Применение геометрических методов при решении задач на движение
материал по алгебре по теме

Маркова Т.В.

учитель математики

МБОУ города Дубны МО лицей №6 имени академика Г.Н.Флерова

Применение геометрических методов при решении задач на движение.

        Одной из актуальных проблем школьного математического образования на современном этапе является проблема интеграции математических знаний, формирования целостных представлений учащихся о математике как науке.

Понятие “интеграция” следует понимать как объединение в целое элементов математических знаний, способность использовать их в различных ситуациях, применять математический аппарат при изучении смежных дисциплин, а также как процесс, ведущий к такому состоянию.

Основным видом деятельности учащихся при обучении математике является решение задач, а значит целесообразно интеграцию алгебры и геометрии осуществлять по линии их методов. Надо отметить, что большинство учащихся знакомы с применением метода уравнений и неравенств при решении геометрических задач и почти никто не пытается применить геометрические методы в алгебре. Часто именно по этой причине выпускники не справляются с решением задач части С в ЕГЭ.

В области обучения решению задач интеграция методов предполагает параллельное (на одном уроке) решение задачи разными методами или решение задачи более удобным, “нетрадиционным” методом. На уровне 8 класса учащиеся уже решаю достаточно сложные текстовые задачи, большое их количество содержит учебник, кроме того изученный геометрический материал богат и разнообразен. Все это дает возможность применить при решении сложных текстовых задач на движение графический метод, основанный на знании законов геометрии (метод треугольников и подобия треугольников) .

Задача 1 (№ 564, алгебра 8, Ш.А. Алимов)

Из пункта А в пункт В отправился автомобиль, а одновременно навстречу ему из пункта В отправился автобус. Автомобиль прибыл в пункт В через 40 мин после встречи с автобусом, а автобус прибыл в пункт А через 1,5 часа после их встречи. Найти скорость автомобиля и автобуса, если расстояние от А до В 100 км.

40 мин = – время в пути автомобиля после встречи с автобусом до прибытия в пункт В.

1,5 ч  –  время  в пути автобуса после встречи с автомобилем до прибытия в  пункт А.

1)  АВ = 100 км.    Пусть   AN = t,   точка  К  соответствует встрече,  тогда  МС = ,  а  ND = 1,5.          

∆ ANK  ~  ∆ CMK        и      ∆ DNK  ~  ∆ BMK  ,                                                      

значит  .

t :  = 1,5 : t;      t2 =  ·  1,5;      t2 = 1

t = ± 1     ( -1  не подходит по смыслу задачи ),     t = 1

1 ч  прошел до встречи автомобиля и автобуса.

2)        1 +  = 1 (ч)   –          ехал автомобиль от пункта А до пункта В

3)         100 : 1 =  = 60 (км/ч)   –          скорость автомобиля

4)        1 + 1,5 = 2,5 (ч)   –          ехал автобус от пункта А до пункта В

5)        100 : 2,5 =  = 40 (км/ч)           –   скорость автобуса

                        Ответ:           40 км/ч,    60 км/ч

Аналогично:    № 835 (Ш.А. Алимов. Алгебра 8)

№№ 7.2, 7.34, 7.35, 7.36  (Л.В. Кузнецова. Алгебра. Сборник заданий для  подготовки к итоговой аттестации в 9 классе).    

Задача 2  (№ 8)

        Дрессировщик занимается с пони на арене цирка. По сигналу пони скачут в разные стороны друг от друга. Первая пони двигалась быстрее и поэтому к моменту встречи пробежала на 5 м больше второй и, продолжив движение, добежала до дрессировщика за 9 сек с момента встречи, а вторая – за 16 сек после встречи. Каков диаметр арены?

Если окружность, соответствующую границе арены, разрезать в точке, где стоит дрессировщик (D) и развернуть, то концы отрезка обозначим  D1,  D2.  Пусть  V1 > V2 ,  значит  CN  больше СК на 5, т.е. CN = СК + 5,  В1К= 9,  В2N = 16.

1)   ∆ D1NC  ~  ∆ B1KC     =     и     ∆ В2NC  ~  ∆ D2KC     =  ,

значит    = .

Пусть   D1N = D2K = t,  тогда:   ,     t2 = 9 · 16,  

t = ±12  ( -12  не подходит по смыслу задачи ), t = 12

12 сек прошло до момента встречи пони

2)   Пусть СК = х,    тогда  CN = х + 5

      Так как    = ,    то     

      ,     3х + 15 = 4х,     х = 15

      15 м  проскакала вторая пони до момента встречи

  3)    NК = СК + CN  = х + х + 5 = 35 (м)

      NК = D1D2 = С    –   длина окружности арены

        С = 2πr,     C = πd,            d =  м  –  диаметр арены

Ответ:          м

Аналогично:            № 832, 833, 834   (Ш.А. Алимов. Алгебра 8)

При самостоятельном составлении задач возможны другие ситуации. На рисунке изображен вариант, когда пони бегут в одном направлении, с разными постоянными скоростями.

Задача 3  

        Велосипедист и мотоциклист одновременно выезжают из пункта А в сторону пункта В, расстояние между которыми 6 км. Одновременно сними из пункта В выходит пешеход и движется в том же направлении, что и мотоциклист с велосипедистом. В момент, когда мотоциклист догнал пешехода, велосипедист находился от них на расстоянии з км. На каком расстоянии от велосипедиста и пешехода будет находиться мотоциклист в момент, когда велосипедист догонит пешехода?

1. ∆ AВЕ  ~  ∆ DCЕ   =  =   ВЕ = 2CD  ВС =СЕ
2. ∆ АВС = ∆ FEC  ( _ ) .         Значит  FE =АВ = 6 км

                        Ответ:           6 км

Возможно усложнить условие ( СD = 2 км ).   В этом случае во  второй части задачи опять опираемся на подобие треугольников

В качестве домашнего задания можно поменять в условии  FE = 2 км.  Найти CD.

При самостоятельном составлении задач возможны другие ситуации: