Разработка уроков по теме "Комплексные числа" 10 класс
план-конспект урока по алгебре (10 класс) по теме

Часть1.

Алгебра и начала анализа (8 часов)

Содержание:

1. Комплексные числа в алгебраической форме и арифметические операции над ними (2 часа).        
2. Тригонометрическая форма записи комплексного числа(2 часа).                                                                        
3. Решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом и комплексными коэффициентами(1 час).
4. Возведение комплексного числа в степень. Извлечение квадратного корня из комплексного числа (2 часа).
5. Контрольная работа (1 час).

Часть2.

Практикум по алгебре и началам анализа

(4 часа)

Содержание:

1. Арифметические операции  над комплексными числами, записанными в алгебраической форме(1 час).
2. Решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом и комплексными коэффициентами(2 час).
3. Возведение комплексного числа в степень. Извлечение квадратного корня из комплексного числа (1 час).

Часть 1.

   Урок 1 – 2.

Тема: «Комплексные числа в алгебраической форме и арифметические операции над ними».

Цели:

• формирование понятия «комплексные числа»;
• формирование навыков и умений выполнения арифметических операций над комплексными числами;
• развитие мышления;
• воспитание внимания и сосредоточенности.

Структура урока:

1. Организационный момент (3 мин).
2. Фронтальный опрос, подводящий к изучению новой темы (15мин).
3. Обьяснение нового материала (35 мин).
4. Практическая часть (20 мин).
5. Постановка домашнего задания (3 мин).
6. Подведение итогов урока.(4 мин).

Ход урока.

1. Организационный момент.

Учитель проверяет готовность класса к уроку. Далее сообщается, что сегодня на уроке начинается изучение новой темы «Комплексные числа». Учащимся предлагается записать в тетради дату и тему урока.

2. Фронтальный опрос.

Посредством фронтального опроса осуществляется активизация знаний по ранее изученному материалу.

1. Какие виды чисел вы уже знаете?  (Натуральные; Целые; Рациональные; Иррациональные).
2. Какие числа мы называем натуральными? (Натуральные, т.е. числа, употребляемые при счете – 1,2,3,…)
3. Какие числа мы называем целыми? (Целые – натуральные и им противоположные).
4. Какие числа мы называем рациональными? (Рациональные – целые и дробные числа (положительные и отрицательные).
5. Какие числа мы называем иррациональными? (Иррациональные – числа, которые нельзя представить в виде дроби m/n, где m – целое, n -  натуральное).

Сегодня мы познакомимся еще с одним видом чисел – комплексными числами.

3. Обьяснение нового материала.

Рассмотрим квадратное уравнение

.                                     (1)

Применив к нему правило нахождения корней квадратного уравнения, получим выражение:

                                  (2)

которые можно записать в виде

x 1,2=1± 3 i   (i=   - 1).

Мы не получим действительного решения, т.к.   – 3 не есть действительное число. Выражения вида вида (2) называют комплексными числами.

Опр.1: Комплексным числом называется выражение

a+bi                                                                                    (3)                   

где a и b – действительные числа, а i– специальный знак, при этом:

1. i’ = -1                                                                       (4)
2. a + 0i = a                                                                 (5)
3. 0 + bi = bi                                                                (6)
4. a + bi = c + di, где a, b, c, d – действительные числа, причем               a = c и   b = d.

Опр.2: Число 0 + bi = bi называется мнимым или чисто мнимым.

Любое действительное число a – частный случай комплексного числа. На основании (2) его можно записать в виде a=a+0i.

Например: 0=0+0i, но если a+bi=0, то a+bi=0+0i  =>  a=b=0.

Т.о. комплексное число a+bi=0  ⬄ a=0 и b=0.’

Арифметические действия над комплексными числами.

1. Сложение -  (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
2. Разность -  (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
3. Произведение - (a+bi)·(c+di)=ac+bci+adi-bd=(ac-bd)+(bc+ad)i
4. Частное -                                                                                                

Например:                                                                

Замечание:  из (4) следует:

i = i,  i=-i, i = i  i =1,

i =I, i =i,   i =i i =-1,…

Примеры: Привести к виду a+bi, где  a  и b – действительные числа следующие комплексные числа:

Комплексные числа нередко обозначают одной буквой. Пишут:

z=a+bi

и говорят: задано комплексное число z.

