Методы решения текстовых задач
методическая разработка по алгебре (6 класс) по теме

Методы и приёмы, способствующие формированию умения решать

                  текстовые задачи в 5-6 классах.

       1. Решение задач арифметическими методами.

     Решение текстовых задач арифметическим путём – важное средство, с помощью которого можно научить способам рассуждений, выбору стратегии решения, анализу ситуации, т. е. развивать мышление учащихся.

  При формировании умения решать задачи арифметическими методами необходимо организовать работу с учащимися следующим образом.

1. Учащимся надо дать возможность понять ситуацию, описываемую в задаче, осознать и запомнить её содержание. Для этого следует обязательно поработать с текстом задачи, т.е.

- прочитать вслух формулировку,

-выяснить понимание терминов и оборотов речи,

-при необходимости пересказать условие,

-придумать способ представления условия в виде рисунка, схемы или модели.

II.          Важно добиться, чтобы учащиеся поняли ход рассуждения. Для этого надо:

            - в качестве опоры для рассуждений использовать рисунок, графическую

               иллюстрацию условия, реальные действия с величинами,

             - прибегнуть при необходимости к переформулировке условия задачи,

             - научить ставить вопросы и давать развёрнутые ответы,

             - при рассмотрении нового вида задач обязательно записать полное решение хотя

                 бы одной из них, чтобы учащиеся могли воспользоваться им в качестве образца.

3. Овладев приёмом, учащийся может выбрать любой удобный для себя способ

решения. Если в классе в ходе рассуждений учащиеся предложили несколько способов решений одной и той же задачи, то это надо поощрять, ведь важно активное участие каждого ученика в процессе решения.

Приведу примеры из моей практики.

 Задача 2.1.1. На двух полках 84 книги, причём на второй полке на 12 книг больше, чем на первой. Сколько книг на каждой полке?

Ученики предложили четыре способа её решения.

I способ. (рис.13)

1) 84-12=72(книги)-удвоенное число книг на первой полке;

2) 72:2=36(книг)- на первой полке;

3) 36+12=48 (книг)-на второй полке.

II способ. (рис.13):

1. 84+12=96 (книг)-удвоенное число книг на второй полке;
2. 96:2=48 (книг)-на второй полке;
3. 48-12=36 –на первой полке.

          I полка

                                                                                                           12 кн.                 84 книги

         II полка

                                                         Рис.13

            I полка                                                                            6кн.

                                                                                                                     6кн.          84 книги

           II полка

                                                      Рис.14                                                        12 кн.

III способ.(рис.14)

1. 84:2=42 (книги)-на каждой полке, если все книги расположить на каждой полке

       поровну;

2. 12:2=6 (книг)-нужно переложить;
3. 42+6=48 (книг)-было первоначально на второй полке;
4. 42-6=36 (книг) –было первоначально на первой полке.

IV способ.

Предположим, что на первой полке 20 книг, тогда на второй полке 20+12=32 (книги). Но в этом случае на обеих полках было бы только 32+20=52 (книги). А в условии сказано, что всего было 84 книги и, следовательно, не хватает 84-52=32 (книги). Значит, надо добавить на каждую полку по 16 книг. Тогда на одной полке будет 36 книг, а на другой – 48 книг.

Когда ученикам была предложена задача на движение по реке, она была решена аналогичным способом.

Задача 2.1.2.Скорость катера по течению реки 22 км/ч, а против течения – 18 км/ч. Найдите: а)скорость течения реки; б) собственную скорость катера.

                                                       скорость        по течению

                          собственная скорость                                  скорость течения

                            собственная          скорость

           скорость против течения           скорость течения

                                                рис.15

Прочитав условие, учащиеся изобразили схему (рис.15) и записали решение:

1. 22-18=4(км/ч)-удвоенная скорость течения реки
2. 4:2=2 (км/ч)- скорость течения реки;
3. 18+2=20 (км/ч) –собственная скорость катера.

                                                  2. Обратные задачи.

     Обратные задачи являются средством развития мыслительных операций, необходимых для решения задач. Кроме того, составление и решение обратных задач - это критерий развития творческого мышления ученика, один из путей саморазвития ума.

