урок решения ключевых задач по теме Квадратные корни.
методическая разработка по алгебре (8 класс) на тему

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

1. Мотивационно-ориентировочный этап

К началу урока учитель просит двух учеников оформить решение домашнего задания на доске. Один из учеников оформляет №№ 340 (2,4), 343 (2,6),  а другой - №№ 362 (2,4), 363 (2,4).

1. Актуализация

Начнем урок с проверки домашнего задания. Ученик №1, расскажи, пожалуйста, как ты решал № 340?

Какой  теоремой при решении этих примеров ты пользовался?

Теоремой об извлечении арифметического квадратного корня из произведения.

Сформулируй эту теорему.

Корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.

Хорошо. Запиши, пожалуйста, на доске эту теорему с помощью символов.

Если

А теперь расскажи, пожалуйста, какой теоремой ты пользовался при решении № 343?

Этой же теоремой, но в обратную сторону.

Молодец, можешь садиться. Ученик №2, скажи, пожалуйста, какой теоремой ты пользовался при решении № 362?

Теоремой об извлечении арифметического квадратного  корня из дроби.

Сформулируй эту теорему.

Корень из дроби равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя.

Хорошо. Запиши ее, пожалуйста, на доске с помощью символов.

Если

Верно, а как ты решал № 364? Что использовал?

Использовал теорему об извлечении арифметического квадратного корня из дроби, но в обратную сторону.

Хорошо, садись, пожалуйста. Давайте теперь вспомним одну из теорем, изученных на прошлых уроках, упростив выражение:

(Ученик, вызванный учителем, оформляет решение на доске, а все остальные в своих тетрадях):

Какой теоремой ты воспользовался при выполнении данного задания?

Воспользовался следующей теоремой: для любого числа а справедливо равенство  

Хорошо, но полученный ответ не является оканчательным. Нужно рассмотреть два случая в зависимости от числа а.

Если а ≥ 0, то а3 ≥ 0 и поэтому | а3| = а3

Если а < 0, то а3 < 0 и поэтому | а3|  = -а3

2. Мотивация

На прошлом уроке было изучено два способа избавления от иррациональности в знаменателе дроби. Вспомним их, решив следующие примеры:

Как вы избавились от иррациональности в знаменателе дроби в первом примере?

Домножили числитель и знаменатель дроби на корень, стоящий в знаменателе.

Верно. А каким образом вы избавились от иррациональности в знаменателе дроби во втором примере?

Путем разложения числителя дроби на множители так, чтобы один из сомножителей был равен знаменателю.

Хорошо. А теперь попробуйте избавиться от иррациональности в знаменателе следующей дроби:

(Не могут найти способ решения)

Давайте, оставим пока этот пример и попробуем выполнить другие задания:

1. Упростите выражение:
2. Сравните числа:       и

(Не могут выполнить задания)

3. Постановка учебной задачи

Итак, сегодня мы должны открыть и сформулировать  третий способ избавления от иррациональности в знаменателе дроби и научиться применять этот способ; а также выявить основные виды задач на применение изученных теорем и   научиться применять эти теоремы для решения более сложных задач.

2. Содержательный этап

Упростите выражение:

(Один из сильных учеников или сам учитель оформляет решение на доске, а все остальные в своих тетрадях):

Каким образом упрощали это выражение?

Приводили к общему знаменателю, домножая первую дробь на (), а вторую на ()

Верно, давайте заметим, что при умножении разности () на сумму (), мы получили выражение, не содержащие корней. Таким образом, открыли третий способ избавления от иррациональности в знаменателе дроби. Сформу-лируйте его.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби, нужно числитель и знаменатель этой дроби умножить на сумму, если в знаменателе стоит разность или числитель и знаменатель этой дроби умножить на разность, если в знаменетеле стоит сумма.

Правильно. Такой способ избавления от иррациональности в знаменателе дроби называется умножением на сопряженное.

Теперь, используя это правило, избавьтесь от иррациональности в знаменателе в нерешенном ранее примере:

Объясните, как вы избавлялись от иррациональности в знаменателе данной дроби.

Числитель и знаменатель дроби умножили на число (), то есть на число, сопряженное знаменателю.

Хорошо. Теперь вы можете решать такие примеры, используя новый способ избавления от иррациональности в знаменателе дроби.

А сейчас выполните следующее задание:

Вынесите множитель из-под знака корня (буквой обозначено любое число):

Какое действие стоит под знаком корня?

Умножение.

Верно, чем тогда можно воспользоваться?

Теоремой об извлечении арифметического квадратного корня из произведения.

При каких условиях можно использовать эту теорему?

При а ≥ 0 и b ≥ 0.

В данном случае эти условия выполняются?

Да, выполняются, так как 16 > 0 и х ≥ 0 (х записано под знаком корня, корень существует).

Решите этот пример.

Молодцы. Только что мы научились выносить числовой множитель из-под знака корня. А теперь давайте научимся выносить буквенный множитель из-под знака корня. Выполните следующее задание:

 Вынесите множитель из-под знака корня (буквой обозначено любое число):

Какое действие стоит под знаком корня?

