Обобщающий урок по алгебре 11класс " На ошибках учимся"
план-конспект урока по алгебре (8, 11 класс) на тему

Обобщающий урок по алгебре в 11 классе: «На ошибках учатся».

Цели урока:  -обучающие: обучающая  функция ошибки – ошибка учит не повторять её.

                           -развивающие: - формирование умения взглянуть на изученное с другой стороны, формировать умения выполнять умственные операции: обобщение, сравнение, анализ, систематизировать, делать вывод;

 развитие аргументированной математической речи, расширении математического кругозора

                        - воспитывающие: -выработка у учащихся потребность контролировать свои действия ( не только в математике), умения выявлять и устранять свои ошибки.

Ход урока:

1. Организационный момент.

 Пословица гласит: на ошибках учатся. И действительно, у ошибки есть обучающая функция. В самом примитивном понимании ошибка учит не повторять их. Сегодня мы организуем работу на уроке так, чтобы ошибка открывала новый нюанс, заставляла по-новому взглянуть на уже , казалось бы изученное, ещё раз вызвать к нему живой интерес.

2. Повторение и закрепление  изученного материала:

Предлагается несколько блоков задач, «провоцирующих» ошибку. (Ошибка возникает за счёт неоправданного распространения учащимися предшествующего опыта на новый объект  за счет применения  неверных аналогий. Блоки преднамеренно взяты из различных разделов школьной программы .  В 11-ом классе – повторение и систематизация знаний, понятно, что опыт и фантазия учителя подскажут ему применение подобных блоков задач в любой из изучаемых тем).

 Блок 1.(Слайд1)

Не решая квадратные уравнения, определить знаки его корней:

1. Х2- 6х-8=0,  2)    2х2-7х+6=0, 3) 3х2+11х+10=0, 4)х2-3х+3=0

(Предполагается, что ученики автоматически для последнего уравнения определят знаки его корней, не обращая внимания на то, что действительных корней уравнение не имеет.)

Блок2.(Слайд2)

Упростить выражения:

1)       2)       3)         4)  

(Скорее всего, первые три примера сформулируют стереотип, результатом которого для четвертого примера будет ответ , что неверно. На самом деле правильным результатом будет )

Блок3. (Слайд4)

Решить неравенства:

1)  ≥ 3      2)    ≥ 2               3)           

(Как показывает опыт, учащиеся не учитывают, что последнее неравенство равносильно0 системе  0 ≤х+1≤ 16)

Блок 4. (Слайд4)

Решить уравнение:

1. (х-2)(х+3)=0   2)  (х-1)=0    3)=0      

4) · =0

(В последнем уравнении надо учесть, что его область определения:

  х  ≥ -1, поэтому -3,5 не является корнем рассматриваемого уравнения)

Блок5. (Слайд5)

Построить графики функций:

    1) у=х3,     2) у=()3        3) у=)3

(Распространенная ошибка – считать прямую у=х  графиком третьей функции.  В действительности, область определения  - биссектриса первого координатного угла)

Блок 5а. (Слайд5а)

 Построить графики функций:

1) у=     2)  у=       3) у=

( Ошибка ожидаема в 3-ем графике, если не учитывать область определении)

Блок6. (Слайд6)

Внести множитель под знак корня:

1.       2)           3) а         4)а  

(В последнем примере надо учесть, что ответ зависит от знака переменной)

Блок7.(Слайд7)

Решить неравенства:

1.   (х-1)(Х-2) <0  2) (х-1)(Х-2) ≥0   3)  (Х-1)(<х-2)≤ 0

( Не забыть, что х=-3 также является решением последнего неравенства)

Блок8.(Слайд8)

Найти значение выражения:

1. arccos   2)arcctg(tg(-1;4))    3) arcctg(ctg3;1)    40 arcsin(sin6)

(т.к. тождество arcsin(sinx)=х выполняется  только при ≤, то 6 не является значением последнего выражения)

Блок 9 (Слайд9)

При каких значениях а уравнение имеет единственный корень:

1)х2-3х+2а=0   2) 2х2-ах+8=0   3) ах2-2х+3=0

( в последнем уравнении не забыть рассмотреть, а=0)

Блок10. (Слайд10)

При каких значениях а уравнение имеет единственный корень:

1. (х-4)(х-а)=0   2) (-2)(х-а)=0

( как для первого, так и для второго уравнения 4 – корень. Однако для второго уравнения область определения все неотрицательные числа, а значит все искомыми значения будут также все а , где а -неположительные числа).

