Разложение могочленов на множители 7 класс
план-конспект урока по алгебре (7 класс) на тему

Слайд 1

Разложение многочленов на множители Что такое разложение многочленов на множители и зачем оно нужно

Слайд 2

При решении многих алгебраических задач бывает необходимо данный многочлен представить в виде: произведения двух или более многочленов: (х+1) · (х-2), ( m +4) · ( m+2)·(m-8) произведения многочлена на одночлен, содержащий не менее одной переменной: 2y · (y-1) можно представить в виде произведения числа на многочлен, например , ( 2х 2 +6у 2 ) · 0,5 или ( х 2 +3у 2 ) · 1 Но это искусственное преобразование, поэтому без большей необходимости не используется . Однако не каждый многочлен допускает разложение на множители. Например, многочлены х+3, х 2 +3у 2 разложить на множители нельзя. Такие многочлены называются простыми (неприводимыми). Разложение на множители считается законченным, если все полученные множители простые . (неприводимы).

Слайд 3

Разложение многочлена на множители применяется: для доказательства тождеств. для решения уравнений; для преобразования числовых выражений; для решения задач на делимость; для преобразования алгебраических выражений; для решения задач с использованием метода математической индукции; для сокращения алгебраических дробей;

Слайд 4

Решение уравнений методом разложения на множители заключается в следующем: если p( х)= p 1 ( х) · p 2 ( х) ·… · p n ( х) , то всякое решение уравнения p( х)=0 является решением совокупности уравнений p 1 ( х)=0; p 2 ( х)=0; … ; p n ( х)=0. 2 · х 2 + х – 6 = 0 (2 · х – 3) · (х+2)=0 2х 2 + 4х – 3х – 6=0 2 · х 2 + х – 6 = 0 либо 2 · х – 3=0 , либо х+2=0 . Значит, 2 · х = 3 х =1,5 х = – 2 Ответ: 1,5 и -2

Слайд 5

Вычислите наиболее рациональным способом: Найти значение числового выражения

Слайд 6

Докажите, что значение выражения кратно заданному числу 9 7 +3 12 кратно 90 ( 3 2 ) 7 + 3 12 =3 14 + 3 12 = 3 12 · (3 2 + 1)= 3 12 · 10 90=9 · 10=3 2 · 10 Задачи на делимость

Слайд 7

6с 2 + 4с = 2c · 3c + 2c · 2 = 2c · (3c+2) или 6с 2 + 4с = -2c · (-3c) + (- 2c ) · (-2) = -2c · (-3c - 2) Представить многочлен в виде произведения многочлена и одночлена, если: p (x, y)= 2x 2 y+4x Для этого в составе каждого члена многочлена p (x, y)= 2x 2 y+4x необходимо выделить одинаковую часть (одинаковый множитель) 2х 2x 2 y+4x = xy · 2x +2 · 2x =(xy+2) · 2x Пример:

Слайд 8

Разложение многочленов на множители Три пути ведут к знанию: путь размышления – это путь самый благородный, путь подражания – это путь самый легкий и путь опыта – это путь самый горький. Конфуций 2. Способы разложения многочлена на множители

Слайд 9

Основные понятия Что такое разложение многочленов на множители? Каждый ли многочлен допускает разложение на множители? Выберите многочлены , которые разложить на множители нельзя х+3, y 2 +3 y, m 2 +3 n 2 . Как называются многочлены , которые нельзя разложить на множители? Когда разложение на множители считается законченным? При решении каких алгебраических задач бывает необходимо данный многочлен разложить на множители? Уравнения какого вида решаются методом разложения на множители? В чем заключается решение уравнений методом разложения на множители? 1-5 6 7-8

Слайд 10

Распределите данные алгебраические выражения на группы и объясните, по какому признаку проведено распределение 1. 195 с 6 p 5 - 91 c 5 p 6 k + 221 с 3 p 10 k 2 5. xy 2 – by 2 – a x + ab +y 2 – a 2. 3 а 2 b·(1 - 2а); 3. 2 mx – 3 m – 4 x +6 4. (9с - а b ) · (9с + а b ); 6. 4p 2 + 12pn + 9n 2 9. (5а + 1) 2 ; 10. 49b 2 – 25a 2 12. (х - 2)(х 2 + 2х + 4); 11. 25x 2 – 40x + 16 8. 8c 3 – 125 7. 1 + 64a 3 I IV III II