Умножение.

Верно, какую теорему тогда будем использовать?

Теорему об извлечении арифметического квадратного корня из произведения.

Эта теорема справедлива при определенных условиях. В данном случае они  выполняются?

Да, выполняются, так как 3 > 0 и а ≥ 0 (а записано под знаком корня, корень существует).

Решите этот пример.

Какой еще теоремой вы пользовались при решении?

Пользовались следующей теоремой : для любого числа а справедливо равенство

Правильно. Но пример еще не решен полностью. Запишите, пожалуйста, оканчательный ответ в зависимости от числа а.

Если а ≥ 0, то

Если а < 0, то

Верно, таким образом, мы научились выносить буквенный множитель из-под знака корня.

А теперь выполните другое задание:

Внесите множитель под знак корня:

Внесите сначала числовой множитель под знак корня.

Какую теорему при этом используете?

Теорему об извлечении арифметического квадратного корня из произведения, но в обратную сторону.

Хорошо. Число а какое? Положительное или отрица-тельное?

Число а может быть как и положительное, так и отрицательное.

Заметим, что

.

А это неверно. Значит, не все так просто.

Какие возможны два случая в зависимости от числа а?

Если а ≥ 0, то

Если а < 0, то

Правильно. Итак, мы научились выносить числовой и буквенный множители из-под знака корня, а также вносить числовой и буквенный множители под знак корня. Наконец-то, мы можем выполнить задания, которые не смогли решить ранее:

1. Упростите выражение:
2. Сравните числа:

            и

Сначала упростим выражение.

Какое преобразование нужно выполнить, чтобы упростить данное выражение?

Нужно вынести числовой множитель из-под знака корня.

Какую теорему при этом используете?

Теорему об извлечении арифметического квадратного корня из произведения.

Правильно, давайте оформим решение данного примера.

(Учитель сам оформляет решение на доске):

А теперь сравним два данных числа.

Какое преобразование нужно выполнить, чтобы сравнить данные числа?

Нужно внести числовой множитель под знак корня.

Какую теорему при этом пприменяете?

Теорему об извлечении арифметического квадратного корня из произведения, но в обратную сторону.

Верно, оформим теперь решение.

(Учитель сам оформляет решение на доске):

 и

Выполним еще одно задание:

№ 369 (1)

Извлеките корень:

(Один из сильных учеников или сам учитель оформляет решение на доске, а все остальные в своих тетрадях).

При каком а существует данное  выражение?

Данное выражение существует при любом а.

Какой теоремой уже можно воспользоваться?

Теоремой об извлечении арифметического квадратного корня из дроби.

Какой корень сейчас можно вычислить?

Какое действие стоит под знаком корня в числителе?

Умножение.

Какую теорему тогда можно применить?

Теорему об извлечении арифметического квадратного корня из произведения.

Вычисляем теперь полученные корни в числителе, какую при этом теорему используем?

Используем следующую теорему : для любого числа а справедливо равенство

Запиши оканчательный ответ в зависимости от числа а.

Если а ≥0, то

Если а < 0, то

3. Рефлексивно-оценочный этап

Какова была цель урока?

Выявить основные виды задач на применение изученных теорем, а именно на вынесение множителя из-под знака корня, на внесение множителя под знак корня, открыть и сформулировать третий способ избавления от иррациональности в знаменателе дроби

Достигли ли мы ее?

Да

Как мы ее достигли?

Мы сформулировали новый способ избавления от иррациональности в знаменателе дроби (умножение на сопряженное): чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби, нужно числитель и знаменатель этой дроби умножить на сумму, если в знаменателе стоит разность или числитель и знаменатель этой дроби умножить на разность, если в знаменетеле стоит сумма, то есть числитель и знаменатель этой дроби умножить на число, сопряженное знаменателю.

Также выявили основные виды задач на вынесение множителя из-под знака корня, внесение множителя под знак корня и на избавление от иррациональности в знаменателе дроби новым способом.

Дается домашнее задание:

№ 351 (1,4)

Внести множитель под знак корня (буквами обозначены положительные числа):

№ 352 (4)

Сравнить:

№ 355 (4)

Упростить выражение:

4)

№ 366 (3,5,7)

Исключить иррациональность из знаменателя:

№ 369 (2,4)

Извлечь корень:

2)

4) , где а < 0

№ 351 (1,4)

1) 

(Используется теорема об извлечении арифметического квадратного корня из произведения в обратную сторону).

4) 

(Используется теорема об извлечении арифметического квадратного корня из произведения в обратную сторону).

№352 (4)

  и

(Используется теорема об извлечении арифметического квадратного корня из произведения в обратную сторону).

№ 355 (4)

(Используется теорема об извлечении арифметического квадратного корня из произведения).

№ 366 (3,5,7):

(Используется новый способ избавления от иррациональности в знаменателе дроби - умножение на сопряженное).

№ 369 (2,4)

2)

(Используется теорема об извлечении арифметического квадратного корня из дроби, теорема об извлечении арифметического квадратного корня из произведения и теорема: )