Подготовка к ЕГЭ (наибольшее и наименьшее значение функции)
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) на тему

Слайд 1

Наибольшее и наименьшее значение функции Открытый банк заданий по математике http ://mathege.ru:8080/or/ege/Main.action

Слайд 2

наибольшее значение наибольшее значение наименьшее значение наименьшее значение a b a b Предположим, что функция f не имеет на отрезке [а; b] критических точек. Тогда она возрастает (рис. 1) или убывает (рис. 2) на этом отрезке. Значит, наибольшее и наименьшее значения функции f на отрезке [а; b] — это значения в концах а и b. функция возрастает функция убывает

Слайд 3

наименьшее значение наибольшее значение наибольшее значение наименьшее значение наименьшее значение a b a b Пусть теперь функция f имеет на отрезке [а; b] конечное число критических точек. Наибольшее и наименьшее значения функция f может принимать в критических точках функции или в точках а и b. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек, нужно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее. Примеры c n c наибольшее значение

Слайд 4

Найдите наименьшее значение функции y = x 3 – 27x на отрезке [0; 4] 1. Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наименьшее из полученных значений. Значения функции в концах отрезка. 1) y (0) = 0 y (4) = 4 3 – 27 4 = – 44 2) y / = 3x 2 – 27 = 3(x 2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3) x = 3 [0; 4] x = –3 [0; 4] y ( 3 ) = 3 3 – 27 3 = – 54 3 х 1 0 х В 11 - 5 4 Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку. 3 -3

Слайд 5

Этапы 1. Найти f / (x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. 3. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка. 4. Из вычисленных значений выбрать наименьшее или наибольшее Найдите наименьшее значение функции y = x 3 – 27x на отрезке [0; 4] 1) y / = 3x 2 – 27 2) y / = 3x 2 – 27 = 3(x 2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3) 3 -3 x = 3 [0; 4] x = –3 [0; 4] y (4) = 4 3 – 27 4 = – 44 y ( 3 ) = 3 3 – 27 3 = – 54 3 х 1 0 х В 11 - 5 4 3) y (0) = 0 Выполнение этапов решения можно изменить, как вам удобно.

Слайд 6

наибольшее значение наименьшее значение a b a b Предположим, что функция f имеет на отрезке [а; b] одну точку экстремума. Если это точка минимума, то в этой точке функция будет принимать наименьшее значение. Если это точка максимума, то в этой точке функция будет принимать наибольшее значение.

Слайд 7

Этапы 1. Найти f / (x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. 3. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка. 4. Из вычисленных значений выбрать наименьшее и наибольшее Найдите наименьшее значение функции y = x 3 – 27x на отрезке [0; 4] 1) y / = 3x 2 – 27 2) y / = 3x 2 – 27 = 3(x 2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3) 3 -3 y ( 3 ) = 3 3 – 27 3 = – 54 3 х 1 0 х В 11 - 5 4 3) Другой способ решения + + – x y \ y -3 3 0 4 min Наименьшее значение функция будет принимать в точке минимума. Можно сэкономить на вычислениях значений функции в концах отрезка. Этот способ будет удобно вспомнить, когда вычисления значений функции в концах отрезка будет сложным.

Слайд 8

x = – 1 [ -2 ; 0 ] Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наибольшее из полученных значений. Значения функции в концах отрезка. 1) y (0) = 4 y (-2) = (-2) 3 – 3 (-2) +4 = 2 2) y / = 3x 2 – 3 = 3(x 2 – 1 ) = 3(x – 1 )(x + 1 ) x = 1 [ -2 ; 0 ] y (-1) = (-1) 3 – 3 (-1) + 4 = 6 3 х 1 0 х В 11 6 Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку. 1 -1 Найдите наибольшее значение функции y = x 3 – 3 x + 4 на отрезке [ – 2 ; 0 ] 2.

