Педагогический проект по теме «Решение математических задач с химическим содержанием»
проект по алгебре (9 класс) на тему

Педагогический проект по теме «Решение математических задач с химическим содержанием»

Предметная область: математика, химия. Участники: учащиеся 9-11 классов, учителя математики, химии. В проекте заложены  цели:  выработать у учащихся понимание связей между математикой и химией  и научить решать задачи с химическим содержанием математическими методами; развивать у учащихся логическое мышление, информационную и коммуникативную  культуру, практическое применение знаний и умений; учить обрабатывать и обобщать полученную информацию в результате полученных исследований.

Аннотация: Учебный проект создан в рамках изучения учащимися элективного курса «Решение математических задач с химическим содержанием».

Данный процесс протекает через решение текстовых задач или выполнение специальных упражнений, к которым предъявлены следующие требования:

задачи должны обладать познавательной ценностью и воспитывающим влиянием на учеников;

химические понятия, используемые при решении задач, должны быть доступны школьникам;

описываемая в условии задачи ситуация, числовые значения данных и постановка вопроса должны быть реалистичными и научно обоснованными;

задачи должны положительно влиять на мотивацию учения, способствовать формированию интереса к учебе.

По окончании изучения элективного курса учащимся предлагается защита проектов «Различные способы решения задач на концентрацию, смеси, сплавы», «Вычисление процентов в жизненных ситуациях», « Исследование методов решения химических задач на проценты математическими способами».

Введение.

Межпредметные связи математики и естественных наук

Изучение всех предметов естественнонаучного цикла взаимосвязано с математикой. Математика дает учащимся систему знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности человека, а также важных для изучения смежных дисциплин (физики, химии, черчения, трудового обучения и др.).

Основные взаимосвязи предметов естественно-математического цикла

На основе знаний по математике у учащихся формируются общепредметные расчетно-измерительные умения. Изучение математики опирается на преемственные связи с курсами физики, химии, информатики, биологии, экономики. При этом раскрывает практическое применение получаемых учащимися математических знаний и умений, что способствует формированию у учащихся научного мировоззрения, представлений и математическом моделировании как обобщенном методе познания мира.

Моделирование как метод познания включает в себя:

•        построение, конструирование модели;

•        исследование модели (экспериментальное или мысленное);

•        анализ полученных данных и перенос их на подлинный объект изучения.

Решая прикладные задачи, надо пройти названные выше три этапа:

•        построение модели (перевод условия задачи с обыденного на математический язык)

•        работа с моделью (решение уравнения, неравенства и т. д.)

•        ответ на вопрос задачи

На примере таблицы1 можно проследить взаимосвязь между математикой и предметами естественно-математического цикла в изучаемых темах.                  

                                                                                            Таблица 1

Межпредметные связи математики с химией имеют достаточно большие потенциальные возможности, основанные на математических моделях химических процессов. Кроме широко используемых в химии пропорций, процентных отношений и множества задач на смеси, решение задач с химическим содержанием предоставляет широкие возможности для построения математических моделей, использующих линейные уравнения, системы линейных уравнений, производную, интегралы, дифференциальные уравнения и т. д. Приведем несколько примеров таких моделей.

Пример 1. Масса смеси карбонатов калия и натрия равна 7,64 грамма. После превращения карбонатов в нитраты масса смеси увеличилась до 11,48 грамма. Определить количество карбоната калия в смеси.

Если через х обозначить количество граммов карбоната калия, то х удовлетворяет линейному уравнению:

х/138 + (7,64 - х)/106 = 0,06

Пример 2. Газовая смесь состоит из окиси азота NO и кислорода O2. Требуется найти концентрацию O2, при которой содержащаяся в смеси окись азота окисляется с наибольшей скоростью.

Скорость реакции 2NО + O2 = 2N O2 выражается формулой V = Kx2y. Здесь х - концентрация NO (в процентах), у - концентрация O2 (в процентах), К -константа.

Тогда у = 100 - х; и V =Кх2 (100 -х), 0 ≤ х ≤ 100.

Наибольшая скорость реакции будет в том случае, когда V'(х) = 0, то есть х = 66,67 %.

Как показывают рассмотренные примеры, потенциальные возможности межпредметных связей между математикой и химией довольно обширны и многообразны и задача учителя - использовать их при изучении химии и математики.

