Методы решения текстовых задач
методическая разработка по алгебре (8 класс) на тему

 Методы решения текстовых задач


Содержание

1. Введение……………………………………………………………………2
2. Задачи на движение………………………………………………………..3
3. Задачи «на работу»………………………………………………………...6
4. Заключение………………………………………………………………..20

5. Список литературы………………………………………………………..20

Текстовые задачи на составление уравнений

1. Введение

Текстовые задачи являются традиционным разделом на вступительных экзаменах. Как правило, основная трудность при решении текстовой задачи состоит в переводе её условий на математический язык уравнений. Общего способа такого перевода не существует. Однако многие задачи на вступительных экзаменах, достаточно типичны.

Для начала узнаем, что такое задача:

1. Задача – это требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь или учитывая те условия, которые в ней указаны.
2. Любая задача состоит из трёх частей: условие, объект, требование (вопрос) задачи.
3. Приступая к решению какой-либо задачи, надо её внимательно изучить, установить, в чем состоят её требования, каковы условия, исходя из которых надо её решать. Всё это называется анализом задачи.

Весь процесс решения задачи можно разделить на восемь этапов:

1-й этап: анализ;

2-й этап: схематическая запись;

3-й этап: поиск способа решения;

4-й этап: осуществление решения:

5-й этап: проверка решения;

6-й этап: исследование задачи;

7-й этап: формулировка ответа;

8-й этап: анализ решения.

Стандартная схема решения таких задач включает в себя:

1.Выбор и обозначение неизвестных.

2.Составление уравнений (возможно неравенств) с использованием неизвестных и всех условий задачи.

3.Решение полученных уравнений (неравенств).

4.Отбор решений по смыслу задачи.

Задачи на движение

В задачах на движение используются обычно формулы, выражающие законы равномерного движения: S=V·t , где S- пройденное расстояние, V- скорость равномерного движения, t - время движения.

При составлении уравнений в таких задачах часто бывает удобно прибегнуть к геометрической иллюстрации процесса движения: путь изображается в виде отрезка прямой, место встречи движущихся с разных сторон объектов точкой на отрезке и т.д.

Часто для усложнения задачи её условие формулируется в различных единицах измерения(метры, километры, часы, минуты и т.д.). В этом случае при выписывании уравнений необходимо пересчитывать все данные задачи в одинаковых единицах измерения:

1. Если  расстояние  между   двумя  движущимися  навстречу друг  другу  телами  равно S, а  их  скорости  V1 и V2, то  время t  через  которое  они  встретятся , находиться  по  формуле  t= S\ V1+V2 .
2. Если  движение  вдогонку , то есть  первое тело  следует  за  вторым , то  время  t , через  которое  первое  тело  догонит  второе , находится по формуле  t=S\V1-V2 .
3. В  задачах  на  движение  по  воде  скорость  течения  считается  неизменной . При  движении  по  течению  скорость  течения  прибавляется  к  скорости  плывущего  тела , при  движении против  течения – вычитается  из  скорости  тела . Скорость  плота  считается  равной  скорости  течения.
4. Средняя  скорость  вычисляется  по  формуле  V=S\t ,  где  S- путь , пройденный  телом ,  а  t- время,  за  которое  этот путь  пройден .  Если  путь  состоит  из  нескольких  участков ,  то  следует  вычислить   всю  длину  пути  и  всё  время  движения .

Задача 1.  Велосипедист ехал 2 часа по лесной дороге и 1 час по шоссе, всего он проехал 40 км. Скорость его по шоссе была на 4 км/ч больше, чем скорость на лесной дороге. С какой скоростью велосипедист ехал по лесной дороге, и с какой по шоссе?

Решение:

Пусть x км/ч скорость велосипедиста на лесной дороге. Тогда его скорость на шоссе будет (x+4) км/ч. За 2 часа по лесной дороге велосипедист проехал 2·x км., а за час по шоссе (x+4) км. Весь путь по условию равен 40км. Составляем уравнение:

2x+(x+4) = 40;

2x+x = 40 - 4;

3x = 36;

x = 36:3;

x=12.