Блок 11.(Слайд11)

Решить уравнения:

1. Sinx+cosx=0   2)sin2x - sin2x - 3cos2x=0   3) cos2x = 3sinxcosx
2. (Деление обеих частей последнего уравнения, по аналогии с предыдущими, на cos2x приведет к потере корней)

Блок 12. (слайд12)

Найти уравнение касательной к графику заданной функции в точке с абсциссой хо

1. у=х2   х0= -2   2)у =   х0 =   3) у= , х0  =0

( В последнем задании нет необходимости использовать общее уравнение касательной. Ведь графиком последней функции является полуокружность с центром (0,0) и радиусом 1. Поэтому уравнение касательной имеет вид у=1)

 Блок13 (слайд13)

Решите уравнение: 1)   +   =4    2)  =1    3) –  =1

( Два первых уравнения требуют стандартных приёмов решения иррациональных уравнений. Для третьего уравнения более рациональным представляется следующий подход: уравнение не имеет корней, так как при любом допустимом х его левая часть принимает отрицательные значения, тогда как правая – положительное число.)

III Итог урока

 Повторить всевозможные варианты, где можно допустить ошибку.

IV.Домашнее задание:

Подобрать задания, где возможно допустить ошибки, используя дополнительную литературу, Интернет.

Урок по алгебре в 8 классе

Тема урока: Биквадратные уравнения.

Цели урока:- обучающие – сформировать представление о биквадратном уравнении, составить алгоритм и модель решения биквадратного уравнения.

                     -развивающие: - формирование умения выполнять умственные операции: обобщение, сравнение, анализ, систематизировать, делать вывод;

 развитие аргументированной математической речи, расширении математического кругозора

                    - воспитывающие: - формирование навыков коммуникативности (культуры общения с товарищами и слышать других).

Ход урока:

1.Оргмомент. 

Сегодня мы работаем по девизом «Дорогу осилит идущий , а математику мыслящий!» (девиз на слайде1)

Вопрос: Как вы понимаете этот девиз? Вывод: учимся думать, мыслить рассуждать. Успехов вам, ребята!

2.Актуализация знаний.

Начинаем с небольшой разминки.

  а) Учащимся предлагается решить три уравнения (желательно устно, уравнения на слайде1).

• х2-32х+220=0
• -х2+19х-90=0
• 2х2-26х+24=0.

   б)  Учащимся предстоит решить шесть уравнений ( уравнения на парте каждого ученика, работа в парах). Задача – составить слово, используя карточки (на парте каждой пары), где букве алфавита соответствует число

( корень уравнения)

а – 1                  ж -8

б – 2        з - 9

в – 3        и - 10

г – 4        й - 11

д – 5        к - 12

е - 6        л - 13

ё - 7        и т. д.

Ответ – слово «физика»(Слайд2),(Слайд3 «Математика –служанка физики») предмет, для которого математика –служанка, знания по математике позволяют успешно справляться с практическими заданиями по физике (в беседе).

Вопрос:

Какие знания нам были нужны, чтобы достаточно быстро найти корни этих уравнений? (Учащиеся озвучивают теорему Виета и теорему, обратную теореме Виета, свойства коэффициентов квадратного уравнения; у) Преследуется цель урока – развитие аргументированной математической  речи.

3. Постановка учебной задачи

Вопросы классу: 1. Какое уравнение называется квадратным?

        2. Какие квадратные уравнения вам известны?

по мере  ответов учащихся на доске появляется запись на слайде  4.

1.ах2+вх+с=0        2.ах2+вх =0         3.ах2+с=0

Учащимся предлагается задание: распределить уравнения( список уравнений есть у каждого ученика на парте и записан на доске) на группы и объяснить по какому признаку проведено распределение.

Уравнения: (Слайд5)

     1. х2-36=0

2. х2-5х+9=0

3. х4-13х2+36=0

4. -3х2+х+3=0

5. х2+2=0

6. х2-8х+16=0

7. 5х2+4х=0

8. -11х2+х-9=0
9. 14х2-2х=0
10. 3х4-2х2+3=0
11.  0,5х2+5=0
12.  2х2+12х-3=0
13.  х4-13х2+36=0
14.  х2-20х+1=0
15.  х4-5х2+4=0

Преследуется развивающая цель урока – умение анализировать, делать выводы, систематизировать, сравнивать.

