Урок по теме: "Тригонометрические уравнения" 10 класс
методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему

Урок-семинар в 10 ф-м классе по теме

" Тригонометрические уравнения"

Цели:

• Обобщить и систематизировать материал по теме “Решение тригонометрических уравнений”
• Провести диагностику усвоения системы знаний и умений ее применения для выполнения заданий стандартного уровня с переходом на более высокий уровень.
• Содействовать рациональной организации труда.
• Развивать познавательные интересы, память, воображение, мышление, внимание, наблюдательность, сообразительность.
• Выработать критерии оценки своей работы.
• Повышать интерес учащихся к нестандартным задачам.
• Формировать у учащихся положительный мотив учения.

Содержание темы. Исследование и решение тригонометрических уравнений, в которых требуется установить способ решения.

Тип урока. Урок обобщения и систематизации знаний.

Форма урока. Урок-семинар

Организационные формы общения. Групповая, индивидуальная.

Структура урока:

• мотивационная беседа с последующей постановкой цели;
• актуализация опорных знаний – устная работа, с помощью которой ведется повторение основных фактов, ведущих идей и основных теорий на основе систематизации знаний.
• Диагностика усвоения системы знаний и умений и ее применение для выполнения практических заданий стандартного уровня с переходом на более высокий уровень.
• Подведение итогов урока.
• Творческое домашнее задание.

Ход урока

Мотивационная беседа. Решая тригонометрические уравнения, мы использовали различные способы. Их немало, повторим некоторые. На сегодняшнем уроке нам предстоит исследование и решение тригонометрических уравнений, в которых требуется установить:

• способ решения;
• при каких значениях параметра а уравнение имеет решения или не имеет их.

Актуализация опорных знаний.

Устно среди уравнений (слайд)

1. 2sin2x - 5cos2x = 3sinxcosx
2. sin2x + cos22x = 3/2.
3. cosx·sin7x = cos3x·sin5x,
4. sin2x - 2sinx – 3 = 0,
5. 2 cosx – sinx = 0,
6. sinx + sin3x = sin5x – sinx,
7. sinx – sin2x + sin3x – sin4x = 0,
8. 3sin2x + 2cos2x +2 cosx = 0,
9. sin2x - √3/3 sin2x = cos2x,
10. sinx + cosx = 1,
11. sinx + sin2x+cos3x = 0

выбрать те, которые решаются:

а) заменой переменной;

б) делением на старшую степень синуса или косинуса, т. е. как однородные;

в) понижением степени;

г) с помощью формул суммы или разности;

д) методом вспомогательного угла (аргумента);

е) с помощью формул произведения;

ё) методом универсальной подстановки;

ж) разложение на множители.

Задание учащимся:

• объяснить решение уравнений, можно рассказать алгоритм решения;
• показать решение на примере;
• предложить 2 аналогичных задания для решения одноклассникам.

Учащимся предлагается из данных уравнений выбрать способы решения тригонометрических уравнений:

Что еще нужно учитывать при решении тригонометрических уравнений?

Возможны случаи когда появляются посторонние корни. Например при решении уравнения  появляются посторонние корни.

Диагностика.

После повторения основ решения тригонометрических уравнений проверим ваше умение исследовать и решение тригонометрических уравнений, в которых требуется установить, при каких значениях параметра а уравнение имеет решения или не имеет их. Вам предлагаются следующие задания:

1. найти а, при которых данные уравнения имеют решения:

Первое уравнение решаем вместе, рассуждая, дополняя друг друга.

• 2sinx -3 cosx = а.

Поделим обе части уравнения на =, получим . Так как , то, обозначая

= cosφ, = sinφ, приведем уравнение к виду

sin(х – φ) =, где φ = arctg3/2. Из условия |sin(х – φ)|≤1 получаем

|а|≤.

Ответ: а Є [-;].

Над решением второго уравнения работаем парами, потом обменяемся идеями. Правильное решение спроецируем на экран.

• а cosx – sinx = 3.

Поделим обе части уравнения на , получим , где sinφ =

cosφ = отсюда, sin (х – φ) = Из условия ≤1 имеем a2+ 1≥9, значит,|а|≥2√2.

Ответ: а Є(-∞,-2√2]∪[ 2√2,+∞).

Вспомним решения уравнений 2 и 8 из устной работы, используем навыки при работе с третьим уравнением. 

• sin2x - 5 cosx + а = 0.

Используя формулу sin2x + cos2x = 1, получим,

1 - cos2x - 5 cosx + а = 0.

После замены cosx = t уравнение примет вид f (t) = 0, где

До этого момента в работу детей вмешиваться не надо. Остальное необходимо разбирать совместно, привлекая рисунки параболы.

f (t) = t2+ 5 t – (а + 1 )

абсцисса вершины параболы у = t2+ 5 t – (а + 1 )

t = -5/2 не принадлежит [-1;1], следовательно, уравнение

f (t) = 0 на отрезке [-1;1] может иметь не более одного корня. Искомые значения а находим из неравенства f (-1)* f (1) ≤ 0,

значит, (-5- а) (5 – а) ≤ 0.

Ответ: а Є [-5;5]. 

Самостоятельная работа.

