Примеры решения тригонометрических уравнений
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

Тема урока: «Примеры решения тригонометрических уравнений».

Цели и задачи урока.

Образовательные: 1. сформировать у учащихся умения решать однородные тригонометрические уравнения;

2. отработать навыки решения других видов  тригонометрических уравнений.

Развивающие: 1. развивать и совершенствовать умение применять имеющиеся у учащихся знания в измененной ситуации;

2.развивать логическое мышление, умение делать выводы и обобщения.

Воспитательные: Воспитывать у учащихся аккуратность, культуру поведения, чувство ответственности.

Формы:

Индивидуальная, парная, фронтальная.

Методы:

Словесные, наглядные, информационно – коммуникативные.

Приемы:

                Постепенное сокращение объяснений по мере усвоения алгоритма решения, правильная последовательность задач, контрольные упражнения как средство проверки.

Ход урока:

1. Проверка д/з.
2. Проверочная работа (проводится по вариантам). Условие записано на интерактивной доске.

3. Фронтальный опрос.

        Назвать решения частных случаев простейших тригонометрических уравнений. Условия записаны на интерактивной доске,  решения проверяются с помощью гиперссылок.

4. Рассмотрим некоторые методы решения тригонометрических уравнений.

а) Метод замены переменных

Пример1.  Решите уравнение 2sin2x + cosx – 1=0.

Решение: Запишем уравнение в виде 2(1 – cos2x) + cosx – 1=0, откуда 2cos2x – cosx – 1 = 0.

        Заметим, что данное уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно cosx.  Обозначим t = cos x,  получим уравнение

2t2 - t  - 1 =0,  корни которого t1 = 1 и t2 = -.

        Получаем два случая:

1. cosx = 1, откуда x=2πk, k
2. cosx = - 0,5, откуда x=+2πn, n.

Ответ: 2πk, +2πn, где n,k.

5. Закрепление изученного материала.

  Решите уравнение:

а)  2sin2x + 5cosx + 1 =0

б)cos2x + 3sinx + 1 =0

б) Однородные тригонометрические уравнения

        Методом замены можно решать так называемые «однородные тригонометрические» уравнения.

Тригонометрическое уравнение называют однородным, если после  некоторой замены полученный многочлен от двух переменных составлен из одночленов одинаковой степени.

Пример 2   Решите уравнение 5sin2x – 8sinx cosx  - cos2x = - 2.

Решение: Перепишем уравнение в виде

7sin2x – 8sinx cosx + cos2x = 0.

Получили уравнение, однородное относительно sinx и cosx.

Рассмотрим два случая:

• cosx = 0, тогда 7sin2x – 8sinxּ0 + 02 =0, откуда sinx = 0, что невозможно, поскольку sin2x + cos2x =1; в этом случае корней нет.
• cosx≠ 0, тогда разделим обе части уравнения на cos2x:

7tg2x – 8 tgx + 1 =0.

Пусть y=tgx. Получим:  7y2-8y +1=0, откуда y1 = 1, y2=.

Осталось решить уравнения tgx = 1 и  tgx = .

Ответ: + πm, arctg  + πm, где m.

6) Закрепление изученного материала.

Решите уравнение:

2sin23x – 5sin3x cos3x + 3cos23x = 0.

в) Универсальная тригонометрическая подстановка

        При  решении тригонометрических уравнений можно использовать так называемую универсальную тригонометрическую подстановку на основе формул:

sinx =,  cos x =,   tg x =.

Если теперь ввести обозначение t = tg,  то  sin x = ,

cos x = ,  tg x = .

Пример 3 (учащиеся самостоятельно пробуют ввести новую переменную и решить уравнение, затем вызывается к доске один из учащихся для проверки).

        Решить уравнение cos x + tg  = 1.

Сделаем универсальную подстановку t=tg , тогда

 + t = 1 ⬄  t3 – 2t2  + t = 0 ⬄ t1 = 0, t2 =1.

Таким образом:

а) tg  = 0,  откуда x = 2πk, k;

б) tg  = 1, откуда x = .

Ответ: 2πk, .

6. Задания появляются на интерактивной доске. Также каждому  учащемуся  раздаются  карточки с таким же заданием.

Задание заключается в следующем: среди уравнений на карточке  (доске) выберите те, которые решаются

а) методом замены переменных;

б) как однородные тригонометрические уравнения;

в) с помощью универсальной тригонометрической подстановки:

1. 2sinx + cos x = 5sin x cos x;
2. cosx sin 7x = cos 3x sin5x
3. cosx – sin x = 0
4. sin x – sin2x+sin3x – sin4x = 0
5. 2cosx+3sinx+2cosx = 0
6. cosx + 3sin2x + 2sinx cosx = 3
7. sin2x - sin2x = cos2x
8. sin x + cos x = 1
9. sin2x + cos22x +sin23x = 1,5

10)sin2x -2sin x -3 = 0

11)sin x + sin 3x = sin 5x – sin x

        Учащиеся  помечают на карточке уравнения видов а, б и в.

Результат проверяется с помощью фронтального опроса.

8. Домашнее задание:  повторить конспект урока, решить  отмеченные уравнения с карточки.