На доске два ученика, на местах учащиеся работают в парах; на доске появляется запись: (Слайды 6а,б,в,г)

1.        2.                     3.                 4.

ах2+вх+с=0             ах2+вх=0      ах2+с=0         ?

2;4; 6; 8; 12; 14         7; 9                1; 5; 11         10; 13; 3; 15

Проверка: работающие у доски представляют свое распределение, объясняют по какому признаку провели распределение; класс слушает, проверяет себя, исправляются неточности, ошибки на доске и в тетрадях учащихся, тем самым формируются навыки коммуникативности (воспитывающая цель урока)

Р. S. Работающей паре у доски можно задать вопросы по теории темы «квадратные уравнения»

1. Какие из данных уравнений вы можете решить устно? Решите их.

Какие квадратные уравнения точно имеют корни (при положительном ответе – на какой теоретический факт вы опирались?)

2. Сколько корней может иметь квадратное уравнение? От чего это зависит?

Итак: группа 4 - ? – Можем мы решать такие уравнения ? НЕТ!

3. Постановка проблемы.

Учитель предлагает сформулировать проблему:

Как решаются такие уравнения? Как называются уравнения такого вида?

Предлагается беседа: есть ли что-то знакомое для вас в этих уравнениях, можем ли в обще виде записать такие уравнения, нельзя ли найти способ решения таких уравнений. Учитель вместе с учениками записывает общий вид уравнения   ах4+вх2+с=0   и находит способ решения: введение новой переменной у=х2

Лишь теперь вводится название уравнения и формулируется тема урока: «Биквадратные уравнения»,(Слайд7) проговариваются цели урока (делается это быстро…).Тема На слайде и в тетрадях учеников.

Учитель кратко останавливается на понятии «биквадратное уравнение.»

4. Этап моделирования.

Учитель вместе с учениками составляет модель, одновременно один ученик прописывает алгоритм решения биквадратного уравнения (возможен вариант, при спаренном уроке, работы в группах, когда учащиеся сами составляют модель, оформляют на отдельных листах ватмана, затем по мере выполнения вывешиваются на доске, обсуждаются в классе и лучший вариант модели записывается в тетрадях учеников)

Модель постепенно в ходе фронтальной беседы появляется в центре доски, ещё раз повторяются способ решения биквадратных уравнений: повторяются теоретические моменты, связанные с числом корней квадратного уравнения

.

            Алгоритм решения биквадратных уравнений(Слайд8)

1. Замена:  х2=у, у > 0 (*), тогда х4=у2

2. Решение уравнения ау2+ву+с=0

     3. Решение уравнения  х2=у

     4.Ответ

Вопрос( прежде всего к ученику составляющему алгоритм) Сколько корней может иметь биквадратное уравнение?

Запись в тетрадях: « Биквадратное уравнение может иметь 4 корня, 2 корня, не иметь корней.»Слайд9 (За активную работу при составлении модели учащимся можно поставить отметки), (На этом этапе преследуются цели урока : развитие математического кругозора, формирование навыков коммуникативностии другие развивающие и обучающие цели)

5. Закрепление.

Учащимся предлагается самостоятельно решить уравнения

№3

х4-13х2-36=0

 №15

х4-5х2+4=0 по вариантам с использованием модели

Проверка: на слайде10 прописаны образцы оформления; решение уравнений проверяется, озвучиваются ответы, показываются образцы оформления.

Упражнения №10 и3 13 предлагается записать для домашней работы.

6. Итог урока.

Учитель беседует с учениками о том, что нового узнали на уроке, на каком этапе были трудности ;

Возвращаемся к девизу:

«Дорогу осилит идущий, а математику мыслящий ! ». (Слайд)

Смогли ли мы сегодня «осилить дорогу»,достигли ли цели урока?

Ученикам предлагается домашнее задание: близкому человеку в своей семье рассказать об алгоритме и попробовать без тетради построить модель решения биквадратных уравнений, решить уравнения №10, № 13

Спасибо за урок, ребята!слайд11 С нетерпением буду ждать Вас на следующем уроке.

Учитель математики МОУ лицея №18 Дымова Ирина Витальевна