Вариант №1 – решить уравнения 2;4;5;6;10

Вариант №2 – 1;3;7;8;9

Подведение итогов урока

Мы замечательно поработали. Те навыки, которые вы получили на уроке, помогут нам в дальнейшей работе. А чтобы вы их не потеряли, но продолжили развивать

выполните дома следующие задания.

Домашнее задание.

Выясните, при каких значениях параметра а уравнения имеют решения:

• sinх + 2 cosx = а,
• sin2x + 3sinx cosx - 2cos2x = а,
• sin2х = -3а2 + 6а – 4

При каких значениях параметра а уравнения не имеют решений.

• 2tg2х + 5tgх + а = 0,
• sin2x – 2(а – 3) sinx + а2 - 6а + 5 = 0

Решение самостоятельной работы

а) Приведением к квадратному и заменой переменной решаются уравнения 4, 8.

4.sin2x - 2sinx – 3 = 0

пусть sinx = t, тогда t2+ 2 t – 3 = 0, где t = -3; 1.

Учитывая, что |sinх|≤1, а -3<-1, имеем sinx = 1,

Х =π/2+2 π n, n Є Z.

Ответ: π /2+2 πn, n Є Z.

8.3sin2x + 2cos2x +2 cosx = 0

sin2x = 1 - cos2x, значит, 3 - 3cos2x + 2cos2x +2cosx = 0,

cos2x - 2cosx – 3 = 0,

пусть cosx = t, тогда t2- 2 t – 3 = 0, где t = 3; -1

3>1, значит, cosx = -1,

Х = π + 2 π n, n Є Z.

Ответ: π + 2 π n, n Є Z.

б) Делением на старшую степень решаются уравнения 1, 5, 9.

1.2sin2x - 5cos2x = 3sinxcosx

Разделив каждое слагаемое на cos2x,получим.

2tg2х - 3tgх - 5 = 0,

Пусть tgх = p, тогда 2p2 - 3p - 5 = 0, где p = 2,5; -1,

tgх =2,5, х = arctg2,5 + πn, n Є Z;

tgх = -1, х = -π /4 + π n, n Є Z.

Ответ: arctg2,5 + π n, n Є Z; -π /4 + π n, n Є Z.

5.√2 cosx – sinx = 0 |: cosx, cosx≠0,

tgх = √2, х = arctg√2 + πn, n Є Z

ответ: arctg√2 + π n, n Є Z

9.sin2x - √3/ 3sin2x = cos2x |: cos2x, cosx≠0

tg2х - √3/3 tg x- 1 = 0,

tgх = √3/6(1 ± √13), х = arctg √3/6(1 ± √13)+ π n, n Є Z;

ответ: arctg √3/6(1 ± √13)+ π n, n Є Z

в) Понижение степени используют при решении уравнения 2.

2.sin2x + cos22x = 3/2.

sin2x + 1/2(1 +cosx) =3/2,

2 sin2x + 1 +cosx -3 = 0,

2 - 2 cos2x + 1 +cosx -3 = 0,

2 cos2x - cosx = 0,

cosx(2 cosx – 1) = 0,

cosx = 0  или cosx = 1/2

Х = π /2 + π n, n Є Z или Х = ± π /3 + 2 π n, n Є Z.

Ответ: ± π /3 + 2 π n, n Є Z; π /2 + π n, n Є Z.

г) С помощью формул суммы или разности решаются уравнения 6, 7.

6.sinx + sin3x = sin5x – sinx

2 sin2x cosx - 2 sin2x cos3x = 0,

sin2x (cosx - cos3x) = 0,

sin22x sinx = 0,

sin2x = 0 или sinx = 0,

Х = π /2 n, n Є Z или Х = π n, n Є Z.

Объединив множества, получим, Х = π /2 n, n Є Z

Ответ: π /2 n, n Є Z

д) Методом вспомогательного аргумента, который состоит в преобразовании выражения asinx ± bcosx к виду √(a2 + b2) sin(x±φ), где φ = b/√(a2 + b2) решается уравнение 10.

7.sinx + cosx = 1.

Учитывая, что a= 1, b = 1, получим уравнение

√2 sin(x+φ) = 1, где φ = arcsin√2/2,

sin(x+ φ /4) = √2/2,

х = - π /4 + (-1) π /4+ π n, n Є Z.

Ответ: - π /4 + (-1) π /4+ π n, n Є Z.

Рефлексия.

С учащимися обсуждается работа на уроке; выясняется, что нового узнали.

Вопросы к семинару.

1. Простейшие уравнения и уравнения, непосредственно сводящиеся к простейшим.
2. Уравнения, решаемые с помощью формул преобразования суммы тригонометрических функций в произведение.
3. Уравнения, решаемые с помощью замены переменной.
4. Однородные уравнения.
5. Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени.
6. Уравнения, решаемые с помощью преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.
7. Уравнения, при решении которых используется универсальная тригонометрическая подстановка.
8. Уравнения, решаемые с помощью введения вспомогательного угла.
9. Уравнения, решаемые разложением на множители.
10. Уравнения, содержащие дополнительные условия.
11. Посторонние корни.
12. Потеря корней.
13. Задачи с параметром.

Лист самоконтроля     ___________________________________________

1.

2.

3.

Итого баллов:

4. Решить уравнения:

Вариант №1 – 2;4;5;6;10

Вариант №2 – 1;3;7;8;9