Развитие приемов и методов решения учащимися 5-6 классов нестандартных текстовых задач.
методическая разработка по математике (5, 6 класс) по теме

Развитие приемов и методов решения учащимися 5-6 классов нестандартных текстовых задач

Выполнила:

Багаутдинова Флюра

Асхатовна

учитель математики

ГБОУ СОШ с.Камышла

г. Самара 2016

Пояснительная записка     

        Общепризнанно, что решение задач является важнейшим средством формирования у школьников системы основных математических знаний, умений, навыков; ведущей формой учебной деятельности учащихся в процессе изучения математики; одним из факторов их математического и личностного развития. Эффективное использование задач в процессе обучения в значительной мере определяет не только качество обучения математике, но и их воспитание, развитие индивидуальных сущностных качеств и степень их практической подготовленности к деятельности в различных сферах экономики, политики, науки, искусства.

        Анализ  результатов различных мониторингов и олимпиад  говорит о том, что решаемость задания, содержащего текстовую задачу, составляет в среднем около 30%. Такая ситуация позволяет сделать вывод, что большинство учащихся не в полной мере владеют техникой решения текстовых задач и не умеют  увидеть типовые задания, которые были отработаны на уроках в рамках школьной программы. По этой причине возникла необходимость более глубокого изучения этого традиционного раздела элементарной математики.

       Олимпиадная задача по математике – это задача повышенной трудности, нестандартная как по формулировке, так и по методам решения. При решении олимпиадных задач развивается творческое и логическое мышление, формируются способности нестандартно мыслить, проявляется самостоятельность, умение применять и использовать полученные знания в решении прикладных и практических задач. К сожалению, на уроках часто не хватает времени на решение и разбор таких задач.

Какая задача по математике может называться нестандартной? Хорошее определение приведено в книге « Как научиться решать задачи» авторов Л.М. Фридмана, Е.Н. Турецкого. Нестандартные задачи - это такие, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения

Нестандартная задача в отличие от традиционной не может быть непосредственно в той форме, в которой она предъявлена, решена по какому-либо алгоритму. Такие задачи не сковывают ученика жесткими рамками одного решения. Необходим поиск решения, что требует творческой работы логического мышления и способствующий его развитию. Такая задача может быть очень простой, но с необычным содержанием, что требует при её решении напряжения ума и работы операций логического мышления.

При решении нестандартных задач развиваются воображения и фантазия, память и внимание, гибкость мышления, ум ребенка становится острее, формируются умения наблюдать, анализировать явления, проводить сравнения, обобщать факты, делать выводы. Рассуждения учащихся становятся - последовательными, доказательными, логичными, а речь - четкой, убедительной и аргументированной.

 Умение решать задачи – критерий успешности в учебе. Очень важно показать, как обычную жизненную ситуацию можно описать математической моделью.

Нестандартные задачи делятся на 2 категории:

I категория. Задачи, примыкающие к школьному курсу математики, но повышенной трудности - типа задач математических олимпиад.

II категория. Задачи типа математических развлечений.

Первая категория нестандартных задач предназначается в основном для школьников с определившимся интересом к математике; тематически эти задачи обычно связаны с тем или иным определённым разделом школьной программы. Относящиеся сюда упражнения углубляют учебный материал, дополняют и обобщают отдельные положения школьного курса, расширяют математический кругозор, развивают навыки в решении трудных задач.

Вторая категория нестандартных задач прямого отношения к школьной программе не имеет и, как правило, не предполагает большой математической подготовки. Это не значит, однако, что во вторую категорию задач входят только лёгкие упражнения. Здесь есть задачи с очень трудным решением

Материалы разработки могут быть использованы как в рамках урока (5 – 7 класс), так и на занятиях математического кружка или факультатива.

Цель работы: развитие у учащихся 5-6 классов практических навыков решения нестандартных текстовых  задач

Преподавание данного   курса   направлено  на достижение  следующей цели:  формирование умения применять знания в нестандартной ситуации на примере текстовых задач.