Курс по выбору "Решение математических задач с химическим содержанием"

При отборе материала мы исходили из следующих соображений:

- на отбираемый материал из курса химии нужно смотреть с точки зрения обучения математике, чтобы в ходе изучения материала осуществлялись связи между изучаемыми предметами, а не только сообщались важные сведения из химии;

- отбираемый материал с химическим содержанием должен быть  взаимосвязанным и использоваться на серии занятиях курса по выбору в качестве практических примеров;

- учебный материал должен быть прост в восприятии и интересен с познавательной точки зрения;

- объем материала из курса химии должен быть четко ограничен сведениями, необходимыми при решении задач с химическим содержанием на уроках математики.

Исходя из вышесказанного можно сделать вывод: материал по химии, который необходим для реализации межпредметной связи с математикой, должен быть подобран таким образом, чтобы с его использованием можно было решать задачи, связанные с определением количества и массы вещества, так как эти задачи связаны с арифметическими вычислениями

Данный курс преследует цель − обучение математике с использованием задач с химическим содержанием, поэтому в условиях задач, представленных в этом курсе, используются сведения, которые относятся к таким дисциплинам как: экология, химия, агрохимия. Поэтому этот процесс должен протекать через решение текстовых задач или выполнение специальных упражнений, к которым целесообразно предъявить следующие требования

• задачи должны обладать познавательной ценностью и воспитывающим влиянием на учеников;
• химические понятия, используемые при решении задач, должны быть доступны школьникам;
• описываемая в условии задачи ситуация, числовые значения данных и постановка вопроса должны быть реалистичными и научно обоснованными;
• задачи должны положительно влиять на мотивацию учения, способствовать формированию интереса к учебе.

Предлагаемый курс по выбору для учащихся 9-х классов, планирующих продолжить обучение на естественно − математическом профиле.

В школьном курсе математики рассматриваются простейшие задачи по данной теме, задачам же на смеси и сплавы не уделяется должного внимания. В предлагаемых заданиях на экзаменах в 9-х и 11-х классах присутствует целый блок задач данной тематики.

Курс рассчитан на 17 часов.

Особенностью данного курса является его межпредметная связь с химией, так как тот тип задач, который рассматривается в данном курсе, напрямую связан с химическими процессами.

Учебный процесс курса предусматривает следующие методы и формы работы:

• изложение нового материала учителем в форме лекции;
• дифференцированный подход на практических занятиях: для всех тем курса подобраны задания различного уровня сложности, которые в зависимости от уровня усвоения материала учащимися будут им предложены;
• самостоятельная работа с учебной литературой;
• индивидуальные консультации.

Прогнозируемые результаты:

Изучение курса по выбору предполагает отработать целый блок текстовых задач, предлагаемых в рамках итоговой аттестации учащихся 9-х классов и ЕГЭ в 11-м классе.

Таблица 2

Учебно-тематический план

Существуют различные методы решения задач с химическим содержанием:

• арифметический метод;

Решить задачу арифметическим методом – значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами. Одну и ту же задачу можно решить различными арифметическими способами. Они отличаются друг от друга логикой рассуждений, выполняемых в процессе решения задачи. Выделяют два основных подвида арифметического метода решения:

1)    составление пропорций по условию задачи и нахождение четвертого пропорционального;

2)        получение числового выражения или последовательности числовых выражений и нахождение из значений.

• алгебраический метод;

Алгебраический метод обеспечивает общий подход, общий принцип в анализе и решении. Его отличие от арифметического метода прежде всего состоит в введении неизвестной величины и её специальном обозначении.

Итак, при алгебраическом методе ответ на вопрос задачи находится в результате составления и решения уравнения. В зависимости от выбора неизвестного (неизвестных), для обозначения буквой (буквами), от хода рассуждений можно составить различные уравнения по одной и той же задаче. В этом случае можно говорить о различных алгебраических способах решения этой задачи.

Составление уравнения отличается от арифметического метода не только введением буквенных обозначений неизвестных величин, но и установлением зависимостей между величинами задачи. Эти зависимости представлены здесь не в виде цепочки выражений, каждое звено которой связано с выполнением предшествующих действий и все звенья которой объединяются лишь в конце, а сразу в виде уравнения, в котором фиксируются все существенные связи между известными и неизвестными величинами. Это возможно благодаря особой функции «х», позволяющей замещать неизвестную величину особым символом и оперировать с ним.

При алгебраическом методе решения задачи важно не вычисление конкретных значений величин, а выявление и выражение основных зависимостей между известными и неизвестными значениями величин, входящих в условие задачи.

Алгебраические способы решения задач незаменимы, если задача сложна и ее нельзя решить одной - двумя пропорциями. Именно в этом случае удобно воспользоваться другими методами алгебры, чаще всего линейными уравнениями и неравенствами. Решение задач можно свести к двум этапам: составлению уравнения (системы уравнений) по условию задачи и решению полученного уравнения.

