Прогрессии вокруг нас
план-конспект урока по алгебре (9 класс) по теме

 Урок «Прогрессии вокруг нас».

Тип урока: комбинированный.

Цели урока:

1) образовательные:

- продолжить работу над определениями арифметической, геометрической прогрессий; формулами n-го члена, суммы n первых членов; характеристическими свойствами, которым обладают члены прогрессий; выработать общие рекомендации по выполнению заданий, содержащих данные прогрессии;

- убедится, что раздел математики «Прогрессии» являются неотъемлемой частью общечеловеческой культуры;
- продолжать формировать навыки применения прогрессии к решению прикладных задач;

-  обобщить  и систематизировать знания учащихся по данной теме.

2) воспитательные:

- содействовать воспитанию интереса к математике и ее приложениям, активности, умению общаться, аргументировано отстаивать свои взгляды.

3) развивающие:

- продолжить дальнейшую работу по выработке умения сравнивать математические понятия, находить сходства и различия, умения наблюдать, подмечать закономерности;

- учиться проводить рассуждения по аналогии; формировать умение строить и интерпретировать математическую модель некоторой реальной ситуации.

Ход урока:

1. Организационный момент: (слайд 1 )

Сегодня у нас заключительный урок по прогрессиям. Урок – подведения итогов нашей совместной  проектной работы. На  предыдущих уроках вы познакомились с возрастающими, убывающими, ограниченными, неограниченными последовательностями, но особое внимание удели двум последовательностям, каким?

Ответ: арифметическая и геометрическая прогрессия.

Что обозначает слово «прогрессия»? (слайд 2 )

Ответ: движение вперед.

Сегодня мы будем двигаться вперед и еще раз убедимся и убедим всех присутствующих в том, что… ( слайд 3,4)

Класс был  разбит на 4 группы: историки, теоретики, микробиологи и экономисты. Каждая группа готовила теоретический материал и задачи в своем направлении. Весь полученный материал затем был проанализирован и синтезирован в текстовом носителе и в презентации.

2. Актуализация знаний:

Группа теоретиков собирала, анализировала и обобщала теоретический материал о прогрессиях, поэтому я обращаюсь в первую очередь к вам и ко всем с вопросами:

1. Какую прогрессию называют арифметической?

2. Какую прогрессию называют геометрической?

3. Почему арифметическую прогрессию называют арифметической? Сформулируйте  ее характерное свойство.

(потому, что члены этих прогрессий находятся как среднее арифметическое для арифметической и среднее геометрическое - для геометрической прогрессии)

Мы записали формулы для прогрессий (слайд 6)

И выяснили :В чем состоит сходство между прогрессиями? А в чем есть отличия? ( сходство: есть формулы для нахождения любого члена прогрессии и суммы n первых членов прогрессии, прогрессии задаются по определенному правилу; различие: убывающая геометрическая прогрессия уменьшается гораздо стремительнее, чем арифметическая с одинаковыми исходными данными, и наоборот)
3. Устная работа: ( слайд 7   )

1. Последовательность (с), задана формулой с=15-3n. Найдите си c.( слайд   )

2. Определите знаменатель геометрической прогрессии ( а), для которой а, а.

3. Найдите седьмой член арифметической прогрессии, если а=12, а=16,5.

4. Определите знаменатель геометрической прогрессии ( а), для которой а, а

4. Решение задач:

Вами проведена большая  познавательная работа. Над проектом у нас работали четыре группы. Теоретики уже продемонстрировали свою работу. Теперь слово предоставляется группе историков. Они скажут несколько слов о появлении прогрессий и предложат нашему вниманию интересные исторические задачи на прогрессии.

( слайд 8)

Ученик: Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение  и был введен римским автором Боэцием в 6 веке. Сами названия «арифметическая» и «геометрическая» были перенесены на прогрессии из теории непрерывных пропорций, изучением которых занимались древние греки. В развитие теории о прогрессиях внесли свой вклад такие ученые, как Архимед, Пифагор и его ученики, французские математики Леонард Фибоначчи и Баше де Мезириак, немецкие математики М. Штифель, Н.Шюке и К. Гаусс.

Слайд (9,10)

Предание о царе Шераме и изобретателе Сете .

Задача №1 (из учебника Магнитского): ( слайд 13)

Богач-миллионер возвратился из отлучки необычайно радостный: у него была по дороге счастливая встреча, сулившая большие выгоды. Рассказывает он домашним: «Вот и на мою деньгу денежка бежит. Повстречался мне в пути незнакомец, из себя не видный. Предложил выгодное дельце, что у меня дух захватывает». «Сделаем,- говорит, - такой уговор. Я буду целый месяц приносить тебе ежедневно по сотне тысяч рублей. Недаром, разумеется, но плата пустяшная. В первый день я должен по уговору заплатить – смешно сказать – всего 1 копейку. А за вторую сотню тысяч – 2 копейки. И так целый месяц, каждый день вдвое больше предыдущего. Находим выгодность сделки.

Решение: Деньги, отданные богачом незнакомцу, составляют геометрическую прогрессию, например (b). Тогда, b=1, b, b=4   q= 2

Богач-миллионер заплатил незнакомцу:

S = 2 – 1 =10737418,23копеек 11 миллионов рублей.

Незнакомец заплатил богачу: 30∙100 тыс = 3000 тыс. = 3000000 рублей.

Убыток 11000000 – 3000000=8000000 рублей.

Спасибо историкам. Пришла очередь экономистам показать, чем они занимались в рамках нашего проекта.

Ученик: Изучая материалы, связанные с прогрессиями, мы нашли большое количество задач с экономическим содержанием. Это задачи на банковские проценты на вклад, изменение оплаты труда и увеличение производства на предприятии, изменение цены товара и т. д.