Опр.3: Число a называют действительной частью z и обозначают:

Re z=a (реальный, действительный)

Число b – мнимой частью и обозначают:

Im z=b(мнимый, воображаемый).

Опр.4: Если  z=a+bi есть комплексное число (a, b – действительные числа), то a-bi называют ему сопряженным числом и пишут z=a-bi.

Если b=0, то z=z. Числа z и  z взаимно сопряжены друг к другу.

4.  Практическая часть.

Задача №1.

Даны комплексные числа

1. z1=1 - i   и  z2=4i - 2
2. z1=1 + i  и  z2=-6 + 4i

Найти:

• сумму z = z1+ z2 и укажите Re z, Im z.
• разность z = z1 -  z2 и укажите комплексное число, которое сопряжено с z.
• произведение z = z1 ·  z2.
• частное z = z1/ z2

Задача №2.

         Вычислить:

1. (1+3i)(1-3i)-2.
2. (2-i) +i(3i+4).
3. i  + 2/i .

5. Постановка домашнего задания.

Задача №1.

Даны комплексные числа

1. z1=15 -5 i   и  z2=1 + 2i
2. z1=5 +10 i  и  z2=2 - i

Найти:

• сумму z = z1+ z2 и укажите Re z, Im z.
• разность z = z1 -  z2 и укажите комплексное число, которое сопряжено с z.
• произведение z = z1 ·  z2.
• частное z = z1/ z2

Задача №2.

         Вычислить:

1. (5-2i)(5+2i)+1.
2. (3+i) -3i(2+3i).
3. i + 3/i .

6. Подведение итогов урока.

Итоги урока подводятся оценкой ответов учеников.

Урок 3 – 4.

Тема: «Тригонометрическая форма записи комплексного числа».

Цели:

• формирование понятий «модуль комплексного числа», «аргумент числа z», «запись комплексных чисел в тригонометрической форме;
• формирование навыков и умений выполнения преобразования комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, в тригонометрическую форму;
• развитие логического мышления;
• воспитание внимания, сосредоточенности и усидчивости.

Структура урока:

7. Организационный момент (2 мин).
8. Входной контроль (опрос) (5 мин).
9. Самостоятельная работа (10 мин).
10. Обьяснение нового материала (40 мин).
11. Практическая часть (20 мин).
12. Постановка домашнего задания (2 мин).
13. Подведение итогов урока.(2 мин).

Ход урока.

1. Организационный момент.

Учитель проверяет готовность класса к уроку. Далее сообщается, что сегодня на уроке продолжается изучение темы «Комплексные числа», в частности будут изучены комплексные числа, записанные в тригонометрической форме. Учащимся предлагается записать в тетради дату и тему урока.

2. Входной контроль.

Учащиеся отвечают на следующие вопросы:

1. Дайте определение комплексных чисел.

(Комплексным числом называется выражение a+bi,где a и b – действительные числа, а i– специальный знак, при этом:

1. i’ = -1                                                                       
2. a + 0i = a                                                                 
3. 0 + bi = bi                                                               
4. a + bi = c + di, где a, b, c, d – действительные числа, причем  a = c и   b = d.)

2. Какое число мы называем мнимой частью комплексного числа?

(Число 0 + bi = bi называется мнимым или чисто мнимым.)

3. В каком случае мы можем сказать, что комплексное число a+bi равно нулю?

(Комплексное число a+bi=0  ⬄ a=0 и b=0.)

4. Что такое действительная и мнимая часть числа z?

(Число a называют действительной частью z и обозначают:

Re z=a (реальный, действительный)

Число b – мнимой частью и обозначают:

Im z=b(мнимый, воображаемый).

5. Какое число мы называем сопряженным комплексному числу?

(Если  z=a+bi есть комплексное число (a, b – действительные числа), то a-bi называют ему сопряженным числом и пишут z=a-bi.Если b=0, то z=z. Числа z и  z взаимно сопряжены друг к другу.)

3. Самостоятельная работа.

Вариант 1.

Даны комплексные числа

z1=-2+5 i   и  z2=1-4i

Найти:

• сумму z = z1+ z2 и укажите Re z, Im z.
• разность z = z1 -  z2 и укажите комплексное число, которое сопряжено с z.
• произведение z = z1 ·  z2.
• частное z = z1/ z2

Вариант 2

Даны комплексные числа:

z1=4-9i   и  z2=-6+2i.

