Текстовые задачи и систематизация методов их решения
методическая разработка по алгебре (9, 10, 11 класс) на тему

ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет»

Институт педагогики и психологии

Приволжский межрегиональный центр повышения квалификации

и профессиональной переподготовки работников образования

Проектная работа

«Текстовые задачи и систематизация методов их решения »

            Выполнила:  Елена Павловна Егорова

                                               Слушатель курсов повышения

                                                    квалификации учителей математики

                                                    по проблеме  «Современные технологии, формы и методы подготовки к итоговой аттестации в формате ГИА и ЕГЭ»

                                                     Должность: учитель математики

                                            Место работы: МБОУ «Гимназия №3 ЗМР РТ»

                                                         Проектная работа допущена к защите

       Руководитель проектной работы: Гульсия Хабриевна Ахметшина

                                «11 апреля»  2014г.

г. Казань - 2014г

Оглавление.   

Постановка проблемы

Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития, глубины освоения учебного материала. Поэтому любой экзамен, проверка знаний содержит текстовую задачу. Но довольно часто встречаются случаи, когда учащиеся показывают, казалось бы, хорошие знания в области теории, знают все требуемые определения и теоремы, но запутываются при решении весьма несложных задач. Причин, конечно много. Встает вопрос, а можно ли научиться решать любые задачи? Конечно любые задачи научиться решать невозможно. Но если говорить о задачах, которые предлагаются в школьном курсе и на ЕГЭ и ОГЭ, то наверное каждый в принципе может научиться их решать. Для этого надо научиться такому подходу к задаче, при котором задача выступает как объект тщательного изучения, а ее решение - как объект конструирования и изобретения.

Цель проекта

изучить и обобщить различные способы решения текстовых задач алгебраическим и арифметическим способами по определенному алгоритму.

Задачи проекта

1. Рассмотреть основные типы задач, которые наиболее часто встречаются в ГИА 9-ых классов и ЕГЭ в 11-ых классов.
2. Рассмотреть  разнообразные задачи по мере увеличения их сложности, представить оформленное решение, необходимое при подготовке к экзаменам.
3. Рассмотреть способы решения текстовых задач и составить алгоритм для их решения.

Введение

Решение задач – это работа несколько необычная, а именно умственная работа. Чтобы научиться какой – либо работе, нужно предварительно хорошо изучить  тот материал, над которым придется работать, те инструменты, с помощью которых выполняется эта работа.

Значит, чтобы хорошо решать задачи, надо разобраться в том, что они собой представляют, как устроены, из каких составных частей состоят, каковы инструменты, с помощью которых производится решение задач.

Решение любой текстовой задачи состоит из двух совершенно различных частей: логической и математической. В разных задачах на первый план выходит или первая или вторая часть, гораздо реже – обе.  Наибольшую трудность для учащихся составляет первая часть, так как надо представить, что происходит и как это сформулировать на языке математики. Для этого необходим житейский опыт, умение логически мыслить, рассуждать, умение перевести происходящее на язык уравнений и неравенств. А это под силу не каждому.  Иногда задачи вызывают практически непреодолимые трудности, которые к математике не имеют никакого отношения, после преодоления которых они не кажутся неразрешимыми.

Вторая часть текстовых задач более понятна учащимся – это чисто математическая задача: решить полученные уравнения или неравенства. Затруднения здесь чаще всего возникают, если эта математическая задача им практически не встречалась в школьном учебнике. Это ситуация, когда число уравнений меньше числа неизвестных. Такие задачи делятся на два больших класса. В одних на «лишнее» неизвестное просто можно сократить или в задаче просят найти какое – то отношение, поэтому, если ввести это отношение в качестве переменной, то задача легко решится. Но не всякий школьник это сразу сообразит и будет решать дальше.  В задачах второго класса, как правило, надо из условий задачи найти какие – то дополнительные ограничения, которые сформулированы «не очень ясно». Это прежде всего задачи. В которых решение уравнения надо искать в целых или натуральных числах, что в обычной школе не изучается.

2.1. Текстовые задачи  и способы их решения.

2.1.1. Структура  процесса решения задач

Внимание текстовым задачам уделяется в основном только до 9 класса, затем экзамен – на этом работа в школе с ними заканчивается. Поэтому все методические пособия, содержащие решение текстовых задач, адресуются учащимся 5 – 9 классов. И  к 11 классу «хватка» уже потеряна. Поэтому, когда выпускников спрашивают, какие задачи вызывают у них затруднения, они единогласно отвечают, что текстовые и задачи с параметром. Для решения текстовых задач применяются три основных метода: арифметический, алгебраический и комбинированный. Рассмотрим каждый из этих методов.