• функционально-графический метод решения текстовых задач;

Функционально-графический метод решения задач состоит в переводе условия задачи на язык функций и использовании свойств этих функций и свойств их графиков для решения задачи.

• геометрический метод;

Геометрический метод решения задач с химическим содержанием основан на переводе условия задачи на язык геометрических величин и использовании метрических свойств геометрических фигур для ее решения.

В решении задач наиболее часто используются две разновидности этого метода:

1) метод одномерных диаграмм (изображение процесса изменения одной величины отрезками);

2) метод двумерных диаграмм (изображение связи нескольких величин с помощью планиметрических фигур).

Геометрический метод очень часто используется в комбинации с другими методами решения сюжетных задач как средство получения образа задачной ситуации или как средство получения дополнительных законов связи величин.

Некоторые дроби, часто встречающиеся в повседневной жизни, получили особое название. К таким дробям относятся: – половина, – треть, – четверть и – процент. Дробные числа удобно сравнивать, если они выражены в одинаковых долях. На практике удобными оказались сотые доли.

• Процентом называется дробь (0, 01).
• Процентом от некоторой величины называется одна сотая её часть.
• Процент обозначают знаком %. С помощью этого знака можно записать:

= 1% или 0,01 = 1%. Знак % заменяет множитель 0,01.

Проценты – это числа, представляющие собой частный случай десятичных дробей. Так как любое число можно выразить десятичной дробью, то любое число можно выразить в процентах.

1. Выразите в процентах обыкновенные дроби:

, , , , .

Слово “ процент” имеет латинское происхождение: “ procentum” – это “ на сто”. Часто вместо слова “ процент” используют это словосочетание. Например, говорят, что в России на каждые 100 человек приходится 12 человек, имеющих высшее образование. Это означает: 12% населения России имеет высшее образование.

2. Учитель: Какие виды задач на проценты вы знаете?

Предполагаемый ответ:

•        Нахождение процентов от данного числа.

•        Нахождение числа по его процентам.

•        Нахождение процентного отношения двух чисел.

Учитель: Как найти  n% от числа a? Ответ:

1. Заменить проценты десятичной дробью.
2. Умножить это число на полученную десятичную дробь.

Учитель: Как найти число, n% которого равны a? Ответ:

1) Заменить проценты десятичной дробью.

2) Разделить число на полученную десятичную дробь.

Учитель: Как найти процентное отношение числа a к числу в? Ответ:

1) Разделить число а на число в.

2) Перевести полученную десятичную дробь в проценты.

3. Углубление и расширение знаний по теме “Задачи на проценты”.

Задача 1. Цена товара понизилась на 40%, а затем ещё на 25%. На сколько процентов понизилась цена товара по сравнению с первоначальной? Сколько стал стоить товар, если его первоначальная стоимость была 3000 р.?

Решение. Первоначальную цену принимаем за 100%. После первого понижения цена товара стала равна: 1) 100%-40%=60%

Второе снижение происходит от новой цены: 2) 60%*25%:100=15%

Таким образом, общее снижение цены товара равно: 3) 40%+15%=55%

Цена товара после второго снижения стала равной: 4)100% – 55% = 45%

Найдем 45% от 3000р.5) 3000*45:100=1350 (р.)

Ответ: на 55% понизилась цена товара по сравнению с первоначальной; 1350 р. стал стоить товар.

Задача 2. В магазине батон хлеба стоит 10 руб., а на лотке цена такого же батона – 9 руб.

Определите:

1)На сколько процентов дешевле продается батон с лотка, чем в магазине?

2)На сколько процентов батон хлеба в магазине дороже, чем на лотке?

Решение:

1) По условию цена “дешевого” батона сравнивается с ценой “дорогого”.

В таких задачах всегда за 100% принимают то, с чем сравнивают.

100% – батон в магазине:

9:10*100= 90%

100%-90%=10% – продается дешевле с лотка

2) На этот раз “дорогой” батон сравнивается с “дешевым”.

Значит 100% – батон на лотке:

10:9*100= 111,1%

111,1% – 100% = 11,1% – продается дороже в магазине

Ответ: на лотке батон на 10 % дешевле, чем в магазине; в магазине батон на 11,1% дороже, чем на лотке.

Задача 3. На складе было 100 кг ягод. Анализ показал, что в ягодах 99% воды. Через некоторое время часть воды испарилась, и её процентное содержание в ягодах упало до 98 %. Сколько теперь весят ягоды?

Решение: Решая задачи, в которых речь идёт о свежих и сухих фруктах и т. п., как правило, следует найти массу сухого вещества, которая остается неизменной.

1) Найдем массу сухого вещества в ягодах.