Слайд 9

Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наименьшее из полученных значений. Значения функции в концах отрезка. 1) y (1) = 1 – 2 + 1 + 3 = 3 y (4) = 4 3 – 2 4 2 + 4 + 3 = 39 2) y / = 3x 2 – 4 x + 1= [1; 4] y ( 1 ) = 3 3 х 1 0 х В 11 3 Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку. Найдите наименьшее значение функции y = x 3 – 2 x 2 + x +3 на отрезке [ 1; 4 ] 3. 3x 2 – 4 x + 1 = 0 D=16– 4 *3*1=4 x 2 = 4-2 6 = 3 1 [1; 4] 3 1 3(x – 1)(x – ) 6 x 1 = 4+2 = 1

Слайд 10

Найдите наибольшее значение функции на отрезке [ -3 ; 3 ] 4 . x = – 3 [ -3 ; 3 ] Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наибольшее из полученных значений. Значения функции в концах отрезка. x = 3 [ -3 ; 3 ] y (-3) = 11 3 х 1 0 х В 11 1 1 Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку. y (-3) = -25

Слайд 11

Найдите наибольшее значение функции на отрезке [ 1 ; 9 ] 5. Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наибольшее из полученных значений. Значения функции в концах отрезка. 3 х 1 0 х В 11 1 Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку. [ 1 ; 9 ] 2

Слайд 12

Найдите наименьшее значение функции на отрезке [ 1 ; 9 ] 6. Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наименьшее из полученных значений. Значения функции в концах отрезка. 3 х 1 0 х В 11 - 3 Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку. [ 1 ; 9 ] 2 Запишем функцию в удобном для дифференцирования виде

Слайд 13

Найдите наименьшее значение функции на отрезке [ -10 ; 1 ] 7. Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наименьшее из полученных значений. Значения функции в концах отрезка . 3 х 1 0 х В 11 5 , - 1 2 Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку. Запишем функцию в удобном для дифференцирования виде x = – 5 [ -10 ; 1 ] x = 5 [ -10 ; 1 ] x = 0 D ( y) x = 0 D ( y): 2 / 1 1 х х        

Слайд 14

Найдите наименьшее значение функции на отрезке [ -10 ; 1 ] 7. Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наименьшее из полученных значений. Значения функции в концах отрезка . 3 х 1 0 х В 11 5 , - 1 2 Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку. x = 0 D ( y): Можно решить задание, применив формулу: 2 / / / v uv v u v u        

Слайд 15

Найдите наибольшее значение функции на отрезке [ 1 ; 9 ] 8 . Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наибольшее из полученных значений. Значения функции в концах отрезка . 3 х 1 0 х В 11 3 7 Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку. Запишем функцию в удобном для дифференцирования виде x = – 6 [ 1 ; 9 ] x = 6 [ 1 ; 9 ] x = 0 D ( y) x = 0 D ( y): 2 / 1 1 х х        

Слайд 16

Найдите наибольшее значение функции на отрезке [ 3 ; 10 ] 9. Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наибольшее из полученных значений. Значения функции в концах отрезка . 3 х 1 0 х В 11 1 Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку. x = 7 [ 3 ; 10 ]   / / / uv v u uv   1). Первое число меньше 1, т.к. знаменатель e 4 > 5 . 2). Второе число – отрицательно e. 3). Значит, наибольшее число 1. 7 1

Слайд 17

Найдите наименьшее значение функции на отрезке [ 1 ; 7 ] 10. Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку. Выбрать наименьшее из полученных значений. Значения функции в концах отрезка . 3 х 1 0 х В 11 - 4 Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку. x = 2 [ 1 ; 7 ]   / / / uv v u uv   Наименьшее число – 4, т.к. первые два положительные. x = 8 [ 1 ; 7 ] 8 2 1

Слайд 18

– + x y \ y -5 -4 – + Найдите наибольшее значение функции y = ln(x+5) 5 – 5x на отрезке [-4,5; 0] 3 х 1 0 х В 11 2 0 11. -4,5 0 max Наибольшее значение функция будет принимать в точке максимума. Можно сэкономить на вычислениях значений функции в концах отрезка.   / 1 lnx  x y = 5ln(x+5) – 5x 1. Найти f / (x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. 3. Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка. 4. Из вычисленных значений выбрать наименьшее или наибольшее. x = -4 [-4,5; 0] 0 Можно рассуждать иначе Запишем функцию в удобном для дифференцирования виде

Слайд 19

Найдите наибольшее значение функции y = ln( 11 x ) – 11 x + 9 на отрезке 3 х 1 0 х В 11 8 12. max Наибольшее значение функция будет принимать в точке максимума. Можно сэкономить на вычислениях значений функции в концах отрезка.   / 1 lnx  x 1. Найти f / (x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. – + x y \ y 1 11 5 22 1 22 [ ; ] 1 22 5 22 1 11 x = [ ; ] 1 22 5 22 0