Найти:

• сумму z = z1+ z2 и укажите Re z, Im z.
• разность z = z1 -  z2 и укажите комплексное число, которое сопряжено с z.
• произведение z = z1 ·  z2.
• частное z = z1/ z2

Вариант 3.

Даны комплексные числа

z1=5-2i   и  z2=-1+4i.

Найти:

• сумму z = z1+ z2 и укажите Re z, Im z.
• разность z = z1 -  z2 и укажите комплексное число, которое сопряжено с z.
• произведение z = z1 ·  z2.
• частное z = z1/ z2

4. Обьяснение нового материала.

Рассмотрим  прямоугольную систему координат xOy. Комплексное число z=x+yi изображается на плоскости точкой  z(x,y).

    Имеет место взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и комплексными числами, т.е. каждому действительному числу соответствует точка плоскости; двум разным комплексным числам соответствуют разные точки, и каждая точка соответствует некоторому комплексному числу.

     В силу этого соответствия координатную плоскость называют еще комплексной плоскостью.

Опр.1: Введем вектор с началом в нулевой точке О и концом в А. Его длина

ρ=√ x²+y²

называется модулем комплексного числа z. Угол ϕ, образуемый вектором ОА с положительной полуосью x (отсчитываемый против часовой стрелки), называется аргументом числа z.

Опр.2: Каждое комплексное число z=x+yi имеет свой модуль ρ=׀z׀ и аргументϕ= Arg z.

Но аргумент определяется не однозначно. Если ϕ есть аргумент z, то ϕ+2kπ, где k=0,±1,±2,…тоже аргумент z, поэтому аргумент z должен удовлетворять неравенству 0≤ϕ<2kπ.

Опр.2:Аргумент z обозначают Arg z и называют главным значением аргумента z или аргументом z в приведенном виде. Любое значение аргумента z определяется по формуле:

Arg z = arg z + 2kπ,

где k одно из чисел k=0,±1,±2,…

Очевидно,

x = ρ cos ϕ,  y = = ρ sinϕ,

отсюда имеем:

- Тригонометрическая форма записи комплексного числа.

5. Практическая часть.

1. Найдите модуль и аргумент комплексного числа:

а) z = 4 + 4i;                             б) z = 3 - 3i;

                             в) z = -√3 /2 -½i ;                     г)  z = ½ + √3 /2 i;

                                  д) z = (1-2i)²;                             е) z = (2+i)².

2. Представьте  данное комплексное число

a) в алгебраической форме:

z = 2 (cos π/4 + i sin π/4);          z = 4 (cos π/3 + i sin π/3);

б) в тригонометрической форме:

z = 1 + √3i;             z = 2 + 2i.

3. Выполните действия

а) 3 (cos π/2 +  i sin π/2)· (cos π/6 + i sin π/6);

   б) √3 (cos π/3 +  i sin π/3)·√12 (cos π/6 + i sin π/6);

    в) [18 (cos 47º +  i sin 47º)]:[9 (cos 17º +  i sin 17º)];

  г) [20 (cos 72º +  i sin 72º)]:[5 (cos 12º +  isin 12º)]

6. Постановка домашнего задания.

Конспект, решение следующих заданий:

1. Найдите модуль и аргумент комплексного числа:

а) z = 3 + 3i;                             б) z = 5 - 5i;

                             в) z = √2 /2 -½i ;                     г)  z = ½ - √2 /2 i;

                                  д) z = (4-3i)²;                             е) z = (1+2i)².

2. Представьте  данное комплексное число

a) в алгебраической форме:

        z = 2(cos π + i sin π);          z = 2 (cos π/6 + i sin π/6);

        б) в тригонометрической форме:

                     z =- 1 -√3i;             z = 1 - i.

4. Выполните действия:

а)  (cos π/4 +  i sin π/4)·2(cos π/6 + i sin π/6);

       б) √6 (cos π/3 +  i sin π/3)·√3 (cos π/6 + i sin π/6);

    в) [16cos 56º +  i sin 56º)]:[8 (cos 4º +  i sin 4º)];

       г) [12 (cos 75º +  i sin 75º)]:[3(cos 15º +  isin 15º)

7. Подведение итогов урока.

Итоги урока подводятся оценкой ответов учащихся.

Урок 5– 6.

Тема: «Решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом. Возведение комплексного числа в степень».

