Обобщающий урок по алгебре по теме "Арифметическая прогрессия"
план-конспект урока по алгебре (9 класс) по теме
Урок обощения и систематизации знаний по теме "Арифметическая прогрессия".
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 104.5 КБ |
Предварительный просмотр:
Обобщающий урок в 9 классе
по теме «Арифметическая прогрессия»
Учитель математики: С.С.Курова
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний по теме «Арифметическая прогрессия»
Цели урока:
образовательные – обобщить и систематизировать знания учащихся по изучаемой теме, провести контроль уровня усвоения материала, корректировка выявленных пробелов;
развивающие – развитие способности делать осознанный выбор способов учебной деятельности каждым учеником, в зависимости от его уровня развития, умения оценивать результат своей работы и работы других, корректировать имеющиеся ошибки, осуществлять взаимопомощь;
воспитательные – формировать у учащихся интерес к математике, рефлексию по оцениванию результатов решения и способов деятельности учащихся в классе.
Ход урока.
1.Орг. момент.
- Здравствуйте, ребята. Садитесь.
- Дежурные – кто отсутствует?
- Проверка наличия домашней работы.
( слайд 1)
Сегодня наш урок я хотела бы начать словами А.С.Пушкина:
«О, сколько нам открытий чудных..
Готовит просвещенье дух,
И опыт – сын ошибок трудных,
И гений – парадоксов друг»
Я хочу, чтоб наша встреча сегодня принесла много открытий, опыта и хорошего настроения.
Мы сегодня на уроке будем заниматься повторением и обобщением знаний по теме «Арифметическая прогрессия» и рассмотрим применение арифметической прогрессии при решении задач практического содержания из жизни.
(слайд 2)
Вместе с вами мы будем двигаться вперед, т.к. слово «Прогрессия» имеет латинское происхождение и означает «Движение вперед»
(слайд 3)
Этим термином прежде именовали всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении.
2. Устная работа.
Мы живём в реальном мире, и для его познания нам необходимы знания. А сейчас мы выясним, как вы знаете определения и формулы по данной теме. Какими знаниями по этой теме вы готовы поделиться? ( Учащиеся отвечают, используя схему. Названия блоков, из которых состоит схема, открываются по мере их называния.) итак, работаем устно.
(слайд 4)
Вопросы:
1. Какая последовательность называется арифметической прогрессией?
2. Выясните, где записана арифметическая прогрессия: а) 5; 10; 15; 20;…
б) 3; 5; 6; 7; … в) 8; 8; 8; … (а, в)
3. Как найти разность арифметической прогрессии. Назовите формулу.
4. Чему равна разность арифметической прогрессии в данных примерах:
а) 5; 10; 15; 20;… (5) б) 8; 8; 8; … (0) в) 9; 6; 3; 0;… ( -3)
5. Какова должна быть разность арифметической прогрессии, чтобы прогрессия была убывающей? (d меньше 0) Возрастающей? ( d больше 0)
6. Назовите первый член и разность арифметической прогрессии: ап = 2п + 5. ( а1= 7; а2= 9; d = 2 )
7. Назовите формулу п-го члена арифметической прогрессии.
8. Первый член арифметической прогрессии равен 1, разность равна 4. Найдите десятый член прогрессии. ( 37)
8. Продолжите предложение : для каждого члена арифметической прогрессии, начиная со второго, верно равенство …
9. Назовите формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии.
10. Найдите член арифметической прогрессии обозначенный буквой: -6; -4; а; ( -2)
Вот видите, сколько необходимо знать, а всякое знание должно перейти в умение и навык.
(слайд 5)
Зная формулы арифметической прогрессии, можно решить много интересных задач литературного, исторического и практического содержания.
3. Кратко «Сведения из истории»
(слайд 6)
Понятие числовой последовательности возникло и развивалось задолго до создания учения о функциях. Первые теоретические сведения, связанные с прогрессиями, дошли до нас в документах Древней Греции. В Древнем Египте в V в до н.э. греки знали прогрессии и их суммы.
Примеры отдельных арифметических прогрессий можно встретить еще в древневавилонских и греческих надписях, имеющих возраст около четырех тысячелетий и более.
Одним из древних ученых, занимавшимися прогрессиями был Архимед. Он первым обратил внимание на связь между прогрессиями.
(слайд 7)
Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и другие.
(слайд 8)
Вопросами последовательности занимался Леонардо Пизанский (Фибоначчи). Наиболее известной из сформулированных Фибоначчи задач является «задача о размножении кроликов», которая привела к открытию числовой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …, именуемой впоследствии «рядом Фибоначчи».
Задача Фибоначчи : Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течении года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения (показано в таблице).
Месяцы | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Пары кроликов | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 |
Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д.