Слайд 11

Способы разложения многочленов на множители выделение полного квадрата. вынесение общего множителя за скобки; группировка; использование формул сокращённого умножения; комбинированный (комбинация различных способов); меню № 1 тест зачет

Слайд 12

Группы алгебраических выражений 1. 195 с 6 p 5 - 91 c 5 p 6 k + 221 с 3 p 10 k 2 5. xy 2 – by 2 – a x + ab +y 2 – a 2. 3 а 2 b·(1 - 2а); 3. 2mx – 3m – 4x +6 4. (9с - а b ) · (9с + а b ); 6. (2p) 2 + 2 · 6pn + (3n) 2 9. (5а + 1) 2 ; 10. (7b) 2 – (5a) 2 12. (х - 2)(х 2 + 2х + 4); 11. (5x) 2 – 2 ·20 x + 4 2 8. (2c) 3 – 5 3 7. 1 + (4a) 3 I IV III II

Слайд 13

Соотнеси многочлены с их разложением на множители 3 x+3y 3х+6у 8х-12у 12/49х – 3/28у 2,4х+7,2у х 3 -х 2 -х 2 у 2 -ху 15х 3 у 2 +20х 2 у 3 - 8х 3 у 3 - 2 х 3 у 4 +4x 3 y 3 z 5х 2 у 2 ·( 3х + 4у) х 2 · (х - 1 ) -2 х 3 у 3 · ( 4+y -2 z ) 3 · (х+2у) -ху · (ху+1) 2,4 · (х+3у) 3 ·(x+y) 4 · (2х-3у) 3/7 · (4/7х-1/4у)

Слайд 14

Соотношение многочленов с их разложением на множители: g (жэ) d (дэ) h ( аш ) i ( и ) f ( эф ) b ( бэ ) e ( е ) a ( а ) c ( цэ )

Слайд 15

Что выносится за скобку в качестве общего множителя? 3 x+3y 3х+6у 8х-12у 12/49х – 3/28у 2,4х+7,2у х 3 -х 2 -х 2 у 2 -ху 15х 3 у 2 +20х 2 у 3 - 8х 3 у 3 - 2 х 3 у 4 +4x 3 y 3 z = 5х 2 у 2 ·( 3х + 4у) = х 2 · (х - 1 ) = -2 х 3 у 3 · ( 4+y -2 z ) = 3 · (х+2у) = -ху · (ху+1) = 2,4 · (х+3у) = 3 ·(x+y) = 4 · (2х-3у) = 3/7 · (4/7х-1/4у)

Слайд 16

15х 3 у 2 +20х 2 у 3 ху ·( 15х 2 у + 20ху 2 ) х 2 ·( 15ху 2 + 20у 3 ) 5х 2 у 2 ·( 3х + 4у) у 2 ·( 15х 3 + 20х 2 у) Чтобы представить многочлен в виде произведения многочлена и одночлена, необходимо в составе каждого члена многочлена выделить одинаковую часть (одинаковый множитель) Из предложенных вариантов разложения многочлена на множители выбери то, которое считается законченным .

Слайд 17

Алгоритм отыскания общего множителя нескольких одночленов Найти НОД коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен, который и будет общим числовым множителем. Найти переменные, которые входят в каждый член многочлена, и выбрать для каждой из них наименьший (из имеющихся) показатель степени. Произведение коэффициента , найденного на первом шаге , и степеней , найденных на втором шаге , является общим множителем , который целесообразно вынести за скобки

Слайд 18

195 с 6 p 5 - 91 c 5 p 6 k + 221 с 3 p 10 k 2 = 195 5 91 7 221 1 3 39 3 13 13 17 17 13 13 1 1 1 195=5·3·13 91=7·13 221=13·17 15 c 3 · c 3 p 5 - 7 c 2 pk · c 3 p 5 + 17 p 5 k 2 · c 3 p 5 = 13 13 13 c 6 , c 5 , c 3 p 5 , p 6 , p 10 --- , k , k 2 c 3 p 5