Значит скорость на лесной дороге 12 км/ч, а на шоссе 12+4=16 (км/ч).

Ответ: 12 км/ч ; 16 км/ч.

Задача 2.  От пристани против течения реки отправилась моторная лодка, собственная скорость которой 10 км/ч. Через 45 минут после выхода у лодки испортился мотор, и лодку течением реки через 3 часа принесло обратно к пристани. Какова скорость течения реки?

Решение:  

Пусть x км/ч скорость течения  реки. Моторная лодка против течения реки шла со скоростью (10-x) км/ч. В пути была 45 минут.  

   часа.

Путь против течения равен    Далее лодка с испорченным двигателем плыла по течению со скоростью x км/ч  3 часа обратно к пристани. Весь этот путь равен 3∙x км. Но расстояния туда и обратно равны:

Ответ: 2 км/ч.

Задача 3.  Из двух городов, расстояние между которыми 200 км, одновременно навстречу друг другу выехали легковой автомобиль и грузовик и встретились через 2 часа. Скорость легкового автомобиля 60 км/ч. Найти скорость грузовика.

Решение:

Пусть скорость грузовика равна x км/ч. Поскольку машины выехали одновременно навстречу друг другу, то скорость сближения (сумма скоростей) равна (x+60) км/ч. Каждый из них до встречи находится в пути 2 часа. 

Поэтому:

2(x+60) = 200

x+60 = 100

x = 100-60

x = 40

Скорость грузовика 40 км/ч.

Ответ: 40 км/ч.

Задача 4.  Из пунктов А и В, расстояние между которыми 94км, отправились одновременно навстречу друг другу пешеход и велосипедист. Скорость пешехода на 16 км/ч меньше скорости велосипедиста. Найти скорость каждого, если известно, что встретились они через 4ч и пешеход сделал в пути получасовую остановку.

Решение:

Пусть скорость пешехода равна х км/час, тогда скорость велосипедиста (х+16) км/ч. Отправляются навстречу друг другу одновременно. Встречаются через 4 часа. Пешеход делал в пути получасовую остановку. Значит шел до встречи 4-0,5=3,5 часа, велосипедист до встречи ехал 4 час.

Итак, путь пешехода 3,5х км, а путь велосипедиста 4(х+16) км. Сумма по условию 94. Составляем уравнение:

4(x+16)+3,5x=94;

4x+64+3,5x=94;

7,5x=30;

x=30:7,5;

x=300:75

x=4.

Скорость пешехода 4км/ч, велосипедиста 16+4=20км/час

Задачи на совместную работу

Между величинами, описывающими равномерное движение и величинами, характеризующими процесс работы, имеется полная аналогия.

Представим это так:

Вся работа – А;      Время работы – t;   Производительность  

При совместной работе нескольких объектов, выполняющих одновременно работу, их общая производительность равна сумме производительностей отдельных объектов.

Во многих задачах на работу точный характер этой работы не определен, тогда удобно принять объем всей работы за единицу и измерять части такой работы в долях от единицы.

Иногда  в  задачах  на  совместную  работу  можно  обойтись  без  решения  уравнений , используя  только  арифметический  способ .

Рассмотрим примеры решения задач из  Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ  по математике:

 Задание B13

Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут, а одна Маша — за 20 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша?

Про Машу нам все известно: время ее работы равно 20, следовательно, ее производительность равна .

Пусть Даша пропалывает грядку за х минут, тогда ее производительность равна .

Тогда совместная производительность равна 

Объем работы примем равным 1.

Время совместной работы равно 12 минут, отсюда получаем уравнение:

Решим его:

Ответ: 30

Классическая задача на совместную работу:

Задание B13

Первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?

1. Введем неизвестные:

Пусть

х – время заполнения резервуара первой трубой

y – время заполнения резервуара второй трубой

 – производительность первой трубы

 – производительность второй трубы

 – совместная производительность

2. Примем объем резервуара равным 1.

3. У нас 2 неизвестных, поэтому будем составлять систему из двух уравнений.