Прежде выясним, в чем заключается процесс решения задачи.

Формулировка любой задачи состоит из нескольких утверждений и требований. Утверждения задачи называются условиями задачи. Первое что нужно сделать – это провести анализ задачи (это расчленить формулировку задачи на условия и требования). Результаты предварительного анализа задач надо зафиксировать, записать, т.е. сделать схематическую запись задачи.  Анализ задачи и построение ее схематической записи (первый и второй этап процесса решения задачи) необходимо сделать для того, чтобы найти способ ее решения. Когда способ решения задачи найден (третий этап), его нужно осуществить,  - это будет уже четвертый этап процесса решения – этап осуществления (изложения) решения.  После того как решение осуществлено и изложено, необходимо убедиться, что это решение правильное, что оно удовлетворяет всем требованиям задачи. Для этого производят проверку решения, что составляет пятый этап процесса решения. При решении многих задач, кроме проверки, необходимо еще произвести исследование задачи, а именно установить, при каких условиях задача имеет решение и при этом сколько различных решений в каждом отдельном случае.  Все это составляет шестой этап процесса решения.

Убедившись в правильности решения и, если нужно, произведя исследование задачи, необходимо сформулировать ответ задачи, - это будет седьмой этап процесса решения. Также полезно произвести анализ выполненного решения, в частности установить, нет ли другого, более рационального способа решения, нельзя ли задачу обобщить, какие выводы можно сделать из этого решения и т.д. все это составляет последний, но необязательный, восьмой этап решения.

И так процесс решения задачи можно разделить на восемь этапов:

1. Анализ задачи;
2. Схематическая запись;
3. Поиск способа решения задачи;
4. Осуществление решения задачи;
5. Проверка решения задачи;
6. Исследование задачи;
7. Формулирование ответа задачи;
8. Анализ решения задачи.

2.1.2 Способы решения текстовых задач.

В качестве основных в математике различают арифметические и алгебраические способы решения задач.

 При арифметическом способе ответ на вопрос задачи находится в результате выполнения арифметических действий над числами. Решение текстовой задачи арифметическим способом – это сложная деятельность.

 При алгебраическом способе ответ на вопрос задачи находится в результате составления и решения уравнения. В зависимости от выбора неизвестного для обозначения буквой, от хода рассуждений можно составить различные уравнения по одной и той же задаче. В этом случае можно говорить о различных алгебраических решениях этой задачи. Решение задач алгебраическим методом не подчиняется какой-либо единой, достаточно универсальной схеме. Поэтому всякое указание, относящееся ко всем задачам, носит самый общий характер. Задачи, которые возникают при решении практических и теоретических вопросов, имеют свои индивидуальные особенности. Поэтому их исследование и решение носят самый разнообразный характер.

2.1.3 Виды текстовых задач

Все арифметические задачи по числу действий, выполняемых для их решения, делятся на простые и составные.

Задача, для решения которой надо выполнить один раз арифметическое действие, называется простой.

Задача, для решения которой надо выполнить несколько действий называется составной. Составная задача включает в себя ряд простых задач, связанных между собой так, что искомые одних простых задач служат данными других. Решение составной задачи сводится к расчленению её на ряд простых задач и к последовательному их решению. Таким образом, для решения составной задачи надо установить систему связей между данными и искомыми, в соответствии с которой выбрать, а затем выполнить арифметические действия.  Запись решения составной задачи с помощью составления по ней выражения позволяет сосредоточиться  на логической стороне работы над задачей, видеть ход решения её в целом.

Среди всего многообразия задач можно выделить четыре большие группы

1. Задачи на движение.
2. Задачи на работу (на совместную работу).
3. Задачи на проценты и концентрацию.
4. Остальные...