Слайд 20

Найдите наименьшее значение функции y = 2х 2 – 5x + lnx – 3 на отрезке 3 х 1 0 х В 11 - 6 13. min Наименьшее значение функция будет принимать в точке минимума. Можно сэкономить на вычислениях значений функции в концах отрезка.   / 1 lnx  x 1. Найти f / (x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. – + x y \ y 1 7 6 5 6 [ ; ] 5 6 7 6 x = 1 [ ; ] 5 6 7 6 0

Слайд 21

Найдите наибольшее значение функции y = 7cosx +16x – 2 на отрезке 3 х 1 0 х В 11 5 1 4 . Функция на всей области определения возрастает. Нетрудно догадаться, что у / > 0 . Тогда наибольшее значение функция будет иметь в правом конце отрезка, т.е. в точке х=0. 1. Найти f / (x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.   / cosx  – sinx Если вы не догадались, то вычислите значения функции в каждом конце отрезка и выберите наибольшее. 0

Слайд 22

Критических точек нет. Тогда наибольшее значение функция будет принимать в одном из концов отрезка. Можно было и раньше догадаться, что наибольшее значение будет именно в левом конце отрезка! Как? 6 5 sin          6 sin           3 х 1 0 х В 11 3 2 Найдите наибольшее значение функции y = 10sinx – x + 7 на отрезке 1 5 . 1. Найти f / (x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.   / sinx  cosx 0 36 2 1  6 sin     6 5 sin          Формула приведения Синус –нечетная функция

Слайд 23

Функция на всей области определения убывает. Нетрудно догадаться, что у / < 0 . Тогда наименьшее значение функция будет иметь в правом конце отрезка, т.е. в точке х=0. 3 х 1 0 х В 11 9 Найдите наименьшее значение функции y = 5 cosx – 6x + 4 на отрезке 16. 1. Найти f / (x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку.   / cosx  – sinx 1 0 Если вы не догадались, то вычислите значения функции в каждом конце отрезка и выберите наименьшее.

Слайд 24

3 х 1 0 х В 11 1 2 Найдите наибольшее значение функции y = 12 cosx + 6 x – 2 + 6 на отрезке 1 7 . 1. Найти f / (x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. Но нам не нужны ВСЕ стационарные точки. Необходимо сделать выбор тех значений, которые попадут в заданный отрезок

Слайд 25

3 х 1 0 х В 11 1 2 Найдите наибольшее значение функции y = 12 cosx + 6 x – 2 + 6 на отрезке 1 7 . 1. Найти f / (x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. Убедимся, что данная точка является точкой максимума на заданном промежутке. Значит, наибольшее значение функция достигает именно в этой точке. Тогда значения функции в концах отрезка можно не считать. – + 3 x y \ y 2 0 Можно рассуждать иначе max

Слайд 26

3 х 1 0 х В 11 4 Найдите наименьшее значение функции y = 11 + – х – cosx на отрезке 18. 1. Найти f / (x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. Но нам не нужны ВСЕ стационарные точки. Необходимо сделать выбор тех значений, которые попадут в заданный отрезок Можно убедиться, что данная точка является точкой минимума на заданном промежутке. Значит, наименьшее значение функция достигает именно в этой точке. Тогда значения функции в концах отрезка можно не считать. + – 6 x y \ y 2 0 min

Слайд 27

3 х 1 0 х В 11 1 Найдите наименьшее значение функции y = 4 tgx – 4x – 4 + 5 на отрезке 19. 1. Найти f / (x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. Нам не нужны ВСЕ стационарные точки. Необходимо сделать выбор тех значений, которые попадут в заданный отрезок   / tgx  cos 2 x 1 0 3. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка. 4. Из вычисленных значений сделаем выбор наименьшего.

Слайд 28

3 х 1 0 х В 11 5 Найдите наибольшее значение функции y = 3 tgx – 3 x + 5 на отрезке 20. 1. Найти f / (x) 2. Найти критические точки, взять те, которые принадлежат данному отрезку. Нам не нужны ВСЕ стационарные точки. Необходимо сделать выбор тех значений, которые попадут в заданный отрезок   / tgx  cos 2 x 1 0 3. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка. 4. Из вычисленных значений сделаем выбор наибольшего. -1 0

Слайд 29

Решая задания на наибольшее и наименьшее значение функции, я применяла различные способы. Если вы решаете задания своим способом и всегда попадаете в правильный ответ, не стоит переучиваться. При использовании материалов сайта необходимо сделать ссылку на сайт http://le-savchen.ucoz.ru