По условию задачи, первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая, следовательно, время работы первой трубы на 6 минут больше, чем второй:

Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты, следовательно, время совместной работы равно 4 минуты. Получаем второе уравнение системы:

Получили систему уравнений:

,   – не подходит по смыслу задачи.

Ответ: 6 мин

 Рассмотрим  примеры решения задач:

Задача 1.  Заказ по выпуску машин завод должен выполнить за 20 дней, но уже за 18 дней завод перевыполнил план на 6 машин, так как ежедневно выпускал на 3 машины сверх плана. Сколько машин выпустил завод?

1способ  

Проведём анализ задачи,  cоставив таблицу .  Пусть х машин выпустил завод.

Тогда

              х+54=3·180;    х+54=540;    х=540-54;   х=486

Ответ: 486 штук.

2 способ

Пусть х – количество машин в день по плану.

Тогда                                               

18∙(x+3) – 20x = 6;

18x + 54 – 20x=6;

-2x=-54+6;

-2x = -48;

x=24;

18∙(24+3)=18∙27=486.

Ответ: 486 штук.

Задача 2.   Две бригады, работая вместе, могут закончить уборку урожая за 8 дней. Если первая бригада будет работать 3 дня, а вторая 12 дней, то они выполнят   всей работы. За сколько дней может закончить уборку урожая каждая бригада, работая отдельно?

Решение:

Примем весь объем работы за 1. Тогда две бригады, работая вместе за один день выполнят  часть работы. Это их общая производительность.

Пусть производительность первой бригады равна х, тогда второй   . (Это часть работы, выполненная за 1 день).

За три дня, работая отдельно первая бригада сделает 3х часть работы, а вторая за 12 дней: .  Обе бригады при этом выполнят   от 1. 

Составляем уравнение:

Так как А=p·t, то            p– производительность.

Время работы первой бригады:         отдельно.

Вторая бригада, работая сама, потратит время:  

     производительность второй бригады.

Ответ: 12 дней, 24 дня.

Задача 3. Один инструктор может выполнить задание на 5 ч. быстрее другого. Оба вместе они выполняют это задание за 6ч. За сколько часов каждый из них выполнит задание?

В задачах "на работу" три величины:

1) работа; 2)время; 3)производительность - работа, выполненная за единицу времени.

Проведем анализ задачи, составив таблицу.

Заметив по таблице, что совместная производительность выражается как или как , составим и решим уравнение.

1) = Умножим обе части на 6Х (Х + 5) ? 0, при Х ? 0 и Х ? -5, получим:

6 (Х+5) + 6Х = Х (Х+5),

6Х + 30 + 6Х = Х2 + 5Х,

Х2 - 7Х - 30 = 0;

Х1 = -3; Х2 = 10.

2) -3 и 10являются корнями уравнения =.

3) -3 не удовлетворяет условию задачи, т.к. время не может быть отрицательным, значит, первый инструктор выполнит задание за 10 ч, а горой за 15 ч.

Ответ: 10ч; 15ч.

Задача 4. Можно предложить учащимся решить самостоятельно.

Двое рабочих выполнили работу за 12 дней. За сколько дней может выполнить каждый рабочий, если одному из них для выполнения всей работы потребуется на 10 дней больше, чем другому?

Проведем анализ задачи, составив таблицу.

Заметив по таблице, что совместная производительность выражается как или как , составим и решим уравнение.

1)  =  Умножим обе части на 12Х (Х + 10)

12Х + 120 + 12Х = Х2 + 10Х;

Х2 - 14Х - 120 =0;

Х1 = -6; Х2 = 20;

2) -6 не удовлетворяет условию задачи, значит, за 20 дней выполнит всю работу первый рабочий, а второй - за 30 дней.

Ответ: 20дней, 30 дней.

Задача 5. Предложить задачу на дом.

Две бригады, работая совместно, закончили отделку квартир в доме за 6 дней. Сколько дней потребовалось бы каждой бригаде на выполнение этой работы, если одной для этого требуется на 5 дней больше чем другой?

