Урок по теме: «Задачи на максимум и минимум. Применение математических методов в решении практических задач: CSI: место преступления»
план-конспект урока по алгебре (11 класс)

Урок по теме: «Задачи на максимум и минимум. Применение математических методов в решении практических задач: CSI: место преступления»

Время проведения: 2 часа

Тип урока: Обобщение и систематизация ранее изученного материала. Урок-игра.

Цели урока: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме «Математическое моделирование»,  познакомить с нестандартными методами решения практических задач, показать исторический характер теории, проверить уровень сформированности умений и навыков учащихся по изучаемой теме, провести профориентационную работу.

Формирование УУД

Предметные УУД: научиться применять знания, полученные в рамках тем «Применение производной» и «Математическое моделирование» в практических задачах; развивать навыки функциональной грамотности, умения читать текст и выбирать необходимую информацию: развивать умение анализировать сложные тексты и формулы, обосновывать свою точку зрения и делать выводы; освоить методы использования ИКТ на уроках математики.

Метапредметные УУД: развивать у учащихся представление о месте математики в системе естественных наук; формировать навыки учебного сотрудничества в ходе групповой работы; способствовать формированию научного мировоззрения учащихся; способствовать формированию научного мировоззрения учащихся; анализировать существующие и планировать будущие результаты; выдвигать версии решения проблемы, формулировать гипотезы; ориентироваться в содержании текста, понимать целостный смысл текста, структурировать научный текст, содержащий сложные формулы.

Личностные УУД: развивать операции мышления (обобщение, умение выделять главное, анализировать), внимание, навыки сотрудничества, чувство времени, воспитание ответственного отношения к изучению предмета, самостоятельности, познавательной активности, стремления к самосовершенствованию, работе в группе.

Материально-техническое обеспечение: проектор и ПК для учителя, ноутбуки для учащихся.

Ход урока

Организационный момент. Сообщение темы и цели урока.

Здравствуйте, ребята, приглашаю вас на урок математики в 11 классе «Применение математических методов в решении практических задач». Очень часто вы спрашиваете меня, а где нам пригодятся синусы-косинусы, производные и уравнения. Сегодня мы вместе попробуем ответить на ваши вопросы, обратим особое внимание на вашу будущую профессию (биология, химия, медицина).

Повторение и обобщение изученного ранее материала

1. Математические шарады  
2. Что такое математическое моделирование? В каких задачах, как вы думаете, можно применять этот метод? – вопрос к учащимся.
3. Повторение физического смысла производной.

Вводная часть

История использования математического моделирования в биологии и медицине – лекция учителя с записями в тетради

Многие современные исследования развиваются на стыке разных областей науки. Это относится и к моделированию в биологии и медицине: математика пришла в биологию, физиологию, биохимию, чтобы помочь решить те задачи, с которыми не получалось справиться без нее. Идея математического описания процессов в организме зародилась очень давно. Многие выдающиеся математики и физики хотели внести свой вклад в моделирование в медицине, биологии.

Например, Леонард Эйлер пытался создать математическую модель циркуляции крови. Проблемы математического описания движения крови интересовали Германа Гельмгольца, который по своей первой специальности был врачом. Но уровень развития науки, в частности физиологии, в XIX веке был такой, что даже людям масштаба Эйлера и Гельмгольца просто не хватало экспериментальных знаний, не хватало измерений для знания параметров моделей. Физиологи тогда еще не умели количественно измерять необходимые величины, данные еще не могли быть представлены в численном виде.

Математические модели стали приходить в науки о живом тогда, когда появились измерения, способные представить эту информацию в виде чисел. Сначала математика коснулась популяционной биологии: численность популяций различных видов — белок, рысей — измерить достаточно легко, для этого не нужно ни специальной техники, ни каких-то особых условий, так как в основном данные дают полевые наблюдения.

Первые серьезные математические модели отдельных систем организма стали появляться в середине XX века, когда нейрофизиологи научились измерять потенциалы участков нервного волокна и ионные токи через мембраны. Этим исследованием на гигантском аксоне кальмара занимались англичане Алан Ходжкин и Эндрю Хаксли, за что они получили Нобелевскую премию.

