Использование математической модели в системе подготовки к ЕГЭ
презентация к уроку по алгебре (11 класс) на тему

Слайд 1

11 класс, подготовка к ЕГЭ Использование математической модели в системе подготовки к ЕГЭ Подготовила: Ефимова Людмила Иосифовна, учитель математики МБОУ «СОШ №9» высшая квалификационная категория

Слайд 2

тепловое расширение рельса; месячная прибыль предприятия. Задачи, решаемые при помощи графика линейной функции (прямой):

Слайд 3

Задачи, решаемые при помощи графика квадратичной функции (параболы): мальчик, камешки, колодец; выручка предприятия при наибольшей цене; мяч, подброшенный вверх; скорость вращения ведёрка; частичное вытекание воды из бака; полное вытекание воды из бака;

Слайд 4

камнеметательная машина; нагревание прибора; время проверки работы лебёдки; мотоциклист в зоне сотовой связи; торможение автомобиля; момент инерции вращающейся катушки. Задачи, решаемые при помощи графика квадратичной функции (параболы):

Слайд 5

( m+2M)R 2 2 + M(2Rh + h 2 ). I = Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трёх однородных соосных цилиндров: центрального массой m = 8 кг и радиуса R = 5 см , и двух боковых с массами M = 2 кг и с радиусами R + h . При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый в кг · см 2 , даётся формулой . При каком максимальном значении h момент инерции катушки не превышает предельного значения 1900 кг · см 2 ? Ответ выразите в сантиметрах. Задание B11

Слайд 6

y = I(h) y h 0 1 5 0 Решение. Данные: Функция: Найти: h мах Схематичный график: 190 0 h max Задание B11

Слайд 7

y = I(h) y h 0 1 5 0 Решение. 190 0 h max Решаем уравнение: Ответ: 25. Задание B11

Слайд 8

at 2 2 v 0 t S = Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью v 0 = 24 м/с , начал торможение с постоянным ускорением a = 3 м/с 2 . За t секунд после начала торможения он прошёл путь (м). Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 90 метров . Ответ выразите в секундах. Задание B11

Слайд 9

y = S(t) y t 0 Функция: Данные: Найти: Схематичный график: 9 0 t наим. Задание B11

Слайд 10

Решаем уравнение: y = S(t) y t 0 Решение. Функция: Схематичный график: 9 0 t наим. Ответ: 6 . Задание B11

Слайд 11

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью v 0 = 57 км/ч , выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением a = 12 км/ч 2 . Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением . Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в 30 км от города. Ответ выразите в минутах. Задание B11 at 2 2 v 0 t S + = Нет зоны действия сети 30 км

Слайд 12

Функция: Данные: Найти: Схематичный график: y = S(t) y t 0 30 t наиб. Задание B11 Ответ : 30

Слайд 13

Задание B11 Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур определяется выражением T ( t) = T 0 + bt + at 2 , где t — время в минутах, T 0 = 1450 К , a = - 12,5 К/мин 2 , b = 175 К/мин . Известно, что при температуре нагревателя свыше 1750 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор. Ответ выразите в минутах. Пирометр — прибор для беcконтактного измерения температуры тел.

Слайд 14

Данные: y = T(t) y t 0 1 45 0 Функция: Найти: Схематичный график: 1 75 0 t наиб. Необходимоотключить Задание B11

Слайд 15

Решаем уравнение: y = T(t) y t 0 1 45 0 Решение. Функция: Найти: Схематичный график: 1 75 0 t наиб. Необходимоотключить Ответ: 2. Задание B11

Слайд 16

6 0 - 1 a = 6 7 b = Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полёта камня описывается формулой y = ax 2 + bx , где м -1 , — постоянные параметры, x (м) — смещение камня по горизонтали, y (м) — высота камня над землёй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 9 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра? Задание B11

Слайд 17

y = y(x) y x 0 Функция: Данные: Найти: Схематичный график: 10 x наиб. Задание B11

Слайд 18

y = y(x) y x 0 Решение. Функция: Найти: Схематичный график: 10 x наиб. Ответ: 60. Решаем уравнение: Задание B11

Слайд 19

Задание B11 H 0 В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону H( t) = H 0 + bt + at 2 , где Н 0 = 2 м — начальный уровень воды, м/мин 2 , м/мин, t — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах. 50 1 a = 5 -2 b =

Слайд 20

Задание B11 Функция: Данные: Найти: Схематичный график: y = H(t) y t 0 2 t вытекания H =0

Слайд 21

Задание B11 Решение. Функция: Решаем уравнение: Найти: Схематичный график: y = H(t) y t 0 2 t вытекания H =0 Ответ: 10.