Для того, чтобы ученик осознанно применял схему решения задачи, приведённую выше, и не испытывал затруднений при анализе и составлении плана решения, необходимо, чтобы он ясно представлял себе взаимосвязи между величинами, которые присутствуют в решаемой задаче. О месте обратных задач при обучении математике было описано Эрдниевым П.М. и Эрдниевым Б.П. в книге «Укрупнение дидактических единиц», 1986г. В своём исследовании они отмечали, что для того, чтобы ученики научились составлять обратные задачи необходимо, чтобы в условие исходной задачи вводился её ответ, а некоторые числа из условия переводились бы в разряд искомых.

Например ученикам предлагаю сначала решить задачу

Задача №2.2.1. (№72 Математика-5 Виленкин Н.Я.,2006)

   Геологи 4 ч летели на вертолёте со скоростью 80км/ч, а затем ехали верхом на лошадях 2 ч со скоростью 12 км/ч. Какой путь проделали геологи за это время?

Ученики составляют схему к задаче в виде таблицы.

Решение прямой задачи:

1)80∙4=320 (км) –на вертолёте

2)12∙2=24 (км) – на лошадях верхом

3) 320 +24 = 344(км)-весь путь.

Дальше составляем обратную задачу опираясь на таблицу, заменяя известные величины на неизвестные.

Составив схему к обратной задаче , ученики составляют формулируют саму задачу.

Возможна и другая схема:

:

Можно сформулировать к этой схеме следующий вопрос:

Сколько времени они путешествовали?

На доске и в тетрадях схемы и решения прямой и обратной задачи обычно записываем рядом, параллельно.

    При составлении обратных задач и их решении ученики проявляют интерес. Так как при этом ученики самостоятельно перестраивают суждения и умозаключения, использованные при решении прямой задачи. При этом им помогает параллельная запись прямой и обратной задачи, а также схема, в которой ученики сами устанавливают прямые и обратные связи. Учащиеся овладевают практически как новыми связями между известными им мыслями, так и новыми, более сложными формами рассуждений.

 Я согласна с авторами этой книги, что «…умение решать прямую и обратные задачи являются важными критериями достигнутой учеником глубины понимания изучаемого раздела математики. Составление и решение обратных задач достаточно простой и удобный критерий развития творческого мышления, как один из путей саморазвития ума учащегося».

                                    3. Составление подзадач динамического характера.

Для того, чтобы у учеников сформировались умения по решению задач определённого типа (задач на движение, работу, стоимость и др.) в своей практике я использую приём составления подзадач динамического характера.

  Выбрав одну задачу в качестве основной, можно составить различные подзадачи.

(Приложение №2.1. Подзадачи динамического характера.)

Например,

1. Подобрать новые вопросы (требования) к условию задачи;
2. В соответствии с требованием исходной задачи подобрать её новое условие;
3. Используя решение исходной задачи, составить более общую задачу;
4. Сформулировать вопросы, которые раскрывают частные случаи исходной задачи;
5. Составить задачу, которая решалась бы различными способами.

Таким образом, с учётом вышеуказанных пожеланий любая задача может быть преобразована в задачу динамического характера. При этом вполне возможно придать её различные степени сложности и трудности в зависимости от того, какой группе учащихся она предназначена.

 Методическую обработку задач можно вести в несколько этапов.

Первый этап. Выбранная задача анализируется с точки зрения её доступности для самостоятельного решения учащимися Облегчить поиск решения можно с помощью различных эвристических приёмов. Учитель должен специально организовать наблюдения учащихся, предложив серию взаимосвязанных задач (т.е. динамические подзадачи). Решения этих подзадач должны указать некоторый путь решения данной задачи.

Второй этап. На основе произведённого анализа первоначальная задача детализируется. Учащимся предлагается не сразу приступать к решению, а сначала рассмотреть серию подготовительных заданий, которые даны ниже. (Можно включить в эту серию и исходную задачу).

Ученики приступают к решению этих подзадач, выбрав любую из них. В процессе решения они должны увидеть, что решив эти подзадачи, можно решить и исходную задачу.

Если с этими задачами учащиеся не справляются, то целесообразно предложить более простые подзадачи.

Третий этап. Подзадачи должны учитывать разную степень подготовленности учащихся. Поэтому желательно предусмотреть несколько вариантов подзадач. Один (вариант А) для менее подготовленных учеников, которые нуждаются в подробных подсказках. Другой (вариант В) – для учеников, предпочитающих получить помощь, оставляющую простор для собственного творчества. Третий (вариант С) – для учеников, нуждающихся не в помощи, а в раскрытии перспектив применения тех методов, которые использовались в рассмотренном задании. Приведу примеры динамических подзадач трёх вариантов.