Слайд 19

= 15 c 3 · 13 c 3 p 5 - 7 c 2 p k · 13 c 3 p 5 + 17 p 5 k 2 · 13 c 3 p 5 = =13 c 3 p 5 · (15 c 3 - 7 c 2 p k + 17 p 5 k 2 ) 195 с 6 p 5 - 91 c 5 p 6 k + 221 с 3 p 10 k 2 =

Слайд 20

4c · (4c – 1) – 3 · (4c – 1) 2 = *) Иногда алгебраическое выражение задается в таком виде , что в качестве общего множителя может выступать не одночлен , а сумма нескольких одночленов: = 4c · (4c – 1) – 3 · (4c – 1) · (4c – 1) = = (4c – 1) · (4c – 3 · (4c – 1)) = = (4c – 1) · (4c – 12c + 3) = = (4c – 1) · ( – 8c + 3) = (4c – 1) · ( 3 – 8c)

Слайд 21

Иногда удаётся такая группировка, что в каждой группе после вынесения общих множителей, в скобках остается один и тот же многочлен , который , в свою очередь , может быть вынесен за скобки как общий множитель . Тогда говорят , что разложение многочлена на множители осуществлено способом группировки . Способ группировки применяется, когда члены многочлена не имеют общего множителя .

Слайд 22

= m ·(2x-3) - 2 · (2x-3) = (2x-3) ·(m-2) Члены многочлена не имеют общего множителя: Составим две группы: в первую включим 1 и 2 член, во вторую – 3 и 4: 2mx - 3m - 4x + 6 = ? 2mx - 3m - 4x + 6 = (2mx - 3m) +(- 4x + 6) = = (2x · m - 3 · m ) +(- 2x · 2 + 3 · 2 ) =

Слайд 23

x 2 – 8x +15 = = x 2 – 3x – 5x +15 = *) Разложите на множители, представив один из членов многочлена в виде суммы подобных слагаемых: = (x 2 – 3x ) + ( – 5x +15) = = x · (x – 3) – 5 · (x – 3) = = (x – 3) ·( x– 5).

Слайд 24

Формулы разложения на множители a 2 – b 2 = ( a + b ) · ( a – b ) a 2 + 2 ab + b 2 = ( a + b ) 2 a 3 + b 3 = ( a + b ) · ( a 2 – ab + b 2 ) a 3 – b 3 = ( a – b ) · ( a 2 + ab + b 2 ) a 2 – 2 ab + b 2 = ( a – b ) 2

Слайд 25

Использование формул сокращённого умножения 1 . (2p) 2 + 2 · 6pn + (3n) 2 3 . (7b) 2 – (5a) 2 2 . (5x) 2 – 2 · 20x + 4 2 5 . (2c) 3 – 5 3 4 . 1 + (4a) 3 II

Слайд 26

Зачет№5 Разложение на множители 1. Вынесите общий множитель сначала с положительным, а потом с отрицательным коэффициентом: а) 6с 2 + 4с; б) 6с 2 - 4с; в) -6с 2 + 4с; г) -6с 2 - 4с. 2. Примените формулу разности квадратов: а) 9с 2 - 4; б) 4 - 9с 2 ; в) а 3 – а b 2 . 3. Примените формулы квадрата разности и квадрата суммы: а) 9с 2 - 12с + 4; б) -9с 2 + 12с - 4; в)-18с 2 - 24с - 8. 4 * . Разложите на множители: а) Зх + ху 2 - х 2 у – Зу; б) а 3 - а b - а 2 b + а 2 ; в) а b 2 - b 2 у - ах + ху + b 2 - х. 5 * . Примените при группировке формулу разности квадратов: а) 2 a 2 – 2 b 2 - а + b ; б) ас 4 - с 4 - ас 2 + с 2 ; в) х 3 у 2 - ху - х 3 + x . 6 * .Примените при группировке формулы квадрата суммы (разности): а) 1 - х 2 + 2ху - у 2 ; б) 2х 2 - 20ху + 50у 2 - 2; в) ах 2 - 2ах - b х 2 + 2 b х - b + а.

