«Решение квадратных уравнений геометрическим способом»
план-конспект занятия по алгебре (8 класс) на тему

Материал к занятию по теме «Решение квадратных уравнений геометрическим способом»

Тема: «Решение квадратных уравнений геометрическим способом»

Тип занятия: Изучение нового материала и первичное закрепление с комплексным применением знаний и способов деятельности

Вид занятия: Усвоение новых  знаний

Возраст учащихся: 8 класс

Форма работы: индивидуальная

Оборудование: мультимедийный компьютер

Методы обучения:

• Познавательный
• Систематизирующий
• Коммуникативный
• Логический

Цель:

Углубить знания о методах решения квадратных уравнений. Овладеть знаниями решения квадратных уравнений геометрическим способом

Задачи:

Обучающие:

• Познакомить с теорией способа решения квадратных уравнений с помощью геометрического способа
• Познакомить с применением способа решения квадратных уравнений с помощью геометрического способа
• Сформировать умения составлять алгоритмы для данного способа решения квадратных уравнений
• Развитие вычислительных навыков
• Развитие  кругозора учащихся

Развивающие:

• Развитие умения наблюдать, анализировать.
• Способствовать интеллектуальному развитию учащихся, формированию качеств мышления, познавательных интересов, творческих способностей учащихся.
• Развитие коммуникативных качеств личности

Воспитательные:

• Содействовать воспитанию интереса к математике, активности, мобильности, отношения ответственной зависимости, взаимопомощи, умения общаться, толерантности у детей
• Продолжать формировать умение правильно воспринимать и активно запоминать новую информацию

Структура занятия

1. Организационный момент. Вступительное слово учителя
2. Актуализация опорных теоретических и практических знаний о  квадратных уравнениях
3. Объяснение нового материала
4. Закрепление нового материала
5. Подведение итогов. Рефлексия

Организационный момент.          

Вступительное слово учителя. Сообщается цель, задачи занятия, план работы на занятии.

Актуализация опорных теоретических и практических знаний.                                                

 Тестовые задания:

Вариант 1:

1. Если ах2 + вх + с = 0 – квадратное уравнение, то а называют ____ коэффициентом, в ___ коэффициентом, с ___ членом;
2. Корни квадратного уравнения ах2 + вх + с = 0 вычисляются:

• Д  =  в2  –  4ас,  Д  >  или  =  0; 
• х1  =  ;
• х2  =  .

3. Квадратное уравнение вида х2 + рх + q = 0 называют _____;
4. Теорема Виета утверждает, что в уравнении вида

• х2 + рх + q  = 0;
• х1 + х2 = ____;
• х1 * х2 = ____.

Вариант 2:

1. Если  ах2 +  вх  +  с  =  0 квадратное уравнение, то:

– первый коэффициент  –  это число ___;

– второй коэффициент  –  это число ___;

– свободный член  –  это число ___;

2. Корни квадратного уравнения  ах2  +  вх  +  с = 0  вычисляются

• Д  =  в2  –  4ас;
• Д  , то х1  =  ;
• х2  =.

с. Приведённое квадратное уравнение  –  это уравнение вида _____;

d.  Теорема Виета утверждает, что в уравнении :

• х2 + рх + q = 0;
• х1 + х2 = ____;
• х1 * х2 = ____ .

Изучение нового материала. Ознакомление ещё с одним способом решения квадратных уравнений.

Геометрический способ решения квадратных уравнений

   В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведем ставший знаменитым пример из «Алгебры»  Аль-Хорезми.

● Примеры

  1.  Решим уравнение х2 + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39».

   Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна  2,

следовательно, площадь каждого равна 2. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата АВСD,  достраивая в углах четыре равных квадрата,  сторона каждого из них 2,  а площадь   6

                              D                          x                          C

                               A                           х                           B

   Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х2, четырех прямоугольников (4 ∙ 2 = 10х ) и четырех пристроенных квадратов(6), т.е. S = х2 + 10х = 25. Заменяя  х2 + 10х  числом 39, получим что  S = 39+ +25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата АВСD, т.е. отрезок АВ = 8. Для  искомой стороны  х  первоначального квадрата получим

        х =  8   –  2  –  2 =  3

2. А вот, например, как древние греки решали уравнение

               у2 + 6у – 16 = 0.

Решение представлено на рис., где

                       у2 + 6у = 16, или  у2 + 6у + 9 = 16 + 9.

Решение. Выражение  у2 + 6у – 16 +9 – 9 = 0  –  одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у  +  3 =  ± 5,  или  у1  =  2, у2  =  – 8.

                     у                       у                     3

                   3                                 

3.  Решить геометрически уравнения  у2  –  6у  – 16 = 0.

Преобразуя уравнение, получаем

                              у2  –  6у  = 16.

На рисунке находим «изображения» выражения  у2 – 6у, т.е. из площади квадрата со стороной  у  два раза вычитается площадь квадрата со стороной, равной  3.  

   Значит, если к выражению  у2 – 6у прибавить 9, то получим площадь квадрата со стороной  у – 3.  Заменяя выражение  у2 – 6у равным ему числом, получаем: (у – 3)2 = 16 +9, т.е. у – 3 = ±  или у – 3 = ± 5, где у1 = 8  и        у2 = – 2. 

                       у                       у                     3

          Применение знаний при решении типовых задач.                                          

Решите уравнения, используя геометрический способ решения квадратных уравнений:

• х2  –  10х  –  39  = 0
• х2  –  8х  +  9  =  0

 Учащиеся работают самостоятельно в тетрадях. Два человека у доски, защищая решение задачи.

Итог занятия.

• С каким способом познакомились?
• Каков план решения при этом способе?

Рефлексия.

Выбрать цвет соответствующий состоянию в конце занятия

• Зеленый – все понятно в новом способе

• Желтый – не совсем понятно
• Красный –  все непонятно, требуется помощь

Домашнее задание.

Решить уравнения геометрическим способом

• х2  +  7х  –  8  =  0
• х2  +  8х  –  9 =  0