   Как видим, сама структура задач динамического характера способствует активизации мышления учащихся. Эти задачи можно рассматривать, как одно из средств для формирования элементов исследовательской деятельности: умения целенаправленно наблюдать, сравнивать, обобщать, выделять из целого его части и из частей составлять целое. Решение задач динамического характера можно организовать по трём вариантам в соответствии с тем, как много подсказано учащимся, чтобы навести их на открытие. Это обстоятельство позволяет сделать обучение более дифференцированным.

                                        4. Составление задач учащимися.

      О полезности составления своих собственных задач отмечал в своих трудах Эрн Э.Ф. ещё в 1915 году: «…составление задач самими учениками с самых простых и кончая довольно сложными, могло бы внести в преподавание арифметики живительную силу, возбуждая у учащихся интерес к предмету и давая им возможность проявлять и в области арифметики свои способности к творчеству.» Думаю, что формирование у учащихся составлять собственные задачи начинать можно сразу же после решения нескольких задач, на изучаемое действие, так чтобы решение и составление задач велось бы параллельно. При этом в начале учащиеся могли бы составлять не всю задачу, а лишь дополнять недостающие элементы. Например:

1) К данному условию и численным значениям придумать вопрос:

2)К данному условию и вопросу придумать численные значения.

3) К данному вопросу и численным значениям данных придумать условие:

4) к данному условию придумать численные значения данных и вопрос.

5) К данному вопросу придумать условие и численные значения.

6) К данным численным значениям придумать условие и вопрос:

  Затем ученикам можно предложить составить простые задачи полностью, причём, ребятам надо дать полную свободу в выборе материала для задачи, или указать ту область, материал которой должен быть взят. А потом можно перейти к составлению сложных задач. В учебнике Виленкина Н.Я. предусмотрены задания такого типа:

№219 Составить задачу , которая решается с помощью выражения:

А)120+35    Б)80+25+60    В)140-50     Г)90-20-45

Ученикам, в качестве творческого задания можно предложить составить не только задачу, но и рисунок к ней, который бы выражал условие задачи (Приложение№2).

 Придумывая задачу, ученики вынуждаются пользоваться не фантастическими комбинациями, а брать реальный материал. Причём, составляя задачи, дети обращаются к газетам, журналам, справочной литературе. (Приложение №2.2,Приложение №3. Задача-сказка, составленная учеником 5 класса)

Весь процесс составления новых задач состоит из следующих этапов:

1. Выбор темы и определение вопроса задачи;
2. Выбор жизненного материала для задачи;
3. Подбор числового материала;
4. Установление связи между искомыми и данными;
5. Словесная формулировка задачи.

                     5. Решение задач с помощью уравнений.

 Многие задачи в 5, 6 классах учащиеся решают с помощью уравнений. От учеников при этом требуется выявить  все величины, участвующие в задаче, отделить известные от неизвестных, установить зависимость между ними, выбрать одну из них для составления уравнения..

  Один из приёмов обучения решению задач с помощью составления уравнений описывает А.А.Окунев в своей книге «Спасибо за урок, дети!» Этот приём мною используется в работе с учениками. Он состоит из трёх этапов:

1. Распознавание величин, участвующих в задаче;
2. Установление зависимостей между величинами;
3. Записывание одной величины через другую.

Умение выполнять два первых этапа также необходимы и при решении задач арифметическим способом.  

Задача 2.5.1. (Виленкин Н.Я. 5 кл.№566)Для школы купили220 столов и стульев. Причём стульев – в 9 раз больше, чем столов сколько столов и сколько стульев купили?

Ученики читают условие задачи и устанавливают, что:

1. В условие задачи входят величины:

   Количество столов, количество стульев, общее количество столов и стульев.

2. Количество стульев в 9 раз больше, чем столов. Количество столов принимаем за х. тогда количество стульев – 9х.

3. 220 – сумма величин, так как в первой фразе говорится, что купили 220 столов и стульев.

Затем составляется схема к задаче:

               Столы                                               х

   220     Стулья – в 9 раз больше                   9х

Затем составляем схему уравнения:

                                                   +                                           = 220  

                                                      +                                          =220

   Этот способ решения задачи с помощью уравнения учит школьников видеть величины, данные в условии задачи, и вскрывать связи между ними. Кроме того, способствует формированию у учащихся обобщённых видов познавательной деятельности, позволяющих им самостоятельно и успешно анализировать новые частные случаи без дополнительного обучения.