2.2 Решение текстовых задач арифметическими и алгебраическими способами

2.2.1 Задачи на движение

Для  успешного решения задач на движение нужно твёрдо держать в голове:

 -    формулу - ключ:  s = v t;

-      рисовать картинки и составлять таблицы,

Полезно напоминать учащимся, что:  при одновременном движении пройденные расстояния прямо     пропорциональны скоростям: s 1 / s 2 = v 1 / v 2; при движении на одно расстояние - времена обратно пропорциональны скоростям: , t 1/ t 2 = v 2 / v 1 

При анализе условия задач на «движение» необходимо сразу выделять такие стандартные ситуации, как

• одновременное движение (встречное и в одном направлении);
• движение на одно расстояние;
• движение по течению или против течения реки;
• Задачи на движение протяженных тел;
• Задачи на движение по замкнутой трассе;
• Задачи на определение средней скорости движения.

Рассматривая классификацию задач на движение, необходимо отметить следующее. Различают простые и составные задачи на движение. Составные задачи на движение подразделяют на задачи на движение в одном направлении, задачи на сближение объектов, задачи на удаление объектов, задачи на движение по реке. В виду специфичности задач на движение для их решения удобно записывать данные условия в виде таблицы (скорость - время - расстояние) и использовать схемы, которые отражают процесс движения, а не отношения между величинами.

Отдельное внимание уделим решению составных задач на встречное движение и на противоположное движение.

После наглядного представления каждого из случаев необходимо использовать иллюстрации в виде чертежа, так как чертеж помогает правильно использовать, определять и представлять жизненную ситуацию, отраженную в задаче. При решении задач на  встречное движение очень важно понимать, что если два тела вышли одновременно навстречу друг другу, то до встречи они будут в пути одинаковое время и пройдут все расстояние.

При решении задач на  движение в противоположных направлениях необходимо помнить, что при таком движении расстояние между движущимися телами увеличивается.

Задачи на встречное движение двух тел.

Пусть движение первого тела характеризуется величинами s1, v1, t1; движение второго - s2, v2, t2. 

Формулы:  t1= t2= t встр.,   v сбл.= v1+ v2 ,    S= v сбл * tсбл..

Задачи на движение двух тел в одном направлении.

Среди них следует различать два типа задач:

1) движение начинается одновременно из разных пунктов;

2) движение начинается в разное время из одного пункта.

Формулы: v1 > v2,  v сбл.= v1- v2,     S = s1 - s2   и  S = v сбл * tвстр.

Задачи на движение двух тел в противоположных направлениях.

В таких задачах два тела могут начинать движение в противоположных направлениях из одной точки:

 1) одновременно;

 2) в разное время.

А могут начинать свое движение из двух разных точек, находящихся на заданном расстоянии, и в разное время.      Формулы: v удал. = v1+ v2,

Задачи на движение протяженных тел

В задачах на движение протяжных тел требуется определить длину одного из них. Наиболее типичные ситуации: определение длины поезда проезжающего мимо

• придорожного столба
• идущего параллельно путям пешехода
• лесополосы определенной длины
• другого двигающегося поезда

Если поезд движется мимо столба, то он проходит расстояние равное его длине.

Если поезд движется мимо протяженной лесополосы, то он проходит расстояние равное сумме длины самого поезда и лесополосы.

Задача 1 Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 30 секунд. Найти длину поезда в метрах.

Решение:

 Зная скорость движения v = 60 км/ч = 1000 м/мин и время, за которое он проезжает мимо столба  t = 30 сек. = 1/2 мин, можно найти длину поезда как пройденное расстояние s=v t=1000 * 1/2=500.

Ответ: 500м

Задача 2 Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 90 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которого 800 метрам, за 1 минуту. Найти длину поезда в метрах.

Решение:

Зная скорость движения v = 90 км/ч = 1500 м/мин и время, за которое он проезжает мимо лесополосы длиной 800 метров за  t = 1мин, можно найти длину поезда как пройденное расстояние s=v t=1500*1=1500 плюс длина лесополосы 800 метров и получим длину поезда равную 2300 метра.

Ответ: 2300 м

Задачи на движение по замкнутой трассе

Движение по замкнутой трассе (допустим по стадиону) похоже на движение вдогонку: если два бегуна начинают двигаться по окружности одновременно с разными скоростями  v1,  v2(v1 > v2  ),  то первый бегун приближается ко второму бегуну со скоростью v1 − v2 и в момент, когда первый бегун догоняет второго бегуна, то первый бегун как раз проходит на один круг больше второго. И поэтому время считается так: t = S : (v1-   v2 )

Задача  Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 16 км, в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч и через 40 минут после старта, он опережает второй автомобиль ровно на один круг. Найдите скорость второго автомобиля.

