Применение геометрических методов при решении задач на движение
материал по алгебре по теме
Интеграция математических знаний. Примеры решения задач на движение геометрическими методами.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 105.5 КБ |
Предварительный просмотр:
Маркова Т.В.
учитель математики
МБОУ города Дубны МО лицей №6 имени академика Г.Н.Флерова
Применение геометрических методов при решении задач на движение.
Одной из актуальных проблем школьного математического образования на современном этапе является проблема интеграции математических знаний, формирования целостных представлений учащихся о математике как науке.
Понятие “интеграция” следует понимать как объединение в целое элементов математических знаний, способность использовать их в различных ситуациях, применять математический аппарат при изучении смежных дисциплин, а также как процесс, ведущий к такому состоянию.
Основным видом деятельности учащихся при обучении математике является решение задач, а значит целесообразно интеграцию алгебры и геометрии осуществлять по линии их методов. Надо отметить, что большинство учащихся знакомы с применением метода уравнений и неравенств при решении геометрических задач и почти никто не пытается применить геометрические методы в алгебре. Часто именно по этой причине выпускники не справляются с решением задач части С в ЕГЭ.
В области обучения решению задач интеграция методов предполагает параллельное (на одном уроке) решение задачи разными методами или решение задачи более удобным, “нетрадиционным” методом. На уровне 8 класса учащиеся уже решаю достаточно сложные текстовые задачи, большое их количество содержит учебник, кроме того изученный геометрический материал богат и разнообразен. Все это дает возможность применить при решении сложных текстовых задач на движение графический метод, основанный на знании законов геометрии (метод треугольников и подобия треугольников) .
Задача 1 (№ 564, алгебра 8, Ш.А. Алимов)
Из пункта А в пункт В отправился автомобиль, а одновременно навстречу ему из пункта В отправился автобус. Автомобиль прибыл в пункт В через 40 мин после встречи с автобусом, а автобус прибыл в пункт А через 1,5 часа после их встречи. Найти скорость автомобиля и автобуса, если расстояние от А до В 100 км.
40 мин = – время в пути автомобиля после встречи с автобусом до прибытия в пункт В.
1,5 ч – время в пути автобуса после встречи с автомобилем до прибытия в пункт А.
1) АВ = 100 км. Пусть AN = t, точка К соответствует встрече, тогда МС = , а ND = 1,5.
∆ ANK ~ ∆ CMK и ∆ DNK ~ ∆ BMK ,
значит .
t : = 1,5 : t; t2 = · 1,5; t2 = 1
t = ± 1 ( -1 не подходит по смыслу задачи ), t = 1
1 ч прошел до встречи автомобиля и автобуса.
2) 1 + = 1 (ч) – ехал автомобиль от пункта А до пункта В
3) 100 : 1 = = 60 (км/ч) – скорость автомобиля
4) 1 + 1,5 = 2,5 (ч) – ехал автобус от пункта А до пункта В
5) 100 : 2,5 = = 40 (км/ч) – скорость автобуса
Ответ: 40 км/ч, 60 км/ч
Аналогично: № 835 (Ш.А. Алимов. Алгебра 8)
№№ 7.2, 7.34, 7.35, 7.36 (Л.В. Кузнецова. Алгебра. Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе).
Задача 2 (№ 8)
Дрессировщик занимается с пони на арене цирка. По сигналу пони скачут в разные стороны друг от друга. Первая пони двигалась быстрее и поэтому к моменту встречи пробежала на 5 м больше второй и, продолжив движение, добежала до дрессировщика за 9 сек с момента встречи, а вторая – за 16 сек после встречи. Каков диаметр арены?
Если окружность, соответствующую границе арены, разрезать в точке, где стоит дрессировщик (D) и развернуть, то концы отрезка обозначим D1, D2. Пусть V1 > V2 , значит CN больше СК на 5, т.е. CN = СК + 5, В1К= 9, В2N = 16.
1) ∆ D1NC ~ ∆ B1KC = и ∆ В2NC ~ ∆ D2KC = ,
значит = .