  Если задача более сложная, то мною используется другой приём решения задач с помощью уравнения: составление таблицы с указанием значения известных величин, введения неизвестных, и выражение неизвестных величин через буквенное значение.

Методической основой обучения учащихся является следующий обобщённый приём аналитического поиска решения текстовой задачи, который был описан частично выше. Он состоит в следующем:

I.Выполнить анализ задачи, выявив:

   а) название величин, содержащихся в задаче;

     б) функциональную связь между этими величинами, т.е. основное отношение,

         реализованное в задаче;

     в) количество заданных ситуаций (элементов), имеющихся в задаче;

     г) известные и неизвестные величины в каждой задачной ситуации;

     д) связь между соответствующими величинами;

     е) искомую (искомые) величину.

II. Оформить ( с учётом основного отношения и числа задачных ситуаций, элементов)  

    табличную запись данных и неизвестных величин в каждой ситуации и сравнить между

    собой соответствующие значения неизвестных величин,  используя знаки равенства,

    арифметических действий.

Ш. На основе табличной записи текста задачи построить таблицу (модель) поиска решения задачи, для этого:

а) записать обозначение искомой (например х) или другой неизвестной величины в зависимости от выбранной стратегии поиска решения задачи;

б) использовать установленные зависимости между значениями соответствующих неизвестных величин и основное отношение, реализованное в задаче.

IV. Выписать, пользуясь моделью поиска, полученное уравнение, являющееся основой для получения уравнения.

V. Поиск решения задачи закончить и перейти к решению полученного уравнения.

VI. Решив уравнение, ответить на вопрос задачи, записать ответ.

Задача 21 Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух посёлков, расстояние между которыми 76 км. Через 2 ч они встретились. Какова скорость каждого велосипедиста, если известно, что скорость одного из них на 3 км/ч меньше скорости другого?

В результате исследования, описанного выше составляем таблицу:

Уравнение: 2х+2(х-3) = 76

Решив данное уравнение, обратившись к вопросу задачи, найдём скорости велосипедистов, запишем ответ к задаче.

                                              СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Виленкин Н.Я. и др. Математика. 5, 6 кл. Учебник для общеобразовательных учреждений.-М.:Мнемозина, 2006.
2. Григорьева Т.П., Иванова Т.А. Основы технологии развивающего обучения математике.- Нижний Новгород, 1997.
3. Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф. Математика.5 кл. Учебник для общеобразовательных учреждений.-М.: Просвещение,1994.
4. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика, 5 кл.Учебник.- М.: Ювента,2005.
5. Зайкин М.И.,. Арюткина С.В. Хрестоматия по методике математики: Обучение через задачи: Пособие для студентов, аспирантов и преподавателей математических специальностей педагогических вузов, учителей математики общеобразовательных учреждений. Арзамас: АГПИ, 2005.
6. Закон Российской Федерации об образовании. 4 издание.- М: Дрофа,2004.
7. Зубарева И.И. Ещё раз о процентах // Математика в школе.-2006.-№10
8. Климченко Д.В. Задачи по математике для любознательных. Книга для учащихся 5-6 классов средней школы. – М.: Просвещение,1992
9. Окунев А.А. Спасибо за урок, дети! Книга для учителя.-М.: Просвещение, 1988.
10. Олехних С.Н. Старинные занимательные задачи. М.: Наука,1985.
11. Педагогический энциклопедический словарь. М.: Научное издательство «Большая российская энциклопедия», 2002.
12. Пойя Д. Как решать задачу. Львов, журнал «Квантор»,1991.
13. Сборник нормативных документов, федеральный государственный стандарт. Федеральный учебный план. Математика.-М.: Дрофа, 2004.
14. Слепкань З.И. Психолого-педагогические основы обучения математике. Методическое пособие. –Киев: Радянська школа,1983
15. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н.  Как научиться решать задачи. Книга для учащихся., М.: Просвещение,1984.
16. Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе.Учителю математики о педагогической психологии. М.% Просвещение,1983
17. Шеврин Л.Н. и др. Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. М.: Просвещение,1989.

Количество столов

Количество стульев

9х

х