100%-99% =1% -процентное содержание сухого вещества в ягодах;

100: 100 = 1(кг) – масса сухого вещества.

2) 100%-98% =2% – процентное содержание сухого вещества в ягодах после испарения части воды;

3) Найдем новую массу ягод. Т.к. 2% равны 1 кг, имеем

1*100:2=50(кг)

Ответ: 50 кг

Задача 4. Свежий гриб содержит 90% воды, а сушеный 15%. Сколько сушеных грибов получится из 17 кг свежих? Сколько надо взять свежих грибов, чтобы получить 3,4 кг сушеных?

Решение:

1) 100%-90% =10% – процентное содержание сухого вещества в свежих грибах;

17*10:100=1,7(кг) – масса сухого вещества

100%-15% =85% – процентное содержание сухого вещества в сушеных грибах;

Т.к. 85% равны 1,7 кг, имеем

1,7*100:85=2(кг) – сушеных грибов

2) Найдем массу сухого вещества в 3,4 кг сушеных. 3,4*85:100=2,89 (кг)

Т.к 2,89 кг равны 10%, имеем 2,89*100:10=28,9(кг)- свежих грибов надо взять

Ответ: 2 кг; 28,9 кг

Задача 5. В 400 г воды растворили 80 г соли. Какова концентрация полученного раствора?

Решение: 1) Учтем, что масса полученного раствора

400+80 = 480(г)

2) Сколько процентов 80 г составляют от 480 г?

80:480*100=16,7%

Ответ: 16,7% концентрация полученного раствора.

4. Постановка домашнего задания:

Повторить виды задач на проценты.

Решить задачи:

Задача 1. При сушке ромашки теряется 85% первоначального веса. Учащиеся собрали 105 кг цветов ромашки. Достаточно ли этого количества, чтобы выполнить взятое обязательство – сдать в аптеку 15 кг сухой ромашки?

Задача 2. Вкладчик взял из сбербанка 25% своих денег, потом  оставшихся 20%  и ещё 64 тыс. р. После этого у него осталось на сберкнижке 15 % всех его денег. Как велик вклад?

Задача 3. В 100 г 20 %-ного раствора соли добавили 300 г ее 10 %-ного раствора. Определите концентрацию полученного раствора.

Задача 4. Какое количество воды надо добавить к 100 г 70 %-ной уксусной эссенции, чтобы получить 5 %-ный раствор уксуса?

Историческая справка

Пропорции в Древней Греции.

Слово «пропорция» латинского происхождения «proportio», означающее вообще соразмерность, определённое соотношение частей между собой. В древности учение о пропорциях было в большом почёте у пифогорейцев. С пропорциями они связывали мысли о порядке и красоте в природе, о созвучных аккордах в музыке и гармонии во вселенной. Некоторые виды пропорций они поэтому и называли «музыкальными», «гармоничными».

В ІV веке до н.э. общая теория пропорций для любых величин (соизмеримых и несоизмеримых) была создана трудами древнегреческих учёных, среди которых выдающееся место занимали Теэтет и Евдокс. Эта теория подробно изложена в книгах «Начала» Евклида. Пропорциями пользовались для решения разных задач и в древности, и в средние века, и сейчас.

Пропорции применяются не только в математике, но и в архитектуре, искусстве.

Заслуженное место заняла теория пропорций при решении задач с химическим содержанием.

1. Что называют пропорцией?

2.  Прочитайте равенства, записанные на доске:

;  ; 0,2:0,3=40:60;

3. Назовите крайние и средние члены пропорции;

4. Сформулируйте основное свойство пропорции;

5. Найдите неизвестные члены пропорций:

;     ;  3:y=2:5.

- Что называют растворами?

- Какие бывают растворы?

- Что такое процентная концентрация?

- Что показывает процентная концентрация?

- Из чего состоит любой раствор?

Запишем обозначение:  mв- масса вещества;

mH2O- масса воды;

mp=mв+mH2O – масса раствора;

mp=100%

ω% - процентное содержание вещества в

растворах.

Задача 1. Сколько нужно взять воды и медного купороса, чтобы приготовить 100г раствора соли CuSO4 1% концентрации.

Вычислим массу вещества и массу воды с помощью пропорции. Для этого запишем краткое условие задачи:

mp=100г – 100%

mв= ? -       1%

mH2O= ?

Составим пропорцию:   ;

Выразим неизвестную величину:

Вывод:  получили 1г соли, т.е. mв=1г.

mp= mв+ mH2O

mH2O=mр- mв

mH2O=100-1=99 (г)

Ответ: mв=1г, mH2O=99г.