Цели:

• формирование навыков и умений решения квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом и комплексными коэффициентами;
• формирование навыков и умений возведения комплексного числа в степень;
• развитие логического мышления;
• воспитание внимания, сосредоточенности и усидчивости.

Структура урока:

14. Организационный момент (3 мин).
15. Самостоятельная работа (20 мин).
16. Обьяснение нового материала (25 мин).
17. Практическая часть (25мин).
18. Постановка домашнего задания (4 мин).
19. Подведение итогов урока.(3 мин).

Ход урока.

1. Организационный момент.

Учитель проверяет готовность класса к уроку. Далее сообщается, что сегодня на уроке будет рассмотрено решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом, а также возведение комплексного числа в степень . Учащимся предлагается записать в тетради дату и тему урока.

2. Самостоятельная работа.

Вариант 1.

1)  Вычислить:

1.  (6+2i)(6-2i)+5;

2.  3(cos π/4 +  i sin π/4)·2(cos π/6 + i sin π/6).

2)  Тригонометрическая форма записи комплексного числа (формула).

Вариант 2

1)  Вычислить:

1.  (3+i)(3-i)-7;

2.  12(cosπ+i sin π)· (cos π/6 + i sin π/6).

2)  Главный аргумент комплексного числа z  и его  модуль  (формулы).

Вариант 3.

1)  Вычислить:

1.  (4+3i)(4-3i)-8;

2.  6(cos2π +  i sin2π)·2(cos π/3 + i sin π/3).

2)  Определение комплексного числа .

3. Обьяснение нового материала.

Решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом.

Рассмотрим квадратное уравнение в общем виде:

           ax'+bx+c=0,                     (1)

где p, q – действительные числа.

 - Если (D=b’-4ac)>0 , то уравнение (1) имеет 2 действительных корня

X1,2=(-b±√D)/2a.

 - Если D=0 , то уравнение (1) имеет 1 действительный корень

X1,2=-b/2a.

 - Если D<0 , то уравнение (1) имеет 2 комплексных корня

X1,2= =(-b±√D)/2a.

Например: Решить в комплексных числах квадратнoе уравнения:

x’+x+1=0

Решение.

D= 1-4*1*1=-3, D<0, значит уравнение имеет 2 комплексных корня, причем D=√3i  .

X1,2= (-1± √3i )/2, т.е. x1= -1/2+√3i/2, x2=-1/2-√3i/2.

Ответ: x=-1/2± √3i /2.

Возведение комплексного числа в степень.

Пусть комплексноек число z задано в тригонометрической форме, т.е. z=ρ(cosϕ+i sinϕ), а n- степень, в которую возводится данное комплексное число, тогда имеет место следующее правило.

Правило : При возведении комплексного числа в степень с натуральным показателем его модуль  возводится в степень с тем же показателем, а аргумент умножается на показатель степени, т.е.

(ρ(cosϕ+i sinϕ))’= ρ’(cos nϕ+i sin nϕ).

Например: Записать в алгебраической форме комплексные числа:

 (5+3i)^2 =25+30i+9i^2=16+30i;

(√3+i)^3; ρ=2; z=(2(√3/2+1/2i))^3=(2(cosπ/6+i sinπ/6))^3=2^3(cos3π/6+i sin3π/6)=8(cosπ/2+i sinπ/2)=8(0+i)=8i.

4. Практическая часть.

1. Решить уравнения:

2. Записать в алгебраической форме комплексные числа:

5. Постановка домашнего задания.

2. Решить уравнения:

3. Записать в алгебраической форме комплексные числа:

6.Подведение итогов урока.

Итоги урока подводятся оценкой ответов учащихся.

Урок 7.

Тема: «Извлечение квадратного корня из комплексного числа».

Цели:

• формирование навыков и умений извлечения  квадратного корня из комплексного числа;
• развитие логического мышления;
• воспитание внимания, сосредоточенности и усидчивости.

Структура урока:

20. Организационный момент (3мин).
21. Входной контроль (10 мин).
22. Обьяснение нового материала (7 мин).
23. Практическая часть (15мин).
24. Постановка домашнего задания (3 мин).
25. Подведение итогов урока.(2 мин).

Ход урока.

1. Организационный момент.

Учитель проверяет готовность класса к уроку. Далее сообщается, что сегодня на уроке будет изучено правило извлечения квадратного корня из комплексного числа. Учащимся предлагается записать в тетради дату и тему урока.