Пусть D1N = D2K = t, тогда: , t2 = 9 · 16,
t = ±12 ( -12 не подходит по смыслу задачи ), t = 12
12 сек прошло до момента встречи пони
2) Пусть СК = х, тогда CN = х + 5
Так как = , то
, 3х + 15 = 4х, х = 15
15 м проскакала вторая пони до момента встречи
3) NК = СК + CN = х + х + 5 = 35 (м)
NК = D1D2 = С – длина окружности арены
С = 2πr, C = πd, d = м – диаметр арены
Ответ: м
Аналогично: № 832, 833, 834 (Ш.А. Алимов. Алгебра 8)
При самостоятельном составлении задач возможны другие ситуации. На рисунке изображен вариант, когда пони бегут в одном направлении, с разными постоянными скоростями.
Задача 3
Велосипедист и мотоциклист одновременно выезжают из пункта А в сторону пункта В, расстояние между которыми 6 км. Одновременно сними из пункта В выходит пешеход и движется в том же направлении, что и мотоциклист с велосипедистом. В момент, когда мотоциклист догнал пешехода, велосипедист находился от них на расстоянии з км. На каком расстоянии от велосипедиста и пешехода будет находиться мотоциклист в момент, когда велосипедист догонит пешехода?
- ∆ AВЕ ~ ∆ DCЕ = = ВЕ = 2CD ВС =СЕ
- ∆ АВС = ∆ FEC ( _ ) . Значит FE =АВ = 6 км
Ответ: 6 км
Возможно усложнить условие ( СD = 2 км ). В этом случае во второй части задачи опять опираемся на подобие треугольников
В качестве домашнего задания можно поменять в условии FE = 2 км. Найти CD.
При самостоятельном составлении задач возможны другие ситуации:
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
![](/sites/default/files/pictures/2023/03/27/picture-29643-1679944697.jpg)
Мастер-класс«Интеграция арифметических, алгебраических и геометрических методов в решении задач».
Основная цель моего мастер-класса – показать многообразие подходов при решении одной задачи, развивать исследовательские навыки, формировать умение видеть рациональные способы решения, а т...
Применение задач с военным содержанием на уроках математики по теме: «Решение задач на движение с помощью систем уравнений второй степени».
Имеющийся опыт в применении военной составляющей показывает, что учащиеся с большим интересом занимаются вопросами военного дела, особенно, если предлагаемые для решения задачи ставить не в сухой мате...
![](/sites/default/files/pictures/2013/10/17/picture-315662-1382018125.jpg)
Конспект урока по математике в 5 классе по программе Н.Я.Виленкина, В.И. Жохова по теме «Применение знаний по теме «Шкалы и координаты» в ходе решения задачи-исследования движения объекта (подготовка введению задачи на встречное движение)»
Тип урока: урок открытия «новых знаний» (изучение и первичное закрепление ...
![](/sites/default/files/pictures/2019/10/19/picture-1177454-1571492345.jpg)
Презентация к уроку "Линейная функция и применение её свойств в решении задач на механическое движение "
Презентация готовилась к открытому интегрированному уроку по математике и физике на тему "Линейная функция и применение её свойств в решении задач на механическое движение " в 7 классе...
![](/sites/default/files/pictures/2021/02/28/picture-1318647-1614495554.jpg)
Применение исследовательского метода при решении задач на примере урока 7 - го класса "Решение задач на тему "Архимедова сила"
Исследовательский метод применяю при решении задач по физике. Процесс решения физических задач предполагает выполнение обучающимися важных мыслительных операций. Исследование заключается в рассм...
![](/sites/default/files/pictures/2023/03/08/picture-1462373-1678264018.jpg)
Урок по теме: «Задачи на максимум и минимум. Применение математических методов в решении практических задач: CSI: место преступления»
Урок по теме: «Задачи на максимум и минимум. Применение математических методов в решении практических задач: CSI: место преступления» проводится в 11 классе в рамках темы "Математичес...