Задача 2. Сколько нужно взять воды и хлорида натрия, чтобы приготовить 150г раствора с массовой долей хлорида натрия 5%?

Вычислим массу вещества и массу воды аналогично решению первой задачи. Известно, что масса раствора составляет 150г, что принимаем за 100%. Составим таблицу по условию задачи.

Вывод: При решении задач использовались пропорции, связывающие величины mв, mр, ω%.

Выразите из этой пропорции mв.

Задача 3. Какова процентная концентрация раствора, полученного растворением 5г поваренной соли в 45 г воды?

Ученик у доски оформляет решение задачи.

mв=5г – х%

mH2O=45 г

mp= ? – 100%

1) mp= mв+ mH2O

mp= 5 + 45= 50 (г)

50 г – 100 %

5 г -  x %

2) ;    %

Ответ: 10% концентрация раствора поваренной соли.

Графический метод решения задач с химическим содержанием.

Задача 1. Вычислить массу сульфита натрия, необходимого для реакции с серной кислотой, чтобы получить 16 г оксида серы (IV).

Проанализируем условие задачи. Указаны три вещества, участвующих в химическом процессе: сульфит натрия взаимодействует с серной кислотой, при этом получается оксид серы.

Вспомним, что при взаимодействии соли с кислотой получается новая соль Na2SO4 и сернистая кислота.

В ходе решения задачи данным способом выполнили следующие последовательные действия:

• Установили пропорциональную зависимость между величинами.
• Составили пропорцию.
• Решили полученную пропорцию.

Математической основой рассмотренного способа решения задач по уравнению реакции является пропорциональная зависимость между известными величинами и искомыми.

Вспомним, что называется функцией. Говорят, что определена некоторая функция, если, во-первых, задано некоторое множество точек, называемое областью определения, во-вторых, задано некоторое множество, называемое областью значений функции, в-третьих, указано определенное правило, с помощью которого каждому элементу, взятому из области определения, ставится в соответствие некоторый элемент из области значений.[26] Построение графиков функций вам известно из курса алгебры.

В данной задаче зависимость переменной m(Na2SO3) от переменной m(SO2) является функцией, т.к. каждому значению m(SO2) соответствует единственное значение m(Na2SO3).

Зависимость между пропорциональными переменными выражается формулой y=kx линейной функции. Для нашего примера это m(Na2SO3)=k m(SO2) .

Коэффициент пропорциональности – отношение величины молярной массы Na2SO3 к величине молярной массы SO2, т.е. k=126:64=1,97.

Для построения графика прямой пропорциональности составляем таблицу значений функции m(Na2SO3)=k m(SO2) .

Любая прямая определяется двумя своими точками. В данном случае, в качестве одной из таких точек целесообразно брать начало координат, а вторая точки определяется по соответствующим величинам, найденным по формулу вещества.

Изобразим зависимость m(Na2SO3) от m(SO2) графически.

По уравнению реакции:

m(SO2)= 1 моль·64 г/моль=64 г

m(Na2SO3)=1 моль·126 г/моль=126 г

рис.1

Для решения задачи (см. рис.1) на оси абсцисс отмечаем точку, соответствующую числу 16, проводим прямую, параллельную оси ординат, до пересечения с графиком прямой пропорциональности. Из точки пересечения проводим перпендикуляр к оси ординат и определяем ординату, которая указывает величину массы сульфита натрия, равную 31,5 г. (см. рис.2)

Для нахождения более точных значений графики рисуют или в более крупном масштабе, или на миллиметровой бумаге.

Подобные графические способы химических расчетов широко используются на предприятиях химической промышленности при контроле технологического процесса и анализе готового продукта в химических лабораториях. При химическом анализе сырья и готового продукта используют графики функциональной зависимости для определенной химической реакции.

Графический способ решения задач оказывается более рациональным при решении задач на смеси, смешивание растворов и др.

Задача 2. При растворении в кислоте 2,33 г смеси железа и цинка было получено 896 мл водорода (при н.у.). Вычислите массу каждого из металлов, содержащихся в смеси.

Проанализируем условие задачи. В задаче говорится о взаимодействии смеси металлов с кислотой. Значит, одновременно идут две реакции: цинка с кислотой и железа с кислотой. При этом образуются соответствующие соли, и выделяется водород, суммарный объем которого 0,896 л.

Решим данное уравнение умножив все его части на произведение 56·65:

65·22,4x + 56·22,4· (2,33-x) = 0,896·56·65

1456x + 2922,752 - 1254,4x = 3261,44

201,6x = 338,688

x = 1,68 г (Fe)

m(Zn) = 2,33 – 1,68 = 0,65 г

Ответ: m(Fe) = 1,68 г

m(Zn) = 0,65 г.