Исходя из цели, курс  решает следующие задачи:

•    определить уровень  способностей  учащихся  и уровень их готовности к решению олимпиадных задач и к профильному обучению в школе, ВУЗе;
•    систематизировать ранее полученные знания по решению текстовых задач;
•    познакомить учащихся с ближайшим развитием методов решения текстовых задач и их разнообразием;
•    научить применять разные методы  и приемы при решении текстовых задач.

Для успешного решения олимпиадных задач  необходимы следующие факторы:

•   объем фактических знаний;
•   развитые воображение, фантазия, интуиция;
•   опыт самостоятельных решений;
•   навыки владения основными мыслительными операциям

   ( анализ, синтез, сравнение, сопоставление, аналогия и т.д.);

• постоянное совершенствование логических навыков.

Стандартная схема решения текстовых задач такова:

•    анализ условия, введение буквенных обозначений;
•    схематическая запись условия в виде таблицы, схемы;
•    составление модели (уравнения, неравенства, системы);
• решение уравнения (неравенства, системы);
• проверка корней (все ли имеют смысл в контексте условия задачи);
• исследование, обобщения задачи или способа решения на видоизмененные условия.

Опыт показывает, что первые три пункта вызывают у учащихся наибольшие затруднения.  Для решения этой проблемы рассматриваются базовые задачи.

Ожидаемые результаты

После изучения курса учащиеся должны:

• выбирать эффективные методы решения той или иной задачи;
• уметь  применять  полученные  математические знания при решении задач;
• уметь применять  дополнительную информацию для решения конкретных  текстовых задач.

Приложения

1.Из двух пунктов  А и В, находящихся друг от друга на расстоянии 120км, по прямолинейным дорогам, сходящимся в пункте С под углом 60°, одновременно выехали в С соответственно со скоростями 40км/ч и 60км/ч автобус и грузовик. Автобус прибыл в С на 1 час раньше грузовика. За какое время автобус проехал путь ВС?

2.Из бака, наполненного спиртом, вылили часть спирта и дополнили водой. Потом из бака вылили столько же литров смеси. После этого в баке осталось 49 литров чистого спирта. Сколько литров спирта вылили в первый раз и сколько во второй, если вместимость бака 64 литра?

3. Ваня, Миша, Алик и Вадим ловили рыбу. Оказалось, что количество рыб, пойманных каждым из них, образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию. Если бы Алик поймал столько же  рыб, сколько Вадим, а Вадим поймал бы на 12 рыб больше, то количество рыб, пойманных юношами, образовывали бы в том же порядке геометрическую прогрессию. Сколько рыб поймал Миша?

4.В классе 38 человек. Из них 16 играют в баскетбол, 17 - в хоккей, 18 - в футбол. Увлекаются двумя видами спорта - баскетболом и хоккеем - четверо, баскетболом и футболом - трое, футболом и хоккеем - пятеро. Трое не увлекаются ни баскетболом, ни хоккеем, ни футболом.

Сколько ребят увлекаются одновременно тремя видами спорта?

Сколько ребят увлекается лишь одним из этих видов спорта?

Решение.

Воспользуемся кругами Эйлера.

Пусть большой круг изображает всех учащихся класса,

а три меньших круга Б, Х и Ф изображают соответственно баскетболистов, хоккеистов и футболистов.

Тогда фигура Z, общая часть кругов Б, Х и Ф, изображает ребят, увлекающихся тремя видами спорта.

Из рассмотрения кругов Эйлера видно, что одним лишь видом спорта -

баскетболом занимаются

16 - (4 + z + 3) = 9 - z;

одним лишь хоккеем

17 - (4 + z + 5) = 8 - z;

одним лишь футболом

18 - (3 + z + 5) = 10 - z.

Составляем уравнение, пользуясь тем, что класс разбился на отдельные группы ребят; количества ребят в каждой группе обведены на рисунке рамочкам:

3 + (9 - z) + (8 - z) + (10 - z) + 4 + 3 + 5 + z = 38,

z = 2.

Таким образом, двое ребят увлекаются всеми тремя видами спорта.

Складывая числа 9 - z, 8 - z и 10 - z, где z = 2, найдем количество ребят, увлекающихся лишь одним видом спорта: 21 человек.

Ответ.

Двое ребят увлекаются всеми тремя видами спорта человека.