 Решение:

Примем скорость второго автомобиля за x км/ч и учтем, что 40 минут составляют 2/3 часа, тогда 16 : ( 80−x )= 2/3 , 160−2x = 48,   x=56.

Ответ: 56 км/ч.

Задачи на движение по воде.

Формулы:   vпо т.= vс  + vт.   ,  vпрот. т.=  vс  - vт     , vт.= vс  - vпрот. т.   ,  v т.= vпо т. – vс   ,

vт.= (vпо т  - vпрот. т.  ) : 2 ,  vс.= vпо т -  vт.   , vс.= vпрот. т +  vт, vс.= (vпо т. +  v прот. т) ) : 2

    Задача. Моторная лодка прошла против течения реки 112 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 11 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение: 

Х км/ч – скорость течения реки

Задачи на определение средней скорости движения.

Средняя скорость. Если S - путь пройденный телом, а t - время за которое этот путь пройден, то средняя скорость вычисляется по формуле:  v = s : t.

Если путь состоит из нескольких участков, то для нахождения средней скорости на всем пути, надо весь пройденный путь разделить на сумму времени, затраченного на каждый участок пути.

Задача. Первую треть трассы велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, вторую треть - со скоростью 16 км/ч, а последнюю треть - со скоростью 24 км/ч. Найдите среднюю скорость велосипедиста на протяжении всего пути.

Решение:

Пусть весь путь равен 3S, тогда первую треть трассы велосипедист проехал за время -2s:12, вторую треть  за время - s :16, последнюю треть за время -  s:24. Значит время потраченное на весь путь находится так t=t1+t2+t3=s:12+s:16+s:24=9s :48,и поэтому средняя скорость вычисляется так v=3s:9s48 = 16 км/ч          Ответ: 16 км/ч

1.Задача 
Если Аня идёт в школу пешком, а обратно едет на автобусе, то всего на дорогу она тратит 1,5 ч. Если же она едет на автобусе в оба конца, то весь путь у неё занимает 30 мин. Сколько времени потратит Аня на дорогу, если и в школу и из школы она будет идти пешком?
Решение:

            Путь в оба конца на автобусе занимает 30 мин, следовательно, путь в один конец   на автобусе займёт 15 мин. На дорогу в один конец пешком понадобится 1,5 ч - 15 мин, т.е. 1 ч 15 мин. Значит, на дорогу пешком в оба конца Аня тратит 2, 5 ч.

2. Задача. Три бегуна  — Антон, Серёжа и Толя  — участвуют в беге на 100 м. Когда Антон финишировал, Серёжа находился в десяти метрах позади него, а когда финишировал Серёжа  — Толя находился позади него в десяти метрах. На каком расстоянии друг от друга находились Толя и Антон, когда Антон финишировал? (Предполагается, что все мальчики бегут с постоянными, но, конечно, не равными скоростями.)

Решение:

            Поскольку скорость Толи составляет  9/10  от скорости Серёжи, то к моменту, когда финишировал Антон, Толя пробежал 9/10 расстояния, преодолённого Серёжей, т.е. 90* 9/10 = 81 м. Значит, к этому моменту Толя отставал от Антона на   (100 - 81) = 19 м.

Ответ: 19 м

4. Задача. Буратино сел в поезд. Проехав половину всего пути, он лёг спать и спал до тех пор, пока не осталось проехать половину того пути, который он проспал. Какую часть всего пути Буратино проехал бодрствующим?

Решение:

Обозначим через s отрезок пути, который Буратино проехал от того момента, как проснулся, до конца. Тогда путь, который Буратино проспал, составит 2s. Всего же от момента, как Буратино заснул, он проехал путь 2s + s = 3s. Но известно, что это  — половина всего пути. Значит, длина всего пути 6s. Поскольку же бодрствующим Буратино проехал путь 4s, то по отношению ко всему пути эта часть составит 4 s/ 6s = 2/3.

Ответ: 2/3 пути.

5. Задача. Расстояние между Атосом и Арамисом, скачущими по одной дороге, равно 20 лье. За час Атос покрывает 4 лье, а Арамис  — 5 лье. Какое расстояние будет между ними через час?

 Решение: 

      Эта задача допускает четыре разных ответа, которые зависят от расположения всадников в первый момент. Мушкетёры могли ехать: а) в разные стороны, навстречу друг другу; б) в разные стороны, удаляясь друг от друга; в) в одну сторону  — Атос за Арамисом; г) в одну сторону  — Арамис за Атосом. Соответственно и ответы: а) 11 лье; б) 29 лье; в) 21 лье; г) 19 лье.