Для построения графика нужно подсчитать объем водорода (H2) , выделяемый из кислоты каждым металлом, взятым массой 2,33 г.

Строим график прямой пропорциональной зависимости согласно таблице.

рис.2

По оси абсцисс в начале координат точка 0 соответствует нулевому значению массы цинка и 2,33 г массы железа, а точка 2,33 соответствует нулевому значению массы железа и 2,33 г массы цинка. Соединив точки с координатами (0; 0,803) и (2,33; 0,932) получаем часть прямой, которая отражает зависимость выделившегося объема водорода от соотношения масс металлов в 2,33 г смеси.(рис.2)

Проведем горизонтальную прямую соответствующую значению выделенного водорода в задаче: 0,896 г и получим точку пересечения двух прямых с координатами (0,896; 0,65). Значит масса цинка 0,65 г, а масса железа 2,33 – 0,65 = 1,68 г.(рис.3)

рис.3

Ответ: в смеси было 0,65 г Zn и 1,68 г Fe.

Графический способ удобен и доступен для решения задач на вывод формул веществ.

Отношение индексов элементов в формуле можно найти графически.

Зная, что массовая доля элемента в веществе определяется по формуле

W = n∙Ar /Mr

линейная зависимость, можно найти значение

n = W∙ Mr / Ar

Решение задач на смеси  и сплавы с помощью схем и таблиц.

 Эти задачи входят в различные сборники заданий по подготовке к итоговой аттестации по математике за курс основной школы и включаются в варианты ЕГЭ.

          Долей (концентрацией, процентным содержанием) α основного вещества в смеси будем называть отношение массы основного вещества  m в смеси к общей массе смеси M:

          Эта величина может быть выражена либо в долях единицы, либо в процентах. В большинстве случаев задачи на смеси и сплавы становятся нагляднее, если при их решении использовать схемы, рисунки, таблицы. Современные психологи утверждают, что решение одной задачи несколькими способами часто бывает более полезным, чем решение одним способом нескольких задач.

           Поэтому мы с вами рассмотрим несколько способов решения задач на смеси и сплавы.

I. Рассмотрим решения задач с применением таблицы.

             Таблица для решения задач имеет вид

Задача 1. Имеется два сплава меди и свинца. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65% меди. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?

          Сумма масс меди в двух первых сплавах (то есть в первых двух строчках) равна массе меди в полученном сплаве (третья строка таблицы):

           Решив это уравнение, получаем х=140. При этом значении х выражение
200 – х=60. Это означает, что первого сплава надо взять140г, а второго 60г.

Ответ:140г. 60г.

II.      Рассмотрим решение этой же задачи с помощью следующей модели. Изобразим каждый из растворов в виде прямоугольника, разбитого на два фрагмента (по числу составляющих элементов). Для того, чтобы показать, что происходит смешивание веществ поставим знак «+» между первым и вторым прямоугольниками, а знак «=» между вторым и третьим прямоугольниками показывает, что третий раствор получен в результате смешивания первых двух. Полученная схема имеет следующий вид:

              Рассматриваемый в задаче процесс можно представить в виде следующей модели- схемы:

Решение.

Пусть х г – масса первого сплава. Тогда, (200-х)г – масса второго сплава. Дополним последнюю схему этими выражениями. Получим следующую схему:

          Сумма масс меди в двух первых сплавах (то есть слева от знака равенства) равна массе меди в полученном третьем сплаве (справа от знака равенства):

           Решив это уравнение, получаем х=140. При этом значении х выражение 200-х=60. Это означает, что первого сплава надо взять140г, а второго-60г.

Ответ:140г. 60г.

Задача1. В сосуд, содержащий 7 литров 14-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение 1способ

Пусть в сосуде изначально было  х л некоторого вещества.

Составляем пропорцию:7л-100%, х л-14%,то х=7*14/100

Откуда  х=0,98л.

После того, как в сосуд долили 7 литров воды, воды стало 14 л, а некоторого вещества по-прежнему 0,98л.

Составим очередную пропорцию:14л-100%, 0,98л-?,то 0,98*100/14=7%

Откуда  процент некоторого вещества в сосуде есть

7%.

Ответ: 7.

Задача 2. Даны два куска с различным содержанием олова. Первый, массой 300г, содержит 20% олова. Второй, массой 200г, содержит 40% олова. Сколько процентов олова будет содержать сплав, полученный из этих кусков?

Решение.