Математическое моделирование развивалось параллельно с появлением экспериментальных работ и измерений в физиологии. Среди основоположников современной математической биологии можно выделить двух ученых, которые также заложили основы кибернетики и теоретической информатики. Во-первых, это Норберт Винер. Он сотрудничал с физиологом Артуром Розенблютом. Их именами назван клеточный автомат Винера — Розенблюта. Этот автомат описывает распространение возбуждения по коре головного мозга. Это была довольно грубая модель, но она оказалась одним из первых серьезных построений в электрофизиологии.

Во-вторых, это Алан Тьюринг. Он заложил многие теоретические основы информатики, но его самая цитируемая в середине прошлого века работа посвящена химическим основам морфогенеза. Она также стала результатом его сотрудничества с биологами. Позднее идеи, сформулированные Тьюрингом, развил Илья Романович Пригожин. За эти работы Пригожин получил Нобелевскую премию по химии.

После этих двух моделей, достаточно простых, количество описаний живых систем стало расти в геометрической прогрессии. По мере совершенствования экспериментальной техники и накопления данных и самих моделей становилось все больше и больше, и модели усложнялись. Интерес к ним появился у исследователей в самых разных областях: в конце концов, исследователи и сами живые организмы, и им интересно, как они устроены, как функционируют, как можно смоделировать их внутренние процессы. Это вещи, которые касаются любого человека. В последнее время математические модели были доведены до такой степени совершенства, что стали иметь предсказательную силу, и с их помощью, например, можно проектировать лекарства с новыми свойствами. Вообще говоря, с появлением соответствующих математических методов процесс разработки лекарств существенно ускорился по сравнению с тем, что было в 40–50-е годы XX века. Поэтому у этой области очень большая практическая значимость.

В математическом моделировании биологических процессов применяется весь арсенал, который накоплен в физике, математике и других точных науках. Их использование зависит от того, что мы хотим описать. Например, методы описания сплошных сред применяются, когда мы моделируем циркуляцию воздуха в легких, то есть распространение газа в такой хитрой фрактальной системе, какую представляет собой наш дыхательный аппарат. Сюда же можно отнести моделирование кровообращения в организме. В таких случаях кровь или воздух представляются как сплошная среда: воздух — газ, кровь — жидкость. Кровь — это жидкость с очень интересными свойствами, по реологии она сильно отличается, например, от спирта или воды. Это связано с тем, что и основа крови, плазма, — это по сути раствор большого количества белковых молекул, ионов. Кроме того, в ней присутствуют форменные элементы, различные клетки: эритроциты, лейкоциты, тромбоциты и масса других объектов. В частности, есть клетки, отвечающие за иммунитет, хотя их немного и на механические свойства они не влияют, но их важно учитывать при создании моделей заболеваний и воспалительных процессов.

Так как организм человека очень сложен по своему устройству, далеко не все идущие в нем процессы получается успешно моделировать. Первые более-менее реальные модели, имеющие какую-то предсказательную силу, начались с электрофизиологии. Когда люди научились измерять трансмембранные токи и потенциалы и поняли, что для измерения электрических потенциалов сердца совершенно необязательно вскрывать пациента и подключать к сердцу электроды, а можно сделать электрокардиограмму, — с этого момента электрофизиология начала развиваться очень бурно. Сегодня специалисты уже много знают об электрической активности сердца и умеют ее моделировать. А вот с электрической активностью мозга дела обстоят гораздо хуже. В отношении электрической активности мозг устроен гораздо сложнее, чем сердце, и даже физиологических данных, необходимых для моделирования, о сердце у нас гораздо больше, чем о мозге.

