Презентация "Методы решения тригонометрических уравнений"
презентация к уроку по алгебре (11 класс) на тему

Слайд 1

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Автор: Кондрашева Светлана Михайловна , учитель математики МОБУ СОШ№28 ст. Вознесенской Лабинского района

Слайд 2

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ: тригонометрические уравнения из года в год встречаются среди заданий ЕГЭ; в школьной программе отводится мало времени на изучение данной темы; уравнения повышенной сложности изучаются на факультативных занятиях в ознакомительном порядке.

Слайд 3

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучить методы решения тригонометрических уравнений; исследовать применение их к решению уравнений повышенной сложности и зад а ний различного содержания.

Слайд 4

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ ЗАДАЧИ: - рассмотреть исторические сведения о тригонометрических уравнениях; - изучить общие сведения о простых тригонометрических уравнениях ; - изучить методы решения тригонометрических уравнений ; - исследовать применение методов решения тригонометрических уравнений к решению уравнений повышенной сложности и заданий на нахождение дополнительных условий; - подготовить упражнения и составить тест для самостоятельного решения учащихся.

Слайд 5

ПЛАН ИССЛЕДОВАНИЙ: 1.Анализ методов решения тригонометрических уравнений наиболее часто применяемых на практике. 2.Применение различных методов исследования: изучение литературы, материалов учебных интернет – сайтов по данной теме; консультации с преподавателем; применение различных методов решения тригонометрических уравнений на практике. 3. Анализ и подбор заданий для самостоятельного решения разной сложности. 4.Самостоятельное решение уравнений.

Слайд 6

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ: 1. Из истории тригонометрии. 2. Общие сведения о тригонометрических уравнениях. 3. Методы решения тригонометрических уравнений. 4. Приемы решения тригонометрических уравнений, требующих искусственных преобразований. 5. Приемы отбора корней в тригонометрических уравнениях. 6. Применение рассмотренных методов решения тригонометрических уравнений. 7. Приложение 1. Тест по теме «Тригонометрические уравнения» и ответы к нему.

Слайд 7

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Слайд 8

Алгебраические уравнения относительно одной из тригонометрических функций. 2 sin 2 х + cos х – 1 = 0 2 tg х – 3 ctg х – 1 = 0 2 ( 1 - cos 2 x ) + cos х – 1 = 0, 2 - 2 cos 2 x + cos х – 1 = 0, 2 cos 2 x – cos х – 1 = 0. Пусть cos х = t , где -1≤ t ≤1, тогда 2 t 2 - t – 1 = 0, D = 9, t 1= 1 , t 2= -0,5 cos х = 1 cos х = -0,5 х = 2 πn , nϵZ ; х = ± 2 π /3 + 2 πn , nϵZ Ответ: 2 πn , ± 2 π /3 + 2 πn , nϵZ 2 tg х - – 1 = 0, 0= 2 tg 2 x – tg х – 3 = 0. Пусть tg х = t , тогда 2 t 2 - t – 3 = 0 D = 25, t 1= 1,5 , t 2= -1 tg х = 1,5 tg х = -1 х = arctg 1,5 + πn , nϵZ х = - π /4 + πn , nϵZ Ответ: arctg 1,5 + πn , - π /4 + πn , nϵZ

Слайд 9

ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА УРАВНЕНИЯ 4 cos 2 x + cos 2 х= 5 sin 4 х + cos 2 2 x = 2 4×0,5(1 + cos 2х)+ cos 2х = 5, 2 + 2 cos 2х + cos 2 x = 5, cos 2х = 1, 2х = 2 πn , nϵZ , х = πn , nϵZ Ответ: πn , nϵZ ¼(1-cos2x) 2 +cos 2 2x=2, ¼(1-2cos2x+cos 2 2x)+cos 2 2x =2, 5cos 2 2x -2cos2x-7=0. Пусть cos2x = t, тогда 5 t 2 -2t-7=0, D=144, t 1= 1, 4 , t 2= -1 , cos2x = -1 X= π / 2 + πn , nϵZ

Слайд 10

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФОРМУЛ СЛОЖЕНИЯ И СЛЕДСТВИЙ ИЗ НИХ: sin х+ sin 3х+ sin 5х=0 cos 2 х +cos4 х –cos 3 х = 0 ( sin 5 X + sin х ) + sin 3х =0, 2 sin 3х cos 2х + sin 3х = 0, sin 3х (2 cos 2х+ 1) = 0, sin 3х = 0или2 cos 2х + 1 = 0 3х = πn , х = πn /3 , n ϵ Z или cos 2х = - 1/2, х = ± π /3 + πn , n ϵ Z Ответ: πn /3 , ± π /3 + πn , n ϵ Z . ( cos 4 х + cos 2 х ) –cos 3 х = 0 , 2cos 3 х cos х – cos 3 х = 0, cos 3 х (2cos х - 1) = 0, cos 3 х = 0 или 2cos х – 1 = 0; тогда х = π /6 + πn /3 или х =± π /3 + 2πn, n ϵ Z Ответ: х = π /6 + πn /3 , х =± π /3 + 2πn, n ϵ Z

