Сценарий внеурочного занятия по математике (в рамках предметной лаборатории) 7 класс «Инвариант»
план-конспект урока по алгебре (7 класс) на тему

Этап урока

Деятельность учителя

Деятельность ученика

УУД

1.Организационный этап. (1-2 мин.)

Цель: подготовить обучающихся к работе.

-Приветствие обучающихся; проверка их готовности к занятию. (Включение в деловой ритм.)

- Приветствуют учителя. (Подготовка класса к работе).               

Личностные:

-самоопределение; определять общие для всех правила поведения

Регулятивные: целеполагание.

Коммуникативные:

планирование учебного сотрудничества с учителем и одноклассниками.

2.Актуализация знаний(4-5 минут)

-Какая задача в математике называется нестандартной?

-«Нестандартные задачи» - это такие задачи, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения». Однако, следует заметить, что понятие «нестандартная задача» является относительным. Одна и та же задача может быть стандартной или нестандартной, в зависимости от того, знакомы ли мы со способами решения задач такого типа. Таким образом, нестандартная задача - это задача, алгоритм которой неизвестен, т.е. неизвестен ни способ её решения, ни то, на какой учебный материал опирается решение. А многие задачи требуют и специальных знаний, подготовки. К таким задачам относятся задачи на применения инвариантов, задачи на раскраски, четность и нечетность. Конечно, для успешного решения любой задачи нужно уметь думать, догадываться, но этого мало. Нужны знания и опыт в решении задач. Полезно владеть и определенными общими подходами к решению таких задач.

Решение каждой задачи должно быть шагом вперед в развитии математических знаний, умений и навыков, должно обогащать знания и опыт, учить ориентироваться в различных ситуациях.

-Что такое инвариант?
-ИНВАРИАНТ (от лат. invarians - неизменяющийся), в математике - величина, остающаяся неизменяемой при тех или иных преобразованиях.

- Например, разрезание и перестановка частей фигур не меняет суммарной площади.

- Приведите свои примеры.

-Отвечают на вопрос,  высказывают свое мнение.

-Приводят свои примеры (угол между прямыми,  число, набор чисел...)

Познавательные:

- ориентироваться в своей системе знаний (определять границы знания/незнания)

Коммуникативные:

-инициативное сотрудничество

-умение слушать собеседника

Личностные:  оценивание усваиваемого материала.

3. Постановка учебной задачи (1- 2 минуты)

- Какую же цель мы поставим перед собой на сегодняшнее занятие?

-Познакомиться с понятием "инвариант"; рассмотреть олимпиадные и нестандартные задачи, которые можно решить методом инвариантов.

- Значит сегодня перед нами стоит задача:

-Найти общие подходы при решении некоторых, нестандартных задач.

-Научиться ориентироваться в различных ситуациях при решении задач, используя метод инвариантов.

-Отвечают на вопрос,  высказывают свое мнение (формулируют цель, с помощью учителя ).

Регулятивные:

- определять и формулировать цель деятельности на уроке;

Коммуникативные:

-правильно выражать свои мысли

-умение слушать собеседника.

- умение вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении вопроса.

 Личностные

-устанавливать  связь между целью учебной деятельности и ее мотивом

-самоопределение

4. «Открытие нового знания» (7-8 минут)

- Задачи на инварианты  делятся на несколько типов по способу решения:

Задачи на чётность

Задачи на делимость.

Задачи с полуинвариантами.

Задачи с неклассифицированными инвариантами.

- Придумать инвариант должен ученик самостоятельно; обычно это вызывает затруднения. В качестве инварианта могут выступать самые разные величины: четность, сумма, произведение, остаток от деления и т.д.

Причем применение четности – одна из наиболее встречающихся идей при решении олимпиадных и нестандартных задач.

- Вспомним определения четного и нечетного числа. (Особое внимание надо уделить абстрактному понятию четности, объяснить, что такое “разная четность”. Например, число х =2 имеет ту же четность, что и число х (или оба четные, или оба нечетные), а при прибавлении единицы четность меняется.)

- Рассмотрим примеры:

Пример1.