(слайд 9)
В Германии молодой Карл Гаусс (1777-1855) нашел моментально сумму всех натуральных чисел от 1 до 100, будучи ещё учеником начальной школы.
1+2+3+4+…+98+99+100 = (1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=
=101x50 =5050. Это – арифметическая прогрессия.
(слайд 10)
В 18 веке в английских учебниках появились обозначения арифметической и геометрической прогрессии:
Прогрессии широко встречаются в окружающей нас жизни. И мы сегодня рассмотрим примеры решения задач из жизни с использованием формул арифметической прогрессии.
Запишем в тетради число, классная работа.
(слайд 11)
4.Решеним задачи на применении формул арифметической прогрессии из нашей жизни.
№1.Наследство:
Джентльмен получил наследство. Первый месяц он истратил 100$ , а каждый следующий месяц он тратил на 50 $ больше, чем в предыдущий. Сколько он истратил за второй месяц? За третий? За десятый? Каков размер наследства, если денег хватило на год такой беззаботной жизни?
(слайд 12)
а1= 100; d = 50; п = 10, а10 =?
ап=а1+d(n-1), а2 = 100 + 50 = 150 , а3 = 150 + 50 = 200
а10 = 100 + 50(10 – 1) = 100 + 450 = 550
Наследства хватит на 12 месяцев безбедной жизни.
5. Работа с учебником ( закрепление материала)
Прогрессии в медицине. № 16.64
Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?
Найдя сумму п первых членов арифметической прогрессии, найдете, что вам надо купить 180 капель. Т.е. 2 пузырька лекарства.
Решение (на доске.)
Составим математическую модель задачи:
5, 10, 15,…,40, 40, 40, 35, 30,…,5
ап=а1+d(n-1),
40=5+5(п-1),
п=8,
Sп=((a1+aп)n)/2, S8 =(5+40)·8:2=180,
180 капель больной принимал по схеме в первый период и столько же по второй период. Всего он принял 180+40+180=400(капель), всего больной выпьет 400:250=1,6 (пузырька). Значит, надо купить 2 пузырька лекарства.
Прогрессия в спорте.№16.66
Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400 м, а затем каждый следующий день они проходи ли на 100 м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту в 5000 м?
Решение (на доске). Составим математическую модель задачи: 1400, 1300,1200, …,
a1=1400; d=-100, Sn=5000. Надо найти n.
Sn= (2a1+ d (n-1))n:2;
5000= (2·1400-100 · (n-1)) n:2; Условию задачи удовлетворяет
10000= (2800-100 n+100) n; n=4 ( при n=25 аn=-1000, но аn>0)
10000= (2900-100 n) n; Значит, альпинисты покорили
100 n2-2900 n+10000=0; высоту за 4 дня.
n2-29 n+100=0; n=25, n=4. Ответ: за 4 дня.
Мы с вами рассмотрели применение прогрессии в спорте, медицине и при делении наследства. И для решения этих задач мы применяли формулы нахождения п-го члена и суммы п-ых членов арифметической прогрессии.
Задачи на применение прогрессий встречаются в старых учебниках по математике, в книгах по занимательной математике, но не только в математике мы встречаемся с прогрессией.
6. Прогрессия в литературе:
(слайд 13)
Даже в литературе мы встречаемся с математическими понятиями.
Так вспомним строки из «Евгения Онегина»:
«Не мог он ямба от хорея,
Как мы не бились отличить..»
(слайд 14)
ЯМБ – это стихотворный размер с ударением на четные слоги 2; 4; 6; 8; … Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2.
ЯМБ:
«МОЙ ДЯДЯ САМЫХ ЧЕСНЫХ ПРАВИЛ…»
Прогрессия: 2; 4; 6; 8; ..
(слайд 15)
Старик, я слышал много раз,
Что ты меня от смерти спас.
(слайд 16)
ХОРЕЙ – это стихотворный размер с ударением на нечетные слоги стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию: 1; 3; 5; 7;.. с первым ее членом 1 и разностью 2.
ХОРЕЙ:
«Я ПРОПАЛ, КАК ЗВЕРЬ В ЗАГОНЕ..» (Б.Л.Пастернак)
Прогрессия: 1, 3; 5;…
(слайд 17)
ХОРЕЙ: Буря мглою небо кроет…
(слайд 18)
Вот еще хорей ( из Бунина):
Яблони и сизые дорожки,
Изумрудно – яркая трава,
На березах – серые сережки.
И ветвей плакучих кружева.
Мы с вами увидели, что отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха.
Стихотворная речь - явление литературное, эстетическое. Но некоторые особенности стихотворной речи требуют применения математических знаний.
Я надеюсь, что наш урок поможет вам понять, что наука и искусство тесно связаны, а мир так многолик, чтобы познать его нужно быть и ученым, и поэтом в душе.