Увлекающихся лишь одним видом спорта: 21 человек.

 Метод Эйлера является незаменимым при решении некоторых задач, а также упрощает рассуждения. Однако, прежде чем приступить к решению задачи, нужно проанализировать условие. Иногда с помощью арифметических действий решить задачу легче.

"Обитаемый остров" и "Стиляги"

5. Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 15 ребят смотрели фильм «Обитаемый остров», 11 человек – фильм «Стиляги», из них 6 смотрели и «Обитаемый остров», и «Стиляги». Сколько человек смотрели только фильм «Стиляги»?

Решение

Чертим два множества таким образом:

6 человек, которые смотрели фильмы «Обитаемый остров» и «Стиляги», помещаем в пересечение множеств.

15 – 6 = 9 – человек, которые смотрели только «Обитаемый остров».

11 – 6 = 5 – человек, которые смотрели только «Стиляги».

Получаем:

Ответ. 5 человек смотрели только «Стиляги».

Задача №6. -Для одной лошади и двух коров выдают ежедневно 34 кг сена, а для двух лошадей и одной коровы -35 кг сена. Сколько сена выдают одной лошади и сколько одной корове?

Запишем краткое условие задачи:

 1 лошади и 2 коров -34кг.

 2 лошадей и 1 коров -35кг.

Можно ли узнать, сколько сена потребуется для 3 лошадей и 3 коров?

 (для 3 лошадей и 3 коров – 34+35=69 кг)

 Можно ли узнать, сколько сена потребуется для одной лошади и одной коровы? (69 : 3 – 23кг)

Сколько сена потребуется для одной лошади? (35-23=12кг)

 Сколько сена потребуется для одной коровы? (23 -13 =11кг)

 Ответ: 12кг и 11 кг

7.Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
Решение.
Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%, то есть зарплата мужа составляет 67% дохода семьи. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%, то есть 2/3 стипендии составляют 4% дохода семьи, а вся стипендия дочери составляет 6% дохода семьи. Таким образом, доход жены составляет 100% − 67% − 6% = 27% дохода семьи.

Ответ: 27.

8. Банк начисляет 5% годового дохода. Первоначальный вклад равнялся 10 000 р. После начисления годового дохода вклад можно дополнить некоторой суммой. Найдите ее величину, если общий вклад через 2 года должен равняться 21 000 р.

Решение: Через один год вклад увеличится на 5% от 10 000 р., т. е. на 500 р. Поэтому после первого года вклад будет равен 10 500 р. Пусть S - дополнительный взнос. Тогда в начале второго года хранения вклад будет равен 10 500 + S рублей. После второго года он увеличится на 5% от этой суммы, т. е. на 0,05(10 500 + S) =525 + 0,05S рублей. Поэтому после второго года вклад будет равен (10 500 + S) +(525 + 0,05S) рублей. По условию этот вклад равен 21 000 р. Значит,

10 500 + S + (525 + 0,05S) = 21 000,

1, 05S = 9975,

S = 9500.

Ответ: 9500

Задачи на концентрацию смеси и сплавы

9. Имеются два слитка сплава золота с медью. Первый слиток содержит 230 г золота и 20 г меди, а второй слиток – 240 г золота и 60 г меди. От каждого слитка взяли по куску, сплавили их и получили 300 г сплава, в котором оказалось 84% золота. Определить массу (в граммах) куска, взятого от первого слитка.

Решение: Определим процентное содержание золота в обоих слитках.

1) 230 + 20 = 250 (г) – масса 1-го слитка, 230/250=0,92 (92%)процентное содержание золота в 1-м слитке.

2) 240 + 60 = 300 (г) – масса 2-го слитка, 240/300=0,8 (80%) – процентное содержание золота во 2-м слитке. Пусть х масса куска, взятого от 1-го слитка, (300 - х) – масса куска, взятого от 2-го слитка, получим уравнение 0,92х + 0,8 (300 - х) = 0,84*300, откуда х=100.

Ответ: 100 г.

10. Первый сплав серебра и меди содержит 70 г меди, а второй сплав – 210 г серебра и 90 г меди. Взяли 225 г первого сплава и кусок второго сплава, сплавили их и получили 300 г сплава, который содержит 82% серебра. Сколько граммов серебра содержалось в первом сплаве?

