1 - b)х² - bх + b (b - 1) = 0.
3. Решить уравнение:  х³  - 3bх² - 2bх + 2b² = 0.

Дробно-рациональные уравнения.

1. Решить уравнение:   =  .
2. Решить уравнение:   = 7.
3. Решить уравнение:   = .
4. Решить уравнение:   = .
5. Решить уравнение:   =  -  .
6. Решить уравнение:  m= +.
7. Решить уравнение:   +  =  .
8. Решить уравнение:   +  = -1.
9. Решить уравнение:   =  .

Графический метод.

1. Решить уравнение:  |х| + а = 4.
2. При каких значениях параметра с уравнение  - х² - 4 |х| = с имеет два решения?
3. При каких значениях параметраа уравнение  |х² - 4х - 5| = а  имеет четыре решения?
4. При каких значениях параметра с уравнение   = с имеет единственное решение.
5. При каких значениях параметра с уравнение   = с имеет единственное решение.
6. При какомзначении параметраа уравнение | х² + 2х -3 | =4а  - 2 имеет не менее трех различных корней.
7. При какомзначении параметраа уравнение | х² - 10х +22 | = +1 имеет не более двух различных корней.

Ответы:

Линейные уравнения:

1. При a=0,b= -3 х –любое; при a=0; b≠ -3 решений нет; при a≠0  х=.
2. При b = 0, a =3  х –любое; при b =0, a ≠ 3 решений нет; при b≠0  х=.
3. При a = 1, b =1,5  х –любое;при a= 1, a ≠1,5  решений нет; при a≠1  х=.
4. При a= 1 х –любое;при a= -1  решений нет; при a≠±1  х=.
5. При a=0, a =2   решений нет; при a≠2  х=.
6. При a= 1 х –любое;при a=- 3  решений нет; при a≠1, a≠ -3  х=.
7. При b =0,5 решений нет; при a≠0,5  х=;а) нет таких значений параметра; б)b=0,5; в) b = -1; г) b = 0.
8. При a= -3 решений нет; при а≠ -3 х = ; а)a< -3 ;б)a> - 3.
9. а) при y =  решений нет; при у ≠     х = ; б) при х = -решений нет; при х ≠ -      у = ; при у =0  при  х = -  ; при  у = 1 при х = - 1.
10. При a= -2 х –любое;при a= 2решений нет; при a≠±2  х=; х≠ 3 при а≠.

Квадратные уравнения.

1. При а< 0  х = ; при  а= 0  х = -; при 0< а <1   х = ; при  а = 1; -  ; при а > 1 решений нет.
2. При а < -   решений нет; при а = -    х = - 3;  при - < а < 0   х =  ; при а = 0   х = - 2; при а > 0  х =  .
3. При  а = 0  х = 0; при а = - 1  х = -2; при а ≠ 0 и а  ≠ -1  х =; х = .
4. При а = 0  х = 2; при а ≠ 0  х =  и х =  .
5. При а < - 1  х = ; при а = - 1  х = 2; при  -1 < а < -

х = ; при а = -   х =  ; при - < а < решений нет; при а =   х =  ; при а>  х =  .

6. При а = -1 решений нет; при а ≠ - 1  х =  и  х = .
7. При а = b = 0  х –любое; при |a|=|b| х  = и  х= .
8. При  а = b = 0  х –любое; при а = 0, b≠ 0  х = 0; при а ≠ 0  х=a, x = .
9. с = -3;9.
10.  а = -6.
11.  а = ±6.
12.  а=± .
13.  а=1.
14.  а= -1; а = -0,5.
15.  а=3.
16.  а= ±3.

Метод решения уравнения относительно параметра.

1.  При а = 0  х = 0; - 3; при  а< 0  х = а – 3; при а> 0  х =±; х = а -3.
2. При b = 0  х = 0; 1; при  b< 0  х = b + 1; при b> 0  х =±; х = b+ 1.
3. При  а <  -   решений нет; при  а = -     х = -;

при  - < а< 0  х =  ; при а = 0  х= 0; - 1; при а > 0  х = ±;    х = .

Дробно-рациональные уравнения.

1. При а = 9 решений нет; при а≠9 х=.
2. При b= -12 решений нет; приb≠ -12   х= .
3. При а=2  х – любое, кроме х=2; при а ≠2 решений нет.
4. При а = -8;а =2 решений нет; при а ≠ -8;а ≠2 х =  .
5. При а= -2; а= -3; а= - ;  а = -   решений нет; при а≠ -2; а≠ -3; а≠ - ;  а ≠ -    х=.
6. При m=0 решений нет; при m≠ ±1,m≠0  х=.
7. При а=0  решений нет; при а≠0 х= - .
8. При а=1;а= -2 решений нет; при а≠1; а≠ -2  х= а+1; х=а-2.
9. При а=±1,а=±2решений нет; при а≠±1,а≠±2  х= -; х= .

Графический метод.

1. При  а< 4  х = а -4, х = 4 – а; при а = 4  х=0; при а > 4 корней нет.
2. с=4; с< 0.
3. 0<а<9.
4. с= -6,25; с= - 4; с= 6.
5. с= -0,25; с= 12; с= 6.
6. 0,5<a<1,5,a=1,5.
7. a>4.

Литература.

1. Чикунова О.И. Задачи с параметрами.  Учебное пособие,ОГУП «Шадринский Дом печати»,2009.
2. Сугоняев И.М. Математика.9 класс.2011. Тренировочные работы к экзамену. ГИА. Издательство «Лицей»,2011.
3. Мальцев Д.А. Математика.9 класс. Итоговая аттестация 2013. «Народное образование», Москва, 2013.
4. Тырымов А.А. Методическое пособие по математике для поступающих в вузы. Издательство «Учитель», Волгоград, 1997.
5. Материалы ГИА 2013.