Определите четность суммы чисел:1 +2 + 3 + … + 10

Пример 2.

 Определите четность суммы чисел: 5 + 7 + 9 + 11 +13 + 15 

 - Применение идеи четности и нечетности основано на двух важных  утверждениях (леммах):

Лемма 1. Четность суммы нескольких целых чисел совпадает с четностью количества нечетных слагаемых.

Лемма 2. Знак произведения нескольких (отличных от 0) чисел определяется четностью количества отрицательных сомножителей.

-А теперь рассмотрим пример решения задачи на четность.

Задача 1. На листе бумаги написано число 11. Шестнадцать учеников передают листок друг другу, и каждый прибавляет к числу или отнимает от него единицу – как хочет. Может ли в результате получиться число 0?

- Предлагаю  выполнить эту операцию (результат каждого хода записывается на доске).

-Какую закономерность вы заметили? (после каждого хода характер четности меняется: после первого ученика число становится четным, после второго нечетным; после третьего - четным; после четвертого – нечетным. Тогда после шестнадцатого число будет нечетным. Поэтому нуль в конце получиться не может.)

- Слушают учителя.

- Дают определения.

- Отвечают на вопрос (сумма нечетна, так как в сумме 5 нечетных слагаемых.)

- Отвечают на вопрос (четное, так как в сумме 6 нечетных слагаемых.)

- Слушают учителя.

- Выполняют задание.

- Отвечают на вопрос,  высказывают свое мнение. (после каждого хода характер четности меняется: после первого ученика число становится четным, после второго нечетным; после третьего - четным; после четвертого – нечетным. Тогда после шестнадцатого число будет нечетным. Поэтому нуль в конце получиться не может.)

-Оформляют решение в тетради.

Регулятивные :

- планировать свою деятельность для решения поставленной задачи и контролировать полученный результат.

Познавательные:

- уметь отличать новое от уже известного с помощью учителя; -  уметь добывать новые знания (находить ответы на вопросы, используя и информацию, полученную на уроке).

 Коммуникативные

– инициативное сотрудничество в поиске и выборе информации

- уметь оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других.

Личностные

-совершенствовать имеющиеся знания и умения.

5. Первичное закрепление (5-7 минут)

 Задача 2. На столе 6 стаканов, Из них 5 стоят правильно, а один перевернут вверх дном. Разрешается переворачивать одновременно 4 любых стакана. Можно ли все стаканы поставить правильно?

-Смоделируем ситуацию с помощью рисунка.

Задача 3. Существует ли замкнутая 7-звенная ломаная, которая пересекает каждое своё звено ровно 1 раз?

 Задача4. Можно ли разменять 25 советских рублей на 8 купюр в 1, 3 и 5 советских рублей?

-Отвечают на вопрос,  высказывают свое мнение. (Нет, так как в любом случае перевернутых вверх дном стаканов будет числом нечетным.) Оформляют решение в тетради. Наиболее подготовленный ученик работает у доски.

-Отвечают на вопрос,  высказывают свое мнение.( Нет, так как пересекающиеся звенья образовывали бы пары. А значит, количество звеньев должно быть чётным. Противоречие.)

-Отвечают на вопрос,  высказывают свое мнение.( Нет, нельзя. Достоинства всех купюр - нечетные числа, а сумма 8 нечетных чисел - четная. Поэтому она не может равняться 25.)

Регулятивные :

-работать по плану, инструкции;

Познавательные:

- структурировать знания,  

Коммуникативные:

-умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли;

6.Самостоятельная работа с проверкой по эталону.(6-8 минут)

1. На вешалке висят 20 платков. 17 девочек по очереди подходят к вешалке и либо снимают, либо вешают платок. Может ли после ухода девочек остаться ровно 10 платков?

2. В столовой стоят 50 стаканов, из них 25 — вверх дном. Сможет ли дежурный, переворачивая по 4 стакана, получить все стаканы стоящими правильно, то есть на донышке?

3. В ряд выписаны числа 1, 2, 3,..., 100. Можно менять местами любые два числа, между которыми стоит ровно одно. Можно ли получить ряд 100, 99, 98,..., 2, 1 ?