Решение:

Пусть х г серебра содержится в 1-м сплаве, тогда 70 / (х + 70) – какую часть 1-го сплава составляет медь, 90 / (210 + 90) – такую часть составляет медь во 2-м сплаве, кусок второго сплава 300 – 225 = 75 г, тогда получаем уравнение.

225 * (70 / (х + 70)) + 75 * (90 / 300) = (1 - 0,82) * 300, откуда х=430 г

Ответ: 430 г.

11. При смешивании 5%-ного раствора кислоты с 40%-ным раствором кислоты получили 140г  30%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было для этого взято?

1 способ решения: Решение (с помощью системы уравнений):

       Проследим за содержанием кислоты в растворах. Возьмем для смешивания  х г  5%-ного раствора кислоты (или 0,05х г) и у г  40%-ного раствора (или 0,4у г). Так как в 140 г нового раствора кислоты стало содержаться 30%, т.е.  0,38140 г , то получаем следующее уравнение  0,05х  +  0,4у = 0,3∙140. Кроме того х + у = 140. Таким образом, приходим к следующей системе уравнений:

0,05х + 0,4у = 0,3 ∙140,

 х + у =140

Из этой системы находим  х = 40, у = 100. Итак, 5%-ного раствора кислоты следует взять 40г, а 40% - ного раствора следует взять 100г.

Ответ: 40г , 100г.

2 способ (старинный способ) решения.

       Друг под другом пишутся содержания кислот имеющихся растворов, слева от них и примерно посередине  -  содержание кислоты в растворе, который должен получиться после смешивания. Соединив написанные числа черточками, получим такую схему:

Рассмотрим пары 30 и 5; 30 и 40.В каждой паре из большего числа вычтем меньшее, и  результат запишем в конце соответствующей черточки. Получится такая схема:

25 +10 = 35 (частей всего)

140 : 35 =  4 ( г) -  приходится на 1 часть

4*25 = 100 (г) – 40%-ного раствора

10 * 4 = 40 (г) – 30% - ного раствора

       5% - ного раствора следует взять 10 частей, а 40%-ного  - 25 частей

(140 : 35 = 4 г приходится на одну часть), т. е. для получения 140 г 30%-ного раствора нужно взять 5%-ного раствора 40 граммов, а 40%-ного - 100 граммов.

Ответ: 40 г,  100 г.

12. Имеется серебро 12-й, 11-й и 5-й пробы. Сколько какого серебра надо взять для получения 1кг. серебра 9-й пробы?

Решение: Составим схему два раза: первый раз, взяв  серебро наименьшей и наибольшей пробой, а второй раз  - с наименьшей и средней пробой.                                                      

                                 5                                                                  12-9 = 3                           3+2 =5

            9                      

                           12                  9-5=4                                             4                              

                                  5                                               11-9 =2                    

          9  

                      11                        9-5 =4                                  4

                                                                                                  В итоге: 5+4+4=13.

По схеме найденные доли, в которых нужно сплавить серебро наибольшей и средней пробы (4 и 4). Сложив затем доли серебра наименьшей пробы, найденные в первой и во второй раз( 3+2=5), получим долю серебра наименьшей пробы в общем сплаве. Таким образом, надо взять 5/13кг серебра 5 –й пробы, 4/13 кг серебра 12-й пробы и 4/13 кг. серебра 11 пробы.                  

13. В каких пропорциях нужно смешать раствор 50%-й и 70%-й кислоты, чтобы получить раствор 65% - 1 кислоты?

а)   Рассмотрим алгебраический способ решения:

     Пусть х г – масса 50%-й кислоты, y г – масса 70%-й кислоты, 0,5х г – масса чистой кислоты в первом растворе, 0,7у г. – масса чистой кислоты во втором растворе,  (x+y)г – масса смеси, 0,65(x+y)г  - масса чистой кислоты в смеси.  Составим уравнение :

0,5x+0,7y=0,65(x+y)  | : у≠ 0

0,5·  +0,7 =0,65·  +0.65

0,15   = 0,05

 =

 =

х:у=1:3

Получаем соотношение 1:3.