Слайд 22

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону , где t — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, Н 0 = 5 м — начальная высота столба воды, а g — ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/с 2 ). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды? Задание B11 2 gH 2 2 0 0 2 ) ( t k g kt H t H + — = k 200 1 =

Слайд 23

Найти: H 0 4 1 H 0 Данные: Функция: Схематичный график: y = H(t) y t 0 5 H 0 4 1 t наим. Задание B11

Слайд 24

Решение. Функция: Схематичный график: y = H(t) y t 0 5 H 0 4 1 t наим. Решаем уравнение: Ответ: 100. Задание B11

Слайд 25

g L v m P - = 2 ( ) Задание B11 Если достаточно быстро вращать ведёрко с водой на верёвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведёрка сила давления воды на дно не остаётся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила её давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна , где m — масса воды в килограммах, v — скорость движения ведёрка в м/с, L — длина верёвки в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте, g = 10 м/с 2 ). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведёрко, чтобы вода не выливалась, если длина верёвки равна 62,5 cм ? Ответ выразите в м/с .

Слайд 26

P min > 0 P max = P ≥ 0 Функция: Данные: Схематичный график: y = P(v) y v 0 -10 m v наим. Найти: Задание B11

Слайд 27

Решение. Функция: Схематичный график: y = P(v) y v 0 -10 m v наим. Решаем уравнение: Ответ: 2,5. Задание B11

Слайд 28

Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t) = 1,4 + 9t - 5t 2 , где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 3 метров ? Задание B11 Функция: Данные: y = h(t) y t 0 1,4 3 t 2 t 1 ∆t Найти: Ответ: 1,4.

Слайд 29

Зависимость объёма спроса q (тыс. руб.) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) задаётся формулой q = 130 - 10p . Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p) = q · p . Определите наибольшую цену p , при которой месячная выручка составит не менее 360 тыс. руб . Ответ приведите в тыс. руб. y = r(p) y p 0 Задание B11 Функция: Данные: Найти: 360 p наиб.

Слайд 30

y = r(p) y p 0 Задание B11 Решение. 360 p наиб. Ответ: 9.

Слайд 31

1,1 с 1,2 с Задание B11 После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле h = 5 t 2 , где h — расстояние в метрах, t — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 1,2 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,1 с ?

Слайд 32

Найти: Ответ: Решение. Данные: Функция: Схематичный график: y=h(t) 0 y t 1 ,2 h(1 ,2 ) 1 , 1 h(1 , 1) ∆h 1,1 5. Задание B11

Слайд 33

Задание B11 Некоторая компания продает свою продукцию по цене p = 600 руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют ν = 400 руб., постоянные расходы предприятия f = 600000 руб. в месяц. Месячная операционная прибыль (в рублях) вычисляется по формуле π ( q) = q( p - ν )- f . Определите наименьший месячный объём производства q (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет не меньше 500000 руб.

Слайд 34

Данные: Функция: y = π (q) 0 y q - 6 0000 0 Решение. Схематичный график: Найти: 500000 q наим. Ответ: 5500. Задание B11

Слайд 35

Функция: Задание B11 Найти: y=l(t o ) 0 y t o 20000 20009 t o При температуре 0 o С рельс имеет длину l o = 20 м . При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону l ( t o ) = l 0 ( 1+ α ·t o ) , где α = 1,2 · 10 -5 ( o C ) -1 – коэффициент теплового расширения, t o - температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 9 мм ? Ответ выразите в градусах Цельсия.

Слайд 36

Ответ: Задание B11 Решение. y=l(t o ) 0 y t o 20000 20009 t o 37,5.

Слайд 37

Спасибо за внимание!