- Сравним свой результат с эталоном.

- Кто решил все задачи правильно?....2?...1?

- Какие трудности были при решении задач?

(Разбор задач, при решении которых учащиеся испытывали затруднения)

- Решают задачи.

- Сравнивают.

-Отвечают на вопросы.

Личностные

-самооценка своих действий;

-самоопределение

Регулятивные

 -  адекватно анализировать правильность выполнения действий и вносить необходимые коррективы.

Познавательные

 -ориентироваться в своей системе знаний (определять границы знания/незнания)

7.  Включение нового знания в систему знаний и повторение.

(7-8 минут)

- Решение задач у доски.

1. У марсиан бывает произвольное число рук. Однажды все марсиане взялись за руки так, что свободных рук не осталось. Докажите, что число марсиан, у которых нечётное число рук, чётно.

2.  В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли расставить между ними знаки + и -, чтобы получилось выражение, равное нулю?

3. На плоскости расположено 11 шестеренок, соединенных по цепочке (первая со второй, вторая с третьей ... 11-я с первой). Могут ли они вращаться одновременно?

(В случае затруднения, ход решения обсуждается фронтально)

- Наиболее подготовленные учащиеся работают у доски, остальные оформляют решение в тетради.

Регулятивные :

-уметь работать по

коллективно

составленному плану,

проговаривать  последовательность

действий

на уроке.

Познавательные:

-структурировать знания, выбор наиболее эффективных способов решения задач, умение осознанно и произвольно строить речевое высказывание, Коммуникативные:

-умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли;

Личностные:

 -совершенствовать имеющиеся знания и умения

8. Рефлексия деятельности. (1-2 мин.)

Закройте глаза. Подумайте  и ответьте себе мысленно  на  вопросы:

- Запомнил ли я что такое инвариант?

-Активно ли я работал на уроке?

 -Всё ли у меня  получалось?

Если вы уверенно ответили на все вопросы «да»,то поднимите две руки .

Если  вы ответили себе  мысленно «да, часто» поднимите одну руку.

Если вы ответили на вопросы «нет», не поднимайте руку.

(Учитель комментирует)

- Выполняют задание.

Регулятивные:

- совместно с учителем и одноклассниками давать оценку деятельности на уроке;

Коммуникативные:

-правильно выражать свои мысли; умение слушать собеседника.

Личностные:

-самооценка своих действий (давать позитивную самооценку результата учебной деятельности, понимать причины успеха учебной деятельности)

9. (Итог урока 1-2 минуты)

Цель: дать оценку  успешности достижения цели урока.

Цель: сообщить учащимся домашнее задание.

- Какую цель  мы ставили в начале урока?

- Получилось ли у нас реализовать ее?

- Какие этапы урока понравились?

- На каком из них испытывали трудности?

- Что надо знать для ликвидации затруднений?

- Спасибо за работу!

 - Отвечают на вопросы,  высказывают свое мнение.

Самостоятельная работа

1. На вешалке висят 20 платков. 17 девочек по очереди подходят к вешалке и либо снимают, либо вешают платок. Может ли после ухода девочек остаться ровно 10 платков?

2. В столовой стоят 50 стаканов, из них 25 — вверх дном. Сможет ли дежурный, переворачивая по 4 стакана, получить все стаканы стоящими правильно, то есть на донышке?

3. В ряд выписаны числа 1, 2, 3,..., 100. Можно менять местами любые два числа, между которыми стоит ровно одно. Можно ли получить ряд 100, 99, 98,..., 2, 1 ?

Решение задач у доски.

1. У марсиан бывает произвольное число рук. Однажды все марсиане взялись за руки так, что свободных рук не осталось. Докажите, что число марсиан, у которых нечётное число рук, чётно.

2.  В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли расставить между ними знаки + и -, чтобы получилось выражение, равное нулю?

3. На плоскости расположено 11 шестеренок, соединенных по цепочке (первая со второй, вторая с третьей ... 11-я с первой). Могут ли они вращаться одновременно?