Ответ: а) 11 лье; б) 29 лье; в) 21 лье; г) 19 лье.

Варианты решения типовых задач повышенной трудности.

1. Задача. Из пункта А по реке отправился плот. Одновременно навстречу ему из пункта В, расположенного ниже по течению относительно пункта А, отправляется катер. Встретив плот, катер сразу поворачивает и идет вниз по течению. Какую часть пути от А до В пройдет плот к моменту возвращения катера в пункт В, если скорость катера в стоячей воде в 4 раза больше скорости течения реки?

Решение:

1 способ. Очевидно v 2 / v 1 = (4 v – v) /  v = 3. К моменту встречи плот пройдет  ¼  часть пути от А до В. Обратный путь катер пройдет быстрее в отношении

 (4 v + v) / (4 v - v) = 5/3. А плот проплывет за это же время 3/5 первоначального пути:

3/5 * ¼ * АВ = 3/20 * АВ. Всего плот пройдет расстояние: 1/4АВ + 3/20АВ = 2/5АВ,т.е. 2/5 всего пути от А до В.

2 способ.  Пусть время, необходимое плоту на весь путь от А до В равен  1. Тогда катеру, на путь от В до А потребуется 1/3, а обратно уже 1/5, в сумме 1/3 + 1/5 = 8/15 всего времени плота. Катер за все время проплыл  ¾  всего пути туда и обратно между А и В, значит катер затратит 8/15 * ¾ = 2/5полного времени плота из А в В. Так как движение было одновременным, то плот за то же время проплыл 2/5 всего пути.

Ответ: 2/5.

 2.2.2 Задачи  на проценты

Задачи на проценты решаются путём составления пропорции. Напомним, что пропорция — это равенство двух отношений:

это  разная форма записи.

Основное правило пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних:

то есть a*b=c*d

Если какая-либо величина в пропорции неизвестна, ее можно найти именно по этому правилу. например, из пропорции:

Для кого-то будет удобным следующее правило. Его ещё называют «правило креста». Название этого правила исходит от пересечения диагоналей, они образуют крест:

Кроме того, можно обойтись без этого правила, и решать пропорцию как простое линейное уравнение:

Как видим результат тот же. Или  такую пропорцию:

Для решения используйте тот способ, который вам удобен. Чтобы составить пропорцию при решении задач на проценты, необходимо установить некоторое соответствие между процентами и количеством чего-либо. По приведенным ниже примерам вы поймёте, что это значит.

Задача на проценты и покупки. До распродажи брюки стоили дешевле пиджака на 60% и дороже рубашки на 300%. В период распродажи цена пиджака снизилась на 20%, а цена брюк – на 25%. Витя купил пиджак и брюки во время распродажи. Сколько рубашек он мог купить на ту же сумму, если цена рубашки не изменилась?

Брюки+пиджак= ? рубашек

Составим уравнение:

2,25x+3,84x=nx, n – количество рубашек

6,09x=nx

N = 6 то есть 6 рубашек.

Задача на проценты и покупки. Яблоки подешевели на 20%. Сколько яблок можно теперь купить на те же деньги, на которые раньше покупали 2,8 кг?

Составим уравнение и решим его:

X=3,5 кг

Для решения задач базового уровня можно применять пропорцию для быстрого и более простого решения.

2.2.3. Задачи на работу

В задачах на работу речь идёт о какой-то деятельности. Трубы заполняют бассейн, комбайнёры убирают урожай, строители строят дом и так далее. В таких задачах всегда обыгрывается один и тот же набор величин. Величины связаны между собой и образуют формулу-ключ.

Первая величина в задачах на работу – время. Параметр простой и привычный. Это время, за которое выполняется та или иная работа.

Вторая величина - объём работы. Параметр, описывающий, сколько сделано деталей, налито воды, вспахано полей и так далее. Измеряется, соответственно, в тех единицах, о которых идёт речь в задаче. В деталях, литрах, полях и т.д.

Третья величина  - производительность. По сути, это просто скорость работы.