1. 300 •20 : 100 = 60 (г) - олова в первом сплаве,
2. 200 • 40 : 100 = 80 (г) - олова во втором  сплаве ;                      
3. 60 + 80 = 140 (г) -  олова   в двух сплавах вместе;
4. 200 + 300 = 500 (г) – масса куска после сплавления;
5. 140 : 500 • 100 = 28% -содержится олова после сплавления.

Задача 3. Смешали некоторое количество 15–процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19–процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

III. Старинный способ решения задач на смеси, сплавы и растворы.                                       Впервые о нем было упомянуто в первом печатном учебнике математики Леонтия Магницкого.

Решим этим способом задачу 1: . Имеется два сплава меди и свинца. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65% меди. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?

Ввиду большой простоты предложенный способ применялся купцами и ремесленниками при решении различных практических задач. Но в задачниках и различных руководствах для мастеров и торговцев никаких обоснований и разъяснений не приводилось. Просто давался рецепт решения: либо, как в предыдущей задаче, рисовалась схема, либо словесно описывалась последовательность действий — поступай так и получишь ответ.

Теория метода.

(рассматривается только в профильном классе или в классе с достаточным уровнем подготовки)

М1 – масса первого раствора

α1 концентрация первого раствора

М2 – масса второго раствора

α2 концентрация второго раствора

М1+ М2 – масса конечного раствора

α3 - концентрация конечного раствора

α1 <α3 <α2

m1 = α1⋅ М1  – масса основного вещества в первом растворе

m2 = α2⋅ М2  – масса основного вещества во втором растворе

m3 = α3⋅ (М1+М2) – масса основного вещества в конечном растворе

с другой стороны m3 = m1+ m2, получаем

α3⋅ (М1+М2) = α1⋅ М1  + α2⋅ М2;

α3⋅ М1  + α3⋅ М2 = α1⋅ М1  + α2⋅ М2;

α3⋅ М1  – α1⋅ М1  = α2⋅ М2 – α3⋅ М2;

М1⋅( α3 – α1) = М2⋅( α2 – α3);

Задача.  Один раствор содержит 20 % соли, а второй – 70 %. Сколько граммов первого и второго раствора нужно взять, чтобы получить 100 г 50% раствора.

Применим правило «креста». Составим схему:

Решить задачи:

           Задача 1. Смешали некоторое количество 12% раствора соляной кислоты с таким же количеством 20 % раствора этой же кислоты. Найти концентрацию получившейся соляной кислоты. Ответ: 16 %.

              Задача 2. В 4кг сплава меди и олова содержится 40% олова. Сколько килограммов олова надо добавить к этому сплаву, чтобы его процентное содержание в новом сплаве стало равным 70%?  Ответ:4кг.

           Задача 1: Сплав олова с медью весом 12 кг содержит 45% меди. Сколько чистого олова надо добавить, чтобы получить сплав, содержащий 40% меди.

Решение:

Сложив массу 1 сплава и массу олова, получим массу образовавшегося сплава. Составим и решим уравнение:

6,6 + х = (12+х)*0,6

6,6 + х = 7,2 +0,6х

0,4х = 0,6

х = 1,5 кг

Ответ: 1,5 кг олова нужно добавить.

Ученики у доски оформляют решение задач 2, 3 и 4.

Задача 2: Морская вода содержит 8% по весу соли. Сколько килограммов пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы содержание соли в последней составило 5%?

Решение:

Сложив массу морской воды и массу пресной воды, мы получим морскую воду нового состава. Составим и решим уравнение:

30*0,08 = (30+х)*0,05

2,4 = 1,5 + 0,05х

0,05х = 0,9

х = 18 кг

Ответ: 18 кг пресной воды

Задача 3: Из 38 тонн сырья второго сорта, содержащего 25% примесей. После очистки получается 30 тонн сырья первого сорта. Каков процент примесей в сырье первого сорта?

Решение:

Из массы сырья второго сорта вычтем массу примесей, получим массу сырья первого сорта. Составим и решим уравнение:

38*0,25 – 8 = 30*0,01х

9,5 – 8 = 0,3х

0,3х = 1,5

х = 5%

Ответ: 5% примесей

Задача 4: Определить сколько килограммов сухарей с влажностью 15% можно получить из 255 кг хлеба влажностью 45%?

Из массы хлеба с влажностью 45% вычтем массу воды, получим массу сухарей с влажностью 15%. Составим и решим уравнение:

255*0,45 – х = (255-х)*0,15

114,75 – х = 38,25 – 0,15х

х – 0,15х = 114,75 – 38,25

0,85х = 76,5

х = 90 кг воды

255 – 90 = 165 кг сухарей

Ответ: 165 кг сухарей.

