Урок по теме "Квадратные уравнения"
план-конспект урока по алгебре (8 класс) на тему

Урок

по теме «Квадратные уравнения»

Цель урока:

• систематизировать и обобщить знания учащихся по теме;
• развитие исследовательских умений.

Ход урока

Организационный момент

Учитель. Сегодня мы завершаем изучение темы «Квадратные уравнения». Цель этого урока – вспомнить способы решения квадратных уравнений различных видов, систематизировать имеющиеся знания и самостоятельно получить некоторые дополнительные формулы, облегчающие решения квадратных уравнений в некоторых особых случаях.

Блиц-опрос  ( фронтальный устный опрос)

На доске таблица с предложенными уравнениями

1. 3х2  +4х -5 =0
2. х2  -4х +3 =0
3. 5х2  -10х  =0
4. х2  = 0
5. 2х2  -32  =0
6. х2  +4  =0
7. х2  - 2х -8 =0
8. 2х2  -5х +3 =0
9. 5х2  -1 =5х2  +х
10.  234х2  +130х -364 =0

1. Какое уравнение называется квадратным? [ax2+bx+c = 0 при  а = 0.]
2. Все ли,  предложенные уравнения квадратные? ( все, кроме № 9)
3. Как называется выражение вида  b2-4ac?  [Дискриминант.]
4. Сколько корней имеет квадратное уравнение D = 0? [Один.]
5. Какое максимальное число корней может иметь квадратное уравнение? В каком случае?[Два; если D > 0.]
6. Какие уравнения будут приведенными? [У которого а = 1. (№ 2,4,6)]
7. Какие предложенные уравнения неполные (№ 3,4,5,6,).
8. Представлены все ли виды неполных квадратных уравнений? Назовите их.
9. Назовите математика, доказавшего, что сумма корней приведённого квадратного уравнения равно второму коэффициенту с положительным знаком, а произведение – свободному члену. [Франсуа Виет.]
10. Всегда ли модно применять теорему Виета? [Нет, только когда D >= 0.]
11. Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета. [Если числа а и в таковы, что а + в = -p, а∙в = q, то они являются корнями уравнения x2+px+q = 0.]

11.  Используя  теорему Виета  в уравнении 7)  х2  - 2х -8 =0 найдите:

а)  сумму корней :  х1+х2;                                              (2)

б) произведение корней:    х1∙х2;                                   (-8)

в) квадрат суммы корней: ( х1 +х2)2;                              (4)

г) удвоенное произведение корней: 2 х1∙х2;                ( -16)

д) значения суммы 1/х1+1/х2 ;                                    ( -0,25)

е) +                                                    ( 56)

Повторение

Учитель. Мы уже вспомнили имя Франсуа Виета – одного из математиком, занимавшихся изучением уравнений и их классификацией. Сейчас, вспоминая основные способы решения квадратных уравнений, мы узнаем имя другого математика, жившего в Древней Греции и посвятившего решению линейных и квадратных уравнений много времени.

На доске записаны квадратные уравнения и соответствующие им буквы. Отвечая на вопрос, вам нужно выбрать из предложенных такое уравнение. Которое проще решить указанным способом, назвать букву и составить слово.

Какое уравнение удобнее решать:

- извлечением квадратных корней из обеих его частей? [Д]

- вынесением общего множителя за скобки? [И]

- представляя его в виде квадратного двучлена? [О]

- используя общую формулу корней? [Ф]

- по формуле, связанной с чётностью коэффициента? [А]

- по теореме, обратной теореме Виета? [Н]

- разложением на множители по формуле разности квадратов? [Т]

Изучение нового материала

1. На доске записаны два уравнения:

3х2+4х-5 = 0 и 3х2-4х+5 = 0.

        Выясните, имеют ли они корни. [1-е уравнение: да, D = 76; 2-е уравнение: нет, D = -44.]

2. В каком случае, не находя дискриминанта, можно утверждать, что уравнение имеет корни? [Если первый и третий коэффициенты имеют противоположные знаки.]
3. Как определить знаки корней квадратного уравнения? [С помощью теоремы Виета.]
4. С чего лучше начать решение следующих квадратных уравнений:

2х2+4х-10 = 0  и  -3х2+7х-8 = 0?

[Разделить обе части на одно и то же число.]

5. Решите квадратные уравнения и заполните предложенную таблицу (частично заполненные бланки выдаются учащимся, они заполняют колонки, выделенные фоном).

6. Проанализируйте полученные результаты. Какие закономерности прослеживаются в составленной таблице? Есть ли среди представленных уравнений те, которые не удовлетворяют этим закономерностям?

Возможные результаты анализа

Наблюдение 1. Все уравнения, кроме одного (№ 8), имеют корень 1 или -1.

Наблюдение 2. Есть уравнения, имеющие одинаковые по модулю соответствующие коэффициенты и обладающие свойством 1.

Гипотеза 1. Возможно, наличие у уравнения корня 1 или -1 зависит от его коэффициента.

Гипотеза 2. Пусть дано квадратное уравнение вида ах2+bх+с = 0. Если

а+b+с = 0, то х1= 1 и х2  = .

Гипотеза 3. Пусть дано квадратное уравнение вида а+b+с = 0. Если

а-b+с = 0, то х1= -1 и х2  = - .

Гипотезы 2 и 3 доказываются под руководством учителя.

Самостоятельная работа

Учащимся раздаются чистые листы формата А4.

А. (1 мин) На лежащих перед вами листах в правом верхнем углу запишите свою фамилию и составьте 5 уравнений (не более чем с трёхзначными коэффициентами), для решения которых применяются доказанные гипотезы. Поменяйтесь листами с соседом по парте.

Б. (2 мин) На полученных листах запишите в нижнем правом углу свою фамилию и решите предложенные уравнения, используя гипотезу. Сдайте листы учителю.

Решение нестандартных задач

1. При каких значениях р отношение корней уравнения 4х2 +рх -27 =0 равно   -3. ( Ответ: при р=12; р=-12)
2. Решите уравнение: х2+/IхI -10=0         (2; -2 )
3. Составьте квадратное уравнение, корни которого равны 2+ и 2 - .

[х2-4х+1 = 0].

Задание на дом

1. Решите каждое из квадратных уравнений не менее чем двумя способами:

а)        х2+х = 90                                в)  х2+х-10 = 0

б)        -4х = 7х2                                г) х2+4х-5 = 0

2. Разность корней уравнения равна 1,5:

                2х2-5х+с = 0.         Найдите с.

3*. Решите уравнение двумя способами:

(х+3)2-2(х+3)-8 = 0.

Подведение итогов

-сегодня на уроке я узнал…

-сегодня на уроке я научился…

-сегодня на уроке я познакомился…

-сегодня на уроке я повторил…

-сегодня на уроке я закрепил.

Раздаточный материал