Проведем анализ задачи, составив таблицу.

Заметив по таблице, что совместная производительность выражается как или как , составим и решим уравнение.

1) =;

Ответ: 10 дней, 15 дней.

Используя этот способ, можно решить задачу.

Задача 6.

Два хлопкоуборочных комбайна могут собрать хлопок с поля на 9 дней скорее, чем один первый комбайн, и на 4 дня скорее, чем один второй. За сколько дней каждый комбайн может собрать весь хлопок?

Проведем анализ задачи, составив таблицу.

1) Составим и решим уравнение

=; умножив на Х (Х+9) + (Х+4) ? 0, получим:

2Х2 + 13Х = Х2 + 4Х +9Х + 36,

Х2 = 36;

Х1,2 = +6;

2) - 6 не удовлетворяет условию задачи. За 6 дней соберут весь хлопок два комбайна; за 10 дней - второй комбайн и за 15 дней - первый.

Ответ: 15 и 10 дней.

Задача7.

Для наполнения бассейна через первую трубу потребуется на 9ч. больше времени, чем при пополнении через первую и вторую трубы, и на семь меньше, чем через одну вторую трубу. За сколько часов наполниться бассейн через обе трубы?

Проведем анализ задачи, составив таблицу.

1) Составим и решим уравнение

=;

х1,2 = +12.

x = -12 - не удовлетворяет условию задачи. За 12 часов наполнится бассейн.

Ответ: 12ч.

Задача 8.

Два слесаря получили заказ. Сначала 1ч работал первый слесарь, затем 4ч они работали вместе. В результате было выполнено 40% заказа. За сколько часов мог выполнить заказ каждый слесарь, если первому для этого понадобилось бы на 5 ч больше, чем второму?

Проведем анализ задачи, составив таблицу.

1) Первый слесарь, работая один, за 1 час выполнил работу , и работая совместно, выполнили работу , что по условию равно 40% всего заказа, т.е.

2,5 не удовлетворяет условию задачи, т.к. второй слесарь работал на 5 ч меньше, то есть 2,5 - 5 = - 2,5, что не выполнимо.

2) За 25 ч. может выполнить заказ первый слесарь и за 20 ч. второй слесарь.

Ответ: 25ч и 20ч.

Алгебра 9 класс. Учебник авторов Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И Нешков, СБ. Суворова.

Задача 9. (Задачи повышенной трудности).

За сколько часов может выполнить работу каждый из трех рабочих, если производительность труда третьего рабочего равна полусумме производительностей труда первого и второго? Известно, что если бы третий рабочий проработал один 48 ч., то для окончания работы первому требовалось бы 10ч., а второму 15ч.

Проведем анализ задачи, составив таблицу.

1)  работа, выполненная вторым и третьим рабочими.

 работа, выполненная первым и третьим рабочими.

Составим и решим систему:

2) 

Таким образом,

 - производительность первого рабочего,

 - производительность второго рабочего,

 - производительность третьего рабочего.

3) = 50ч - время первого рабочего,

= 75ч - время второго рабочего,

= 60ч - время третьего рабочего.

Ответ: 50ч; 75ч; 60ч.

Задача 10

Бассейн наполняется через первую трубу на 5ч быстрее, чем через вторую. Бассейн можно наполнить, если открыть сначала одну первую трубу на 5ч, а затем одну вторую на 7,5ч. За сколько часов наполнится бассейн при совместной работе обеих труб?

Проведем анализ задачи, составив таблицу.

Составим и решим уравнение:

- 2,5 не удовлетворяет условию задачи.

Тогда первая труба заполняет бассейн за 10 ч и производительность первой трубы.

Вторая труба заполняет бассейн за 15 ч и ее производительность .

- совместная производительность.

Следовательно, две трубы наполняют бассейн при совместной работе за 6ч.

Ответ: 6ч.

 Решим задачу на производительность труда.