Задачи для самостоятельного решения:

1) Сколько килограммов воды нужно выпарить из 0,5 тонн целлюлозной массы, содержащей 85% воды, чтобы получить массу с содержанием воды 75%? Ответ: 0.2 тонны

2) Свежие грибы содержат по весу 90% воды, а сухие 12% воды. Сколько получиться сухих грибов из 22 кг свежих? Ответ: 2,5 кг

3) Кусок сплава меди и цинка массой 36 кг содержат 45% меди. Какую массу меди следует добавить к этому куску, чтобы получить сплав, содержащий 60% меди? Ответ: 13.5 кг

Задачи для домашнего задания:

            Имеется 200 г сплава, содержащего золото и серебро в отношении 2:3. Сколько граммов серебра надо добавить к этому сплаву, чтобы новый сплав содержит 80% серебра? Ответ: 200 г

           В свежих яблоках 80% воды, а в сушеных 20%. На сколько процентов уменьшается масса яблок при сушке? Ответ: 75%

Решение сложных задач на смеси  и сплавы.

          Задача 1: Имеется два раствора серной кислоты в воде: первый – сорокапроцентный, второй – шестидесятипроцентный. Эти два раствора смешали и добавили 5 кг чистой воды и получили двадцатипроцентный раствор. Если бы вместо 5 кг чистой воды добавили 5 кг восьмидесятипроцентного раствора, то получился бы семидесятипроцентный раствор. Сколько было сорокапроцентного и шестидесятипроцентного растворов?

Оформим решение этой задачи в виде таблицы.

Решение:

1 способ (относительно воды)

0,6х + 0,4у + 5 = 0,8(х + у + 5)

0,6х + 0,4у + 5*0,2 = 0,3(х + у + 5)

0,6х + 0,4у + 5 = 0,8(х + у + 5)

0,6х + 0,4у + 1 = 0,3(х + у + 5)

4 = 0,5(х + у + 5)

х + у + 5 = 8

0,6х + 0,4у + 5 = 0,8*8

0,6х + 0,4у = 6,4 – 5

0,6х + 0,4у = 1,4

6х + 4у = 14

3х + 2у = 7

2у = 7 – 3х

у = (7 – 3х):2

4 = 0,5(х + (7 – 3х):2 + 5)

8 = х + (7 – 3х):2 + 5

3 = х + (7 – 3х):2

6 = 2х + 7 – 3х

х = 1 кг

у = 2 кг

2 способ (относительно серной кислоты)

0,4х + 0,6у + 0 = 0,2(х + у + 5)

0,4х + 0,6у + 5*0,8 = 0,7(х + у + 5)

0,4х + 0,6у = 0,2(х + у + 5)

0,4х + 0,6у + 4 = 0,7(х + у + 5)

4 = 0,5(х + у + 5)

8 = х + у +5

х + у = 3

у = 3 – х

0,4х + 0,6(3 – х)= 0,2*8

0,4х +1,8 – 0,6х = 1,6

0,2х = 0,2

х = 1 кг

у = 3 – 1 = 2 кг

Ответ: 1 кг сорокапроцентного раствора Н2SO4 и 2 кг шестидесятипроцентного раствора Н2SO4.

Ученик у доски разбирает решение следующей задачи.

Задача 2: Сплав меди с серебром содержит серебра на 1845 г больше, чем меди. Если бы к нему добавить некоторое количество чистого серебра, по массе равное 1/3 массы чистого серебра, первоначально содержащегося в сплаве, то получился бы новый сплав. Содержащий 83,5% серебра. Какова масса сплава и каково первоначальное процентное содержание в нем серебра?

Решение:

х + х = 0,835(2х – 1845 + х )

х = 0,835(х – 1845)

х = 2505 г серебра

2*2505 – 1845 = 3165 г сплава

3165 г ----- 100%

2505 г ----- у%

у = 79,1%

Ответ: 3165 г сплава, в котором первоначально 79,1% серебра.

Задача для самостоятельной работы:

1)   Некоторое вещество впитывает влагу, увеличивая при этом свою массу. Чтобы впитать 1400 кг влаги, требуется взять нераздробленного вещества на 300 кг больше, чем раздробленного. Сколько процентов от массы вещества составляет масса впитанной влаги в случае раздробленного вещества и в случае нераздробленного вещества, если во втором случае это число процентов на 105 меньше, чем в первом?

2)     Имеется кусок сплава меди и никеля общей массой 10 кг, со-

держащий 45% меди. Сколько чистого никеля надо добавить к

этому куску, чтобы получившийся новый сплав содержал 30%

меди?

3) В сосуд содержащий 4 кг 60 % -го водного раствора хлорида натрия добавили 6 кг воды. Найдите концентрацию получившегося раствора хлорида натрия.