7. Проверочный тест ( с разными уровнями сложности)
(слайд 19)
«Да, путь познания не гладок,
Но знаем мы со школьных лет,
Загадок больше, чем разгадок
И поискам предела нет»
И мы продолжим разгадывать загадки и далее - самостоятельная работа в форме теста. А чтобы ответить на вопросы теста, необходимо вспомнить все формулы, которые мы сегодня повторяли. ( у каждого ученика на столе листочки с заданиями теста и листочки для записи ответов теста и решения примеров)
Вариант 1
№ | вопрос | ответ |
1 | Функция, заданная на множестве натуральных чисел, называется | а) прогрессия б) последовательность в) уравнение |
2 | Формулу, выражающую любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие называют | а) записью б) рекуррентной в) функцией |
3 | Какой член последовательности следует за членом аn+1 | а) аn б) аn-1 в) аn+2 |
4 | (аn) – арифметическая прогрессия аn+1 = …+d вставьте пропущенное | а) аn-1 б) аn в) аn+2 |
5 | (а…) – арифметическая прогрессия. Запишите формулу n-го члена через а1 и d |
б) an=a1+n*d |
6 | Дано: :(аn) а1 = 20, d = 3 Найти: а5 | а) 12; б) 32; в) 25 г) др.ответ |
7 | Найдите сумму первых восьми членов арифметической прогрессии, если а1 = -17 d=6 | а) 26; б) 32; в) 30 г) др.ответ |
8 | Найти сумму первых ста членов арифметической прогрессии аn = 2 n + 3 | а) 5400 б) 5000 |
II вариант
№ | вопрос | ответ |
1 | Последовательность (xn) задана формулой xn = 10n2 + 4. Найти x10 | а) 104; б) 204; в) 1004; г) др.ответ |
2 | Числовая последовательность задана формулой xn = 2n + 3. Найти номер члена последовательности, равного 43 | а) 23; б) 20; в) 21; г) др.ответ |
3 | Найти пятнадцатый член арифметической прогрессии 3; 7;… | а) 59; б) 98; в) 63; г) др.ответ |
4 | Запишите формулу члена арифметической прогрессии 1; 4; 7; 10;… | а) аn = n2; б) аn = 3n - 2; в) аn = 3n+1; г) др.ответ |
5 | Разность арифметической прогрессии равна 1,5. Найти а1, если а7 = -4. | а) -23; б) -60; в) -13; г) др.ответ |
6 | В арифметической прогрессии (аn) а1 = 8, d = 4. Найти сумму шестнадцати членов прогрессии. | а) 720; б) 608; в) 594; г) др.ответ |
7 | Найти сумму всех натуральных чисел от 2 до 98 включительно. | а) 5050; б) 4500; в) 4850; г) др.ответ |
8 | Арифметическая прогрессия задана формулой аn = 3n + 2. Найти сумму двадцати первых членов. | а) 670; б) 630; в) 400; г) др.ответ |
III вариант
№ | вопрос | ответ |
1 | Последовательность (xn) задана формулой xn = 2n-1. Найти x20. | а) 19; б) 39; в) 29; г) др. ответ |
2 | Числовая последовательность задана формулой xn = n2 -1. Найти номер члена последовательности, равного 224 | а) 10; б) 15; в) 25; г) др. ответ |
3 | Найти десятый член арифметической прогрессии 4; 9;… | а) 45; б) 49; в) 40; г) др.ответ |
4 | Запишите общую формулу арифметической прогрессии 1; 5; 9; 13;… | а) 4n+1; б) 4n-1; в) 4n-3; г) др.ответ |
5 | Разность арифметической прогрессии равна 2. Найти а1, если а6 = -3. | а) 10; б) -13; в) 13; г) др.ответ |
6 | Число -20 является членом арифметической прогрессии, у которой а1 = -31, а разность равна 3. Найти его номер. | а) 6; б) 7; в) 10; г) др.ответ |
7 | В арифметической прогрессии (аn) а1 = 5, d = 3. Найти сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии. | а) 640; б) 570; в) 670; г) др.ответ |
8 | Найти сумму всех натуральных чисел от 5 до 95 включительно. | а) 4550; б) 5050; в) 4050; г) др.ответ |
IV вариант
№ | вопрос | ответ |
1 | Последовательность задана рекуррентной формулой а n+1 = | а) 16; б) 8; в) 2; г) др.ответ |
2 | Числовая последовательность задана формулой аn = n2 -2n-6. Найти номер члена последовательности, равного -9. | а) 4; б) 5; в) 8; г) др.ответ |
3 | Запишите формулу общего члена арифметической прогрессии 2; 6;… | а) аn = n2+n; б) аn = 4n-2; в) аn = 4n+2; г) др.ответ |
4 | Число -59 является членом арифметической прогрессии 1; -5;… | а) 13; б) 19; в) 11; г) др.ответ |
5 | Найти девятый член и разность арифметической прогрессии, если а8 = 126, а10 = 146. | а) d=10, а9=136; б) d=8, а9=134; в) d=5, а9=131; г) др.ответ |
6 | Найти сумму двадцати пяти первых членов арифметической прогрессии (аn), если а1=66 и d = -8 | а) -680; б) 680; в) -750; г) др.ответ |
7 | Найти сумму членов арифметической прогрессии с пятнадцатого по тридцатый включительно, если первый член равен 10 и разность равна 3. | а) 1192; б) 2038 в) 1234; г) др.ответ |
8 | Найти сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии, если ее четвертый член равен 3, а шестой равен -1,2. | а) -31; б) -27; в) -26; г) др.ответ |
8. Далее рассмотрим примеры применения прогрессии в школьных предметах:
(слайд 20)
В биологии:
Высота саженца 60 см, первые полгода она увеличивается ежемесячно в среднем на 4 см.
