Презентация: Алгебра 10 класс "Решение тригонометрических уравнений"
презентация к уроку по алгебре (10 класс) по теме

Слайд 1

Решение тригонометрических уравнений. Учитель математики Лукьянова Е.Ю. МБОУ «Школа №103»

Слайд 2

Что будем изучать: 1. Что такое тригонометрические уравнения? 2. Простейшие тригонометрические уравнения. 3. Два основных метода решения тригонометрических уравнений. 4. Однородные тригонометрические уравнения. 5. Примеры.

Слайд 3

Что такое тригонометрические уравнения? Ребята, мы с вами изучили уже арксинуса, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Теперь давайте посмотрим на тригонометрические уравнения в общем. Тригонометрические уравнения – уравнения в котором переменная содержится под знаком тригонометрической функции. Повторим вид решения простейших тригонометрических уравнений: 1)Если |а| ≤ 1, то уравнение cos ( x ) = a имеет решение: x= ± arccos ( a ) + 2πk 2) Если |а| ≤ 1, то уравнение sin ( x ) = a имеет решение: х =((-1)^n) arcsin ( а )+ πn . 3) Если |а| > 1, то уравнение sin ( x ) = a и cos ( x ) = a не имеют решений 4) Уравнение tg ( x ) =a имеет решение: x=arctg ( a )+ πk 5) Уравнение ctg ( x ) =a имеет решение: x=arcctg ( a )+ πk Для всех формул k - целое число

Слайд 4

Простейшие тригонометрические уравнения имеют вид: Т( kx+m ) =a , T- какая либо тригонометрическая функция. Пример. Решить уравнения: а) sin (3x)= √3/2 Решение: а) Обозначим 3x=t, тогда наше уравнение перепишем в виде: sin ( t )=1/2. Решение этого уравнения будет: t= ((-1) ^n ) arcsin (√3 /2)+ πn . Из таблицы значений получаем: t= ((-1) ^n )× π /3+ πn . Вернемся к нашей переменной: 3x =((-1) ^n )× π /3+ πn , тогда x= ((-1) ^n )× π /9+ πn /3 Ответ: x= ((-1) ^n )× π /9+ πn /3, где n-целое число. (-1) ^n – минус один в степени n .

Слайд 5

Решение тригонометрических уравнений сводится к двум задачам: 1.Решение уравнения 2.Отбор корней Задачи делятся на следующие категории: Уравнения, сводящиеся к разложению на множители. Уравнения, сводящиеся к виду со s x = a . sin x = a . tgx = a . Уравнения, решаемые заменой переменной. Уравнения, требующие дополнительного отбора корней из-за иррациональности или знаменателя.

Слайд 6

Уравнения, сводящиеся к разложению на множители Формулы приведения Синус, косинус двойного угла sin( π 2+ x )= cosx sin 2 x =2 sinxcosx

Слайд 7

Решите уравнение sin 2 x =sin( π 2+ x ) Най­ди­те все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−7 π/ 2,−5 π/ 2] Используем формулы приведения: sin( π 2+ x )= cosx Тогда уравнение примет вид: sin 2 x = cosx Дальше используем формулы синус двойного угла: sin 2 x =2 sinxcosx Тогда уравнение примет следующую форму: 2 sinxcosx = cosx

Слайд 8

2 sinxcosx − cosx =0 2 sinxcosx − cosx =0 Разложили на множители cosx(2sinx−1)=0 Теперь решаем: cosx=0 или 2 sinx=1 Первое уравнение имеет корни: x = π | 2 + π n . А второе: x=(−1)^n π / 6+π n Теперь нужно отобрать корни: Промежуток : [−7 π / 2,−5π / 2 ]

Слайд 9

Так как наш промежуток – целиком отрицательный, то нет нужды брать неотрицательные n , все равно они дадут неотрицательные корни. Вначале поработаем с первой серией: x = π | 2 + π n . Возьмем: n=−1, тогда x =− π /2 не принадлежит промежутку. Пусть n=−2, тогда x=−3 π /2 не принадлежит промежутку.. Пусть n=−3, тогда x= π / 2−3π=−2,5π -первый корень который принадлежит промежутку . Пусть n=−4, тогда x= π2−4π=−3,5π корень принадлежит промежутку . Пусть n=− 5, x = 2 π −5 π =−4,5 π не принадлежит промежутку. Так что из первой серии промежутку [−3,5 π;−2,5π] принадлежат 2 корня: −2,5 π, −3,5π .

Слайд 10

Работаем со второй серией -возводим (−1)в степень по правилу: (−1)нечетная степень=−1 (−1)четная степень=1 n =0, x = 6 π – не принадлежит промежутку. n=−1, x= − π6−π=−7π / 6– не принадлежит промежутку. n=−2, x= π6−2π=−11π / 6– не принадлежит промежутку. n=−3, x= − π6−3π=−19π / 6 – корень принадлежит промежутку. n=−4, x= π6−4π=−23π / 6 – не принадлежит промежутку. Таким образом, моему промежутку принадлежат вот такие корни: 2,5 π, −3,5π, −19π / 6

Слайд 11

Решить уравнение:3t g x 2 + 2t g x -1 = 0 Решение: Для решения нашего уравнения воспользуемся методом ввода новой переменной, обозначим: t=tg (x). В результате замены получим: 3 t 2 + 2t -1 = 0 Найдем корни квадратного уравнения: t=-1 и t=1/3 Тогда tg (x)=-1 и tg (x)=1/3, получили простейшее тригонометрическое уравнение, найдем его корни. x=arctg (-1) + πk = -π /4+ πk ; x=arctg (1/3) + πk . Ответ: x= -π/4+πk; x=arctg (1/3) + πk .

Слайд 12

Решить уравнение: 2sin 2 (x) + 3 cos (x) = 0 Воспользуемся тождеством: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1 Наше уравнение примет вид: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0 2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0 введем замену t=cos (x): 2t 2 -3t - 2 = 0 Решением нашего квадратного уравнения являются корни: t=2 и t=-1/2 Тогда cos (x)=2 и cos (x)=-1/2. Т.к. косинус не может принимать значения больше единицы, то cos (x)=2 не имеет корней. Для cos (x)=-1/2: x= ± arccos (-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk Ответ: x= ±2π/3 + 2πk

Слайд 13

Задачи для самостоятельного решения. Решить уравнения: sin(3x)= √3/2. И найти все корни на отрезке [ π/2; π ]. Решить уравнение: ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0 Решить уравнение: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos (x) = 0 Решить уравнение: 3 sin 2 (3x) + 10 sin(3x) cos (3x) + 3 cos 2 (3x) =0 Решить уравнение: cos 2 (2x) -1 - cos (x) =√3/2 -sin 2 (2x)