Слайд 27

Произведение разности двух выражений на их сумму Произведение суммы двух выражений на себя Произведение разности двух выражений на себя Полный квадрат суммы Полный квадрат разности Произведение разности двух выражений на неполный квадрат суммы Произведение суммы двух выражений на неполный квадрат разности Сумма кубов Разность кубов

Слайд 28

Домашнее задание 2 544-548(г) и 594,606

Слайд 29

Решите уравнение 544(г) (4 t - 1) · (8t -3) · (12t - 17) = 0 4t – 1 = 0 или 8t -3 = 0 или 12t - 17 = 0 4t = 1 8t = 3 12t = 17 t = 1/4 t = 3/8 t = 17/12 Ответ: 1/4 ; 3/8 ; 17/12 . 545(г) 546 (г) 54 8 (г) х 2 = 4 х t 2 – 100 = 0 0,25y 2 – 25 = 0 х 2 - 4 х = 0 (t – 10) · (t+10) = 0 (0,5y – 5) · (0,5y + 5) = 0 х · (х - 4 )=0 t – 10=0 или t+10 = 0 0,5y – 5=0 или 0,5y + 5 =0 х=0 или х = 4 t = 10 или t = -10 0,5y = 5 или 0,5y = - 5 y=10 или y = -10 Ответ: 0 ; 4. Ответ: -10 ; 10. Ответ: -10 ; 10.

Слайд 30

Домашнее задание 544-545(в) и 548-549(в)

Слайд 31

Решите уравнение 544(в) (23 z - 46) · (45z + 90) · (3z + 24) = 0 23 z – 46 = 0 или 45z + 90 = 0 или 3z + 24 = 0 23 z = 46 45z = - 90 3z = - 24 z = 2 z = -2 z = - 8 Ответ : -8; -2; 2. 545(в) 3х 2 - 7х = 0 х · (3х-7)=0 х=0 или 3х - 7=0 3х = 7 х=7/3 Ответ : 0; 7/3.

Слайд 32

546 (в) z 2 -36=0 (z-6) · (z+6)=0 z-6 =0 или z+6=0 z = 6 z = - 6 Ответ : -6 ; 6. 54 8 (в) 4x 2 - 144 = 0 (2x - 12) · (2x + 12) = 0 2x – 12 = 0 или 2x + 12 = 0 2x = 12 2x = - 12 x = 6 x = - 6 Ответ : -6 ; 6.

Слайд 33

Домашнее задание: № 563(a, г ) , № 567 ( а , в ), № 580 ( б , г ), № 615 ( а , в ) , № 600 ( в , г ).

Слайд 34

Разложение на множители 1. Определите общий множитель 8х 4 у 2 — 12х 2 у 2 . а) х 2 у 2 ; б) 2х 2 у 2 ; в) 4ху; г) 4х 2 у 2 ; д) 2х 2 - 3. 2. Вынесите общий множитель за скобки в выражении За 3 с 2 + 6 a 2 c 3 - 9 a 3 c 3 . а) Зас· (а 2 с + 2ас 2 – За 2 c 2 ); б) За 2 с · (ас + 2с 2 - Зас 2 ); в) З a 2 c 2 · ( a + 2с - З c ); г) Зас 2 · (а 2 + 2ас - За 2 с); д) З a 2 c 2 · ( a - 2с + З ac ). 3. Разложите на множители Зс + Зс 2 – a – ac . а) (Зс + а) · (1 - с); б) (а - Зс) · (1 + с); в) (Зс - a ) · (1 + с); г) (Зс + a ) · (с - 1); д) (Зс - a ) · (1- с). 4 . Выберите верное равенство: а) 4 + 2у + y 3 = (2 + у) 2 ; б) х 2 - 24х + 24 = (х - 12) 2 ; в) a 2 + 4а + 4 = (а - 2) 2 г) 16 x 2 + 8ху + у 2 = (4х + y ) 2 . 5. Выберите неверное равенство: а) 4 b 2 - а 2 = (2 b + а)·(2 b - а) б) ( y + 2)·(2 - у) = y 2 - 4; в) 25 x 2 - 1 = (5 x + 1)·(5 x - 1).