Применяя формулу п-го члена, мы сможем найти рост саженца в первые полгода.
(слайд 21)
В физике:
Брошенное с некоторой высоты тело в первую секунду падает на 5 м, а в каждую следующую на 9,8 м больше, чем в предыдущую. Можно определить сколько пролетит тело за несколько секунд.
(слайд 22)
В химии:
Заряды ядер атомов элементов, расположенных в таблице Менделеева друг за другом, отличаются на +1. Заряд ядра атома водорода (№1) равен +1. Элементы таблицы Менделеева образуют арифметическую прогрессию.
9. Итог урока:
Подведем итог нашего урока.
1. Какие правила мы сегодня повторили?
2. Сообщение учащимся, кому и на какие вопросы необходимо обратить внимание.
3. Выставление оценок за урок.
(слайд 23)
10. Домашнее задание:
№ 16.65, № 16.62
11. Рефлексия:
Проанализируйте свой уровень знаний. Ответьте каждый для себя на вопрос: что я хорошо знаю по данной теме и что еще мне надо повторить? Подумайте, над чем надо поработать дома.
(слайд (24)
Закончился двадцатый век.
Куда стремится человек?
Изучен космос и моря,
Строенье звезд и вся земля.
Но математиков зовет
Известный лозунг
«Прогрессия – движение вперед».
Мы изучили арифметическую прогрессию, а далее продолжим движение вперед и будем изучать геометрическую прогрессию.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
![](/sites/default/files/pictures/2013/01/30/picture-191965-1359538317.jpg)
Повторительно-обобщающий урок по алгебре в 8 классе .
Тема урока: "Квадратные уравнения " по методике взаимообмен заданиями (ВЗ) . С данной методикой ребята уже знакомы, так как по ней уже работали в 7 классе. Карточки "самоконтроль- ответы" печата...
![](/sites/default/files/pictures/2013/10/14/picture-308532-1381763540.jpg)
Обобщающий урок по алгебре и началам анализа по главе "Логарифмическая функция"
Данный урок проводится как обобщение и закрепление знаний в конце прохождения главы "Логарифмическая функция". Форма проведения урока - групповая, урок проводится в компьютерном классе с использование...
![](/sites/default/files/pictures/2013/10/14/picture-308532-1381763540.jpg)
Обобщающий урок по алгебре и началам анализа по теме "Производная и ее применение. Повторение в рамках подготовки к ЕГЭ"
Данный урок целесообразно проводить в конце 11 класса в ходе подготовки к ЕГЭ перед разбором заданий, связанных с матанализом (В8, В14) . Урок проводится в групповой форме. В начале урока с помощью пр...
![](/sites/default/files/pictures/2013/11/02/picture-331914-1383412118.jpg)
Обобщающий урок по алгебре в 7 кллассе по теме "Сумма и разность многочленов. Умножение одночлена на многочлен"
Целью данного урока является повторение и закрепление знаний и отработка действий с многочленами: сумма и разность многочленов, умножение одночлена на многочлен. Материал можно испол...
![](/sites/default/files/pictures/2013/11/02/picture-331914-1383412118.jpg)
Обобщающий урок по алгебре в 7 классе по теме "Сумма и разность многочленов. Умножение одночлена на многочлен"
Целью данного урока является повторение и закрепление знаний и отработка действий с многочленами: сумма и разность многочленов, умножение одночлена на многочлен. Материал можно испол...
![](/sites/default/files/pictures/2018/06/22/picture-197971-1529671332.jpg)
Обобщающие уроки по алгебре и началам анализа
Серия разноуровневых обобщающих уроков алгебры и начал анализа для 10-11 классов. Это тригонометрическая, показательная и логарифмическая функции, с разноуровневыми тестами и их ответами. Эти уроки да...
Конспект урока по алгебре 9 кл "Прогрессии"
Использование технических средств на уроке алгебры 9 класса....