Скорость любой работы (т.е. производительность) можно определить, как объём работы, сделанной за какое-то время. За единицу времени. (например: литры за час, табуретки за день, пирожки за минуту... )

Тогда получается формула для производительности:

Это и есть формула-ключ для решения любых задач на работу. Она  очень похожа на формулу скорости в задачах на движение.  В простых задачах на работу необходимо начинать с определения величин, входящих в формулу-ключ. Надо попытаться из условия задачи найти производительность, объём, время. Обычно  этот первый шаг проясняет весь ход решения.  В задачах “на совместный труд”, также используются величины: объём  работы (если он неизвестен и не является искомым, то принимается за 1); время выполнения работы; скорость выполнения работы (производительность труда, т.е. объём работы, выполняемый за единицу времени).

Для решения таких задач необходимо:

1) Определить скорость работы (производительность труда) каждого объекта  v1; v2; v3 …

2) Определить общую скорость выполнения работы  vобщ.= v1 + v2 +…

3) Найти общее время совместной работы.   

В задачах на совместный труд объём работы может быть известен, а может быть и нет. При составлении графических схем приходим к выводу, что схемы задач на производительность труда похожи на схемы задач на движение, в которых также участвуют три величины:  υ;  t;  S. Таким образом, задачи на производительность труда и задачи на движение укладываются в одну схему:

ЦЕЛОЕ = МЕРКА КОЛИЧЕСТВО МЕРОК

В роли целого может выступать объём работы или расстояние. В качестве мерки – скорость движения или скорость работы (производительность труда). Третьим составляющим является время – количество мерок.

Задача на совместную работу. Четыре бригады должны разгрузить вагон с продуктами. Вторая, третья и четвертая бригады вместе могут выполнить эту работу за 4 час, первая, третья и четвертая – за 3 часа. Если же будут работать только первая и вторая бригады, то вагон будет разгружен за 6 часов. За какое время могут разгрузить вагон все четыре бригады, работая вместе?

Составим краткое условие:

Составим систему уравнений:  

Ответ:  Все четыре бригады выполнят работу за 2 час и 40 минут.

Для решения задач на совместную работу необходимо знать производительность каждого участника задачи и уметь находить эту производительность.

2.2.4.  Задачи на концентрацию.

Достаточно часто на экзамене предлагаются задачи на концентрацию, смеси, сплавы. Эти задачи вызывают трудности, связанные с нечетким пониманием химических процессов. Необходимо иметь в виду, что в задачах такого рода, предлагаемых на ОГЭ и ЕГЭ по математике, никаких химических процессов, влияющих на количественные соотношения задачи, не происходит.

Решать их можно разными способами. При решении задач на растворы с разными концентрациями чаще всего применяют диагональную схему правила смешении. При расчетах записывают одну над другой массовые доли растворенного вещества в исходных растворах, справа между ними – его массовую долю в растворе, который нужно приготовить, и вычитают по диагонали из большего меньшее значение. Разности их вычитаний показывают массовые доли для первого и второго растворов, необходимые для приготовления нужного раствора.

Задача на растворы:  Один раствор содержит 20% кислот, а второй – 70% кислот. Сколько литров первого и второго раствора нужно взять, чтобы получить 100 л раствора с 50%-ным содержанием кислот?

Составим краткую запись:

Было:

20-ти % раствор - ? литров

70-ти % раствор - ?литров

Получили:

50-ти % раствор – 100 литров

Первый способ (алгебраический):

Решение: Пусть объем 20-ти %  раствора V=X литров,

тогда объем 70-ти % раствора V =(100-X) литров

Составим уравнение и решим его:

0,2X+0,7(100-X)=0.5*100

X=40 (литров) первого раствора

100-40=60(литров) второго раствора

Используем условие и краткую запись предыдущей задачи

Второй способ (арифметический):

Используем метод креста из курса химии.

70                             20

                 50

30                             20

Объемы искомых веществ относятся как 2 к 3

Объем всего полученного раствора = 100 литров, который составляет 5 частей

Следовательно, V первого =40 литров ,а

Vвторого=60литров.

Таким образом текстовые задачи можно решать как алгебраическим, так и арифметическим способом. Каждый ученик должен выбрать самостоятельно тот способ, который более близок и понятен ему или который дает более рациональное решение.

2.2.4. Примеры задач ОГЭ и ЕГЭ

Задачи В1.

1. Теплоход рассчитан на 750 пассажиров и 25 членов команды. Каждая спасательная шлюпка может вместить 70 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы в случае необходимости в них можно было разместить всех пассажиров и всех членов команды?                                                                     2. Шариковая ручка стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 900 рублей после повышения цены на 10%?