Задача11  
Три каменщика разной квалификации выложили кирпичную стену, причём первый каменщик работал 6 часов, второй – 4 часа, а третий – 7 часов. Если бы первый каменщик работал 4 часа, второй – 2 часа и третий – 5 часов, то было бы выполнено 2/3 всей работы. За сколько часов каменщики закончили бы кладку, если бы они работали вместе одно и то же время?

Решение.

Решим эту задачу путём составления системы уравнений.

Пусть х – скорость выполнения работы первого каменщика, y – второго, z – третьего. Всю работу примем за 1. Составим систему уравнений по условию задачи

 

Надо найти , то есть 

Умножим (2) на -2 и сложим почленно с (1). Получим :



Затем умножим (2) на -1,5 и сложим почленно с (1). Получим :

y=0,5z

Следовательно, подставим в искомое выражение полученные значения для x, y, z . В итоге получим 6.

Ответ: каменщики выполнят эту работу за 6 часов.

Мы решили эту задачу путём составления систем уравнений и решая их методом Гаусса. 

Задачи «на работу сложны тем», что в них абстрактное понятие «работа» приобретает различное конкретное содержание. В первой задаче работа выражалась в виде производительности труда каменщиков. В следующей задаче мы рассмотрим случай, в котором идёт речь о работе по наполнению бассейна. 


Задача 12

При одновременной работе двух насосов разной мощности бассейн наполняется водой за 8 часов. После ремонта насосов производительность первого из них увеличилась в 1,2 раза., а второго – в 1,6 раза, и при одновременной работе насосов бассейн стал наполняться за 6 часов. За какое время наполнится бассейн при работе только первого насоса после ремонта?

Решение.

Пусть объём бассейна равен 1, тогда время его заполнения до ремонта первым насосом – x, а вторым – y часов. Следовательно,  - производительность первого насоса до ремонта, а  - производительность второго насоса до ремонта. Зная, что бассейн до ремонта насосов заполняется за 8 часов, то составим первое уравнение .

 - производительность первого насоса до ремонта, а  - производительность второго насоса после ремонта. Зная, что бассейн после ремонта насосов заполняется за 6 часов, то составим второе уравнении .

Решив оба уравнения можно составить систему:



Умножим (1) на 0,9 и вычтем из него (2).

В итоге получим y=24, x=12.

Из найденных значений для x и y вычислим производительность первого насоса после ремонта:



По формуле  найдём время наполнения бассейна при работе только первого насоса после ремонта: ч.

Ответ: 10 ч.


Вывод:  в большинстве случаев задачи решаются путём составления систем уравнений. В результате решения задач двух разных видов мы выяснили, что все задачи на работу решаются по одной общей формуле (А=Pt)

Заключение

             Решение  текстовых   задач  является неотъемлемой частью  изучения  математики и выносится  на ГИА и  ЕГЭ  по математике. Нередко  с ними  приходится  сталкиваться  и  в  повседневной  жизни.  Однако,  как  показывает  практика, при решении  задач  у  учеников  часто  возникают  трудности,  связанные  с непониманием  смысла  самой  задачи . Решение  задач  развивает  логическое  и  интеллектуальное  мышление. Однако  времени  на  их  решение  в школьном  курсе математики  отводится  очень  немного. Постоянно на  уроках математики  5-11классов  необходимо решать  текстовые задачи . При  выполнении  задачи В13  ученики  допускают  очень  много  вычислительных  ошибок . Проводя апробирование по решению текстовых задач в 9-х  классах  я  вижу , что только 50% учащихся  решают  задачи В13 .

Список литературы

1. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И. и др. «Алгебра. Учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений»; Москва, «Просвещение» 2010г.
2. Лахова Н. В. «Математика в школе»
3. Потапов М. К., Олехник С., Нестеренко Ю. «Математика. Методы решения задач для поступающих в вузы»; Москва, «Дрофа» 2005г.
4. Соловейчик И. «Математика»; Москва, «Первое сентября» 2009г.
5. Фридман Л. М., Турецкий Е. Н. «Как научиться решать задачи»; Москва «Просвещение»  1984 г. 
6. Шестаков С. А., Гущин Д. Д.  Задачи на составление уравнений . Москва. МЦНМО 2012г.