   Ответ: 1:3.

б) Рассмотрим  другой способ решения этой задачи. Он называется арифметическим (или старинным) способом.

Нарисуем схему:

                                                            50                                        5

               65

                                                              70                                         1 5

по которой видно, что для получения 65%-й кислоты нужно взять 50%-й и 70%-й кислоты в отношении 5:15=1:3.

14.   Свежие фрукты содержат 72 % воды, а сухие – 20 % воды. Сколько сухих фруктов получится из 20 кг свежих?

Решение: При решении подобных задач следует определить ту величину, которая не меняется при высыхании (уменьшении влажности). Неизменной в данных процессах остается масса сухого вещества, т. е. продукта, в котором полностью отсутствует вода. Если 20 кг фруктов имеют влажность 72 %, то жидкость составляет 20 × 0,72 = 14,4 кг, а сухое вещество имеет массу 20 – 14,4 = 5,6 кг. Масса сухого вещества не меняется при высыхании, поэтому в сухих фруктах, содержащих 20 % воды, сухое вещество составляет 80 %.  Следовательно, 5,6 кг являются 0,8 частью от общей массы сухих фруктов, а вся масса равняется 5,6/0,8=7 кг.

откуда  5,6кг-80%, хкг-100%  Можно было получить результат, составив пропорцию

5,6X100:80=7

Ответ: из 20 кг свежих фруктов получится 7 кг сухих.

15. В мешке 3 красных и 5 синих шариков. Из мешка достали 4 шарика. Можно ли утверждать, что среди них есть хотя бы 1 красный?

 - Что знаем из условия? (Есть 3 красных и 5 синих шариков. Взяли 4) –

Нарисуем мешок, а в нем шарики. - Составим все возможные варианты, когда из мешка достают 4 шарика.

 Что заметили? (Что всегда будет хотя бы 1 синий, а вот красных может не быть вообще.) - Как же ответить на вопрос задачи? (Нет.)

Список литературы

1. Журнал «Математика в школе» «Учимся решать задачи». №36. 2004г.
2. Журнал «Математика в школе». «Задачи на смеси и сплавы». №17. №11  2004г.
3.  Бобровская, А.В.  Текстовые задачи курса алгебры средней школы. / А.Б. Бобровская.– 3-е изд., доп. и перераб.– Шадринск: Исеть, 1999.– 64 c: ил.
4.  Ванцян, А.Г. Эти непростые "простые задачки" / А.Г. Ванцян // Практика образования.– 2007.– № 3.– C. 20-22.
5.  Демидова, Т.Е. Текстовые задачи и методы их решения [Текст] / Т.Е. Демидова, А.П. Тонких.– М.: изд-во Моск. ун-та, 1999.– 261 с.: ил.
6. Егеров В.К., Зайцев В.В., и др.; «2500 задач по математике с решениями для поступающих в вузы» Под редакцией Сканави М.И.- изд. «Оникс 21 век», «Мир и образование» 2003 г (100-154 стр)
7. Корянов А.Г., Надежкина Н.В. Задание В13. Текстовые задачи.. Математика ЕГЭ2014.
8. Проблемы реализации ФГОС при обучении математике в основной и старшей общеобразовательной школе: монография/ коллектив авторов: Иванюк М.Е., Липилина В.В., Максютин А.А.-  Самара: изд-во ООО «Порто-принт»,2014.
9. Подготовка к решению олимпиадных задач по математике/
10. Нестандартные задачи по математике. Алгебра. Учеб.пособие для учащихся 7-11 классов/Галкин Е.В. Челябинск: «Взгляд», 2004.
11. 800 лучших задач по математике для подготовки к ЕГЭ для 9-11 классов/Балаян Э.Н.Ростов н/Д: Феникс, 2013
12. Сборник задач по алгебре: Учеб. пособие для 8-9 кл. с угл. изучением математики/Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. М:Просвещение,2003.
13. Севрюков П.Ф. М.: Илекса; Народное образование; Ставрополь,2009
14. Источник: http://refleader.ru/ujgbewjge.html
15. Источник: http://refleader.ru/ujgbewjge.html

WWW.mathege.ru   Математика ЕГЭ 2013 (откр