3. Цена на электрический чайник была повышена на 16% и составила 3480 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?

4. Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. После удержания налога на доходы Марья Константиновна получила 9570 рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Марьи Константиновны?                                                                      

 5. В городе N живет 200000 жителей. Среди них 15% детей и подростков. Среди взрослых 45% не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т.п.). Сколько взрослых жителей работает?  

Задачи В13 (на движение)

1. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 50 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт  В на 4 часа позже автомобилиста. Ответ дайте в   км/ч.                                                                                  
2. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 70 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.                                                                                                                                      
3.  Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.                                                                          
4. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 200 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 40 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.                                                        
5.  Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 200 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 40 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.                                                        
6. Баржа в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В 1 час 20 минут, баржа отправилась назад и вернулась в пункт А в 16:00. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна 7 км/ч.    
7.  Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.                                                                                    
8. Часы со стрелками показывают 8 часов 00 минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?                                                                                Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 20 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолете со скоростью 480 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
9.  Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 65 км/ч, проезжает мимо идущего в том же направлении параллельно путям со скоростью 5 км/ч пешехода за 30 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Задачи В13 (на работу)

1. Резервуар наполняется двумя насосами за 7,5 часов. Если включить только первый насос, то бассейн наполнится на 8 часов быстрее, чем при включении только второго насоса. За сколько часов заполняет резервуар второй насос?
2. Заказ на 110 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 1 деталь больше?
3. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за три дня?
4. Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 99 литров?

Задача В13. (на проценты, сплавы, растворы)

1. В 2008 году в городском квартале проживало 40000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 8%, а в 2010 году — на 9% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?
2. В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов.  В результате они стали стоить на 4 % дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?
3. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20000 рублей, через два года был продан за 15842 рублей.
4. Четыре рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять рубашек дороже куртки?
5. Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
6. В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
7. Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
8.  Виноград содержит 90% влаги, а изюм — 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 20 килограммов изюма?
9.  Имеется два сплава. Первый сплав содержит 105 % никеля, второй —

30 % никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

3.Сложности при решении текстовых задач и пути их решения.

Заключение

В результате проведенных исследований удалось доказать правдивость гипотезы, что текстовые задачи можно решить алгебраическими и арифметическими способами по определенному алгоритму. Для того чтобы научиться решать задачи, надо приобрести опыт их решения путем многократного повторения операций, действий, составляющих предмет изучения. Редкие ученики самостоятельно приобретают такой опыт. Долг учителя - помочь учащимся приобрести опыт решения задач, научить их решать задачи. Помощь учителя не должна быть чрезмерной, но и не быть слишком малой.  Причем для решения задач базового уровня необходимо применять простейшие пропорции, а для решения более сложных задач необходимо использовать уравнения, а также в задачах повышенного уровня сложности необходимо использовать смешенное решение с применением, как уравнения, так и пропорции. Материалы работы могут быть использованы для подготовки к государственной итоговой аттестации как выпускниками 9-х, 11-х классов, так и учителями на уроках, факультативах, индивидуальных консультациях.

Литература

1. Бунимович Е.А., Кузнецова Л.В. и др. Экзамен в новой форме. Математика 2013: тренировочные варианты экзаменационных работ для проведения государственной итоговой аттестации в новой форме.-М.:АСТ:Астрель,2013.-94с.
2. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи, Москва «Просвящение» 1984. - 175.,ил.
3. Лаппо Л.Д., Попов М.А. ГИА, 9 класс. Математика. Тематические тестовые задания.  -М.: Издательство «Экзамен»,  2013.-80с.
4. Семенов А.В., Трепалин А.С. и др. Государственная итоговая аттестация выпускников 9 классов в новой форме: математика  2013.-М.:Интеллект-Центр, 2013.-88с.
5. Шевкин А.В. Материалы курса «Обучение решению текстовых задач в 5-6 классах»: Методическое пособие для учителя. – 3-е изд., дораб. – М.: ООО «ТИД «Русское слово»-РС,2001.-208с.: ил.
6. Ресурсы Internet:   http://www.art-con.ru/node/3649.  Методика решения задач на растворы с применением правила креста; http://www.bibliofond.ru/view.aspx?id=6032; Схематическое моделирование при обучении решению задач на движение; http://www.6yket.ru/index.html.  Методика обучения школьников приемам решения текстовых арифметических задач; http://www.egesdam.ru/page242.php.  Задачи на работу