Задача №2: В течение календарного года на автомобильном заводе «Фиат» зарплата каждый месяц  повышалась на одно и тоже число долларов. За июнь, июль, август зарплата в сумме составила 9900 долларов, а за сентябрь, октябрь и ноябрь – 10350 долларов. Найдите сумму зарплат одного работника за весь год. ( слайд 16)

Решение: (b)-арифметическая прогрессия,, а  

Из этих двух равенств получаем систему уравнений и решаем ее:

Теперь найдем суммарную зарплату работника «ФИАТА» за год:

S

Ответ: за год доход работника составил 39300 $.

Спасибо экономистам за хорошие задачи. Пришла очередь четвертой группы, группы микробиологов и медиков.

Ученик: Микробиология — наука о  живых организмах,  невидимых невооруженным глазом: бактерии,  архебактерии,  микроскопические грибы и водоросли, часто этот список  продляют простейшими и вирусами. В область  интересов микробиологии входит систематика микроорганизмов, их морфология, физиология, биохимия, эволюция, роль в экосистемах, а также возможности практического использования.

Слайд (17-24)

Ученик: (Слайд 25) Так как мы ограниченны во времени, то не можем показать все разнообразие задач по прогрессиям на одном уроке. Хочется лишь отметить, что задачи на прогрессии встречаются во многих сферах человеческой жизни. Прогрессии действительно везде вокруг нас. С помощью прогрессий можно проводить вычисления результатов в спорте, в компьютерной игре,  решения физических и геометрических задач. Можно объяснить суть финансовых пирамид. Прогрессии существуют даже в литературе!

Проведем проверочную работу. Слайд (26,27)

Спасибо всем группам за отличную работу и интересные задачи.

5. Рефлексия: ( слайд 28   )

Задача №1 (из учебника Магнитского): ( слайд 13)

Богач-миллионер возвратился из отлучки необычайно радостный: у него была по дороге счастливая встреча, сулившая большие выгоды. Рассказывает он домашним: «Вот и на мою деньгу денежка бежит. Повстречался мне в пути незнакомец, из себя не видный. Предложил выгодное дельце, что у меня дух захватывает». «Сделаем,- говорит, - такой уговор. Я буду целый месяц приносить тебе ежедневно по сотне тысяч рублей. Недаром, разумеется, но плата пустяшная. В первый день я должен по уговору заплатить – смешно сказать – всего 1 копейку. А за вторую сотню тысяч – 2 копейки. И так целый месяц, каждый день вдвое больше предыдущего. Находим выгодность сделки.

Задача №1 (из учебника Магнитского): ( слайд 13)

Богач-миллионер возвратился из отлучки необычайно радостный: у него была по дороге счастливая встреча, сулившая большие выгоды. Рассказывает он домашним: «Вот и на мою деньгу денежка бежит. Повстречался мне в пути незнакомец, из себя не видный. Предложил выгодное дельце, что у меня дух захватывает». «Сделаем,- говорит, - такой уговор. Я буду целый месяц приносить тебе ежедневно по сотне тысяч рублей. Недаром, разумеется, но плата пустяшная. В первый день я должен по уговору заплатить – смешно сказать – всего 1 копейку. А за вторую сотню тысяч – 2 копейки. И так целый месяц, каждый день вдвое больше предыдущего. Находим выгодность сделки.

Задача №2: В течение календарного года на автомобильном заводе «Фиат» зарплата каждый месяц  повышалась на одно и тоже число долларов. За июнь, июль, август зарплата в сумме составила 9900 долларов, а за сентябрь, октябрь и ноябрь – 10350 долларов. Найдите сумму зарплат одного работника за весь год.

Задача №2: В течение календарного года на автомобильном заводе «Фиат» зарплата каждый месяц  повышалась на одно и тоже число долларов. За июнь, июль, август зарплата в сумме составила 9900 долларов, а за сентябрь, октябрь и ноябрь – 10350 долларов. Найдите сумму зарплат одного работника за весь год.

 Задача №2: В течение календарного года на автомобильном заводе «Фиат» зарплата каждый месяц  повышалась на одно и тоже число долларов. За июнь, июль, август зарплата в сумме составила 9900 долларов, а за сентябрь, октябрь и ноябрь – 10350 долларов. Найдите сумму зарплат одного работника за весь год.

Задача №2: В течение календарного года на автомобильном заводе «Фиат» зарплата каждый месяц  повышалась на одно и тоже число долларов. За июнь, июль, август зарплата в сумме составила 9900 долларов, а за сентябрь, октябрь и ноябрь – 10350 долларов. Найдите сумму зарплат одного работника за весь год.

В специальном конверте учащимся предлагается набор карточек-ответов. Их больше, чем заданий на большой карте, которая тоже вложена в конверт. Ученики достают из конверта карточку, решают задания и накрывают ею соответствующий ответ. Карточки накладываются лицевой стороной вниз. Если все задания решены правильно, то обратные стороны наложенных карточек составляют условный шифр 2451. Выигрывает та группа, которая раньше всех накрыла все клетки правильными ответами.

Задания:

1. Дано: а10=126,d=4. Найти: а1. 
2. Дано:а25=84,а1=12.Найти: d.
3. Является ли число 156 членом арифметической прогрессии (ап), в которой а1=24, а22=60.
4. Родители ко Дню рождения своего сына Андрея решили купить и обновить ему мобильный телефон. Для этого, они в первый месяц отложили 650 тенге, а в каждый следующий месяц откладывали на 50 тенге больше, чем в предыдущий. Какая сумма будет у родителей Андрея через 10 месяцев.

Критерии оценок: «5» - первые правильно решившие задания;

                                «4» - вторые правильно решившие задания;

                                «3» - третьи правильно решившие задания.