Слайд 11

ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ: 7 sin 2 х = 8 sin х cos х - cos 2 x 6 sin 2 х + 3sinXcosX - 2 cos 2 x = 3 7 sin 2 х - 8sin X cos X + cos 2 x = 0, 7 tg 2 x - 8tgX + 1 = 0. Пусть tgX = t, тогда 7 t 2 – 8t + 1 = 0 D= 9, t 1= 1, t 2= 1/7 . tg X = 1, X =π /4 + πn , n ϵ Z. tg х = 1/7 , х = arctg 1/7+ πn , n ϵ Z Ответ : π /4 + πn , arctg 1/4+ πn , nϵ Z 3sin 2 х +3sinXcosX - 5cos 2 x = 0, 3 tg 2 x + 3 tgX – 5 = 0, D = 69, tgx = (√69-3)/6 , tgx = (√69+3)/6 , Ответ : X= arctg ( (√69-3)/6 ) + πn , n ϵ Z X = - arctg ( (√69+3)/6 ) + πn , n ϵ Z

Слайд 12

ПРИЕМЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ, ТРЕБУЮЩИХ ИСКУССТВЕННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Слайд 13

умножение обеих частей уравнения на одну и ту же тригонометрическую функцию cos 2X + cos 5X = 0,5 + cos 4X (* на cos X ) cos 2Xcos X + cos 5X cos X = 0,5 cos X + cos 4Xcos X cos 2X 2cos X + cos 5X2cos X = cos X + cos 4X2cos X 2cos Xcos 2X + 2cos Xcos 5X – 2cos Xcos 4X = cos X cos X + cos 3X + cos 6X + cos 4X–(cos 3X + cos 5X)–cos X = 0 cos 3X + cos 6X + cos 4X – cos 3X – cos 5X = 0 cos 6X – cos 5X + cos 4X = 0, 2cos 5Xcos X – cos 5X = 0, cos 5X (2cos X – 1 ) = 0 cos 5X = 0 или 2cos X – 1 = 0. X = π /10 + πn /5 , n ϵ Z ; X =π /3 + 2πn, n ϵ Z Ответ: X = π /10 + πn /5 , n ϵ Z ; X =π /3 + 2πn, n ϵ Z

Слайд 14

прибавление к обеим частям уравнения одного и того же числа, одной и той же тригонометрической функции 4 – 4cos 2X – 1 + cos 4X = 16 sin 6 x, 4–4cos2X + 2 cos 2 2 x - 1 -1 = 16 sin 6 x 2–4cos 2X + 2 cos 2 2 x = 16 sin 6 x , -2cos 2X + cos 2 2 x + 1 = 8sin 6 x , cos 2X ( cos 2X - 2 ) = 8 sin 6 x – 1 cos 2X ( cos 2X – 2 ) = ( 2 sin 2 x - 1 )( 4 sin 4 x + 2 sin 2 x + 1) cos 2X ( cos 2X – 2 ) = - cos 2X ( 4 sin 4 x + 2 sin 2 x + 1) cos 2X ( cos 2X – 2 ) + cos 2X( 4 sin 4 x + 2 sin 2 x + 1) = 0 cos 2X ( cos 2X – 2 + 4sin 4 x + 2sin 2 x + 1 ) = 0 cos 2 X = 0 или sin 4 x = 0. X = π /4 + πn /2 , n ϵ Z или X = πn , n ϵ Z Ответ: π /4 + πn /2 , n ϵ Z или πn , n ϵ Z

Слайд 15

тождественные преобразования одной из частей уравнения: sin 5 X =-1/4 sinX (sin 5X-sin3X ) + ( sin 3X-sin X ) + sin X = -1/4 sin X, 2cos 4Xsin X +2cos 2Xsin X + sin X + 1/4 sin X = 0 sin X ( 2cos 4X + 2cos 2X + 5/4 ) = 0. sin X= 0, X = πn , n ϵ Z или 2cos 4X +2cos 2X + 5/4 = 0, 2 ( 2 cos 2 2 x – 1 ) + 2cos 2X + 5/4 = 0, 4 cos 2 2 x + 2cos 2X – 2 + 5/4 = 0, 4 cos 2 2 x + 2cos 2X – 3/4 =0 16 cos 2 2 x + 8cos 2X -3 = 0. Пусть cos 2X= t, тогда 16 t 2 + 8t –3 = 0, D= 64, t 1 = 1/4, t 2 =-3/4 с os 2X = 1/4 , cos 2X = -3/4 . X = ± 0,5 arccos 1/4 + πn , n ϵ Z, X = ± 0,5 ( π - arccos 3/4 ) + πn /2 , n ϵ Z Ответ : X = πn , ± 0,5 arccos 1/4 + πn ; ± 0,5 ( π - arccos 3/4 ) + πn /2 , n ϵ Z

Слайд 16

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