2. Входной контроль.

Для проверки домашнего задания к доске вызываются 4 ученика. Пока они записывают решение домашнего задания на доске, остальные учащиеся отвечают на следующие вопросы:

1. Тригонометрическая форма записи комплексного числа (формула).
2. Главный аргумент комплексного числа z  и его  модуль  (определения).
3. Определение комплексного числа .
4. Правило возведения комплексного числа в степень.

3. Обьяснение нового материала.

Опр.1: Любое комплексное чило x, удовлетворяющее уравнению x’=c, называют корнем квадратным из числа c и обозначают символом √c, причем

            0, при с=0,

√с=   ±√с, при с>0,

           ±√сi, при с<0.

x’=c ⇔  x=ρ(cosϕ+i sinϕ) и c=r(cosα+ i sinα)

тогда

Например: Решить в комплексных числах уравнения:

                   а) x’=1,              б) x'=-1;

                   в) x’=9;             г) x’=-9.

4. Практическая часть.

Решить в комплексных числах уравнения:

1. x’=10;
2. x’=-10;
3. x’+4=0;
4. 4x’+8i=0;
5. 2x’-4i=0;

5. Постановка домашнего задания.

Решить в комплексных числах уравнения:

6. x’=8;
7. x’=-8;
8. x’+9=0;
9. 6x’+12i=0;
10. 3x’-6i=0;

6. Подведение итогов урока.

Итоги урока подводятся оценкой ответов учащихся.

Урок 8.

Тема: «Контрольная работа №4 по теме «Комплексные числа».

Цели:

• проверка и оценка знаний и умений по теме «Комплексные числа»;
• развитие мышления;
• воспитание самостоятельной деятельности учащихся.

Структура урока:

26. Организационный момент (3мин).
27.  Проведение контрольной работы(10 мин).
28. Постановка домашнего задания (3 мин).
29. Подведение итогов урока.(2 мин).

Ход урока.

1. Организационный момент.

Учитель проверяет готовность класса к уроку. Далее сообщается, что сегодня на уроке будут проведена контрольная работа  по теме «Комплексные числа». Учащимся предлагается записать в тетради дату и тему контрольной работы.

2. Проведение контрольной работы.

Вариант 1.

1. Даны комплексные числа    z1=-1+4i   и  z2=2-3i .    Найти:

• сумму z = z1+ z2 и укажите Re z, Im z.
• разность z = z1 -  z2 и укажите комплексное число, которое сопряжено с z.
• произведение z = z1 ·  z2.
• частное z = z1/ z2

                2)  Вычислить:

             а) (7+3i)(7-3i)+2;          б) √2(cos π/4 +  i sin π/4)·2 (cos π/2 + i sin π/2).

3. Решить уравнения:               а) 4x’-4x+5=0;              б)(1-i)x=16-12i.

4. Записать в алгебраической форме комплексные числа:

Вариант 2

1)Даны комплексные числа:  z1=2-7i   и  z2=-5+4i. Найти:

• сумму z = z1+ z2 и укажите Re z, Im z.
• разность z = z1 -  z2 и укажите комплексное число, которое сопряжено с z.
• произведение z = z1 ·  z2.
• частное z = z1/ z2

                  2)  Вычислить:

              а) (6-2i)(6+2i)-8;      б) 4(cos π +  i sin π)·2 (cos π/3 + i sin π/3).

3. Решить уравнения:         а) 2x’-2x+5=0;              б)(-2+i)x=8+6i.
4. Записать в алгебраической форме комплексные числа:

Вариант 3.

1)Даны комплексные числа z1=6-2i   и  z2=-4+2i.   Найти:

• сумму z = z1+ z2 и укажите Re z, Im z.
• разность z = z1 -  z2 и укажите комплексное число, которое сопряжено с z.
• произведение z = z1 ·  z2.
• частное z = z1/ z2

                  2)  Вычислить:

              а) (6-2i)(6+2i)-8;      б)4(cos π +  i sin π)·2 (cos π/3 + i sin π/3).

3. Решить уравнения:              а) 2x’-2x+5=0;              б)(-2+i)x=8+6i.
4. Записать в алгебраической форме комплексные числа:

3. Постановка домашнего задания.

Учащимся предлагается обменяться карточками с заданием для контрольной работы и прорешать другой вариант дома.

4. Подведение итогов урока.