Конечная цель применения математических методов в биологии и медицине — моделирование процессов в человеческом организме. Но прежде чем моделировать патологические ситуации (попадание вируса, холестериновую бляшку на сосуде, аневризму), а затем какое-то воздействие, сначала нужно создать модель физиологической нормы, отладить ее и протестировать. Опираясь на математическую модель нормы, можно развивать эту тему дальше. Все мы заинтересованы в том, чтобы наш организм функционировал нормально, без каких-либо патологий. Поэтому даже воспроизвести при моделировании физиологическую норму — это уже очень достойная задача.

По инициативе Святослава Николаевича Федорова началось математическое моделирование микрохирургических операций на глазах. По-видимому, в СССР это было самое первое практическое применение математического моделирования живых систем. Тогда еще моделировались механические воздействия при проведении операций. Затем математики занялись моделированием широко распространенных сегодня лазерных операций на глазах. Задачи оптимизации лазерного воздействия рассматриваются достаточно давно, и сейчас решать их получается очень хорошо.

Конечно, в идеале медики бы хотели получить модель «виртуального пациента», которая учитывала бы все особенности конкретного человека и помогала понять, как именно его нужно лечить. Но мы от этого еще очень далеки.

Есть много коллективов, которые занимаются отдельными задачами в этой области: сердечно-сосудистой системой, лимфатической системой и так далее. По математическому моделированию в науках о жизни собираются большие конференции, например BioMAT. Каждый год появляются интересные работы и делаются отдельные успехи. Но это очень сложная область, потому что требует совместной работы представителей разных специальностей: математику трудно одному разобраться в биологических процессах, и наоборот. Поэтому нужны напарники или соисполнители. Найти специалиста-врача, например, который готов заниматься выводом определяющих уравнений и дискутировать с математиками, не так уж и просто. Святослав Николаевич Федоров в свое время сам проявил инициативу, предложил математикам написать уравнения для описания воздействия на глаза. Но таких врачей единицы. С биологами и физиологами немного легче. Но все же, хоть они и умеют проводить эксперименты и измерения, с математической частью у них обычно хуже, и поэтому с ними трудно найти общий язык. Чтобы научиться понимать друг друга, нужно какое-то время.

Из впечатляющих результатов последнего времени можно отметить работу, автору которой удалось впервые как-то соединить модель сократительной активности средства с электрической активностью. Очень интересные сейчас появляются работы по моделированию электрической активности мозга при эпилепсии. [1]

Работа на уроке с предложенным материалом

Класс разбивается на 3 группы, каждая получает ноутбук с заданиями (Приложение 2), тайм-лайны и формы для заполнения  (Приложение 3) и начинают выполнение заданий с помощью табличного процессора после вводного слова учителя.

Сегодня мы попробуем себя в качестве криминалистов-следователей отдела CSI.

Расследуем три опасных преступления: убийство, кража и отравление.

Подведение итогов

Математика и другие точные науки очень важны как для развития человечества в целом, так и для интеллектуального совершенствование конкретного индивида. Конечно, сбалансированное умственное развитие личности подразумевает освоение не только точных предметов, но и гуманитарных дисциплин. Чтение качественной литературы, например, также необходимо для вас, если вы хотите развиваться.

Но одного этого недостаточно. Хотелось бы дополнить формулировку известного утверждения: «если хочешь стать умным нужно много читать», прибавив к этому: «- и заниматься математикой». Иначе эффект от одного лишь чтения книг будет похож на тело без скелета или здание без каркаса. Одному без другого сложно.

Вы увидели на практических заданиях, что умение использовать математический аппарат может пригодиться в любой отрасли человеческой жизни, начиная от профессиональной и заканчивая сказочной.

Рефлексия

Урок

-заставил задуматься…

-навёл меня на размышления…

Что нового вы узнали на уроке?

Что вы считаете нужным запомнить?

Домашнее задание

Подготовить сообщения на темы: «Леонард Эйлер». «Святослав Федоров», «Алан Ходжкин, Джон Экклс и Эндрю Хаксли», № 5.99, 5.100.

Приложение 2 (практическое задание для групп)

Максимально точное установление времени смерти человека, осуществляемое на основе последних научных достижений, является одной из важнейших сторон деятельности судебно-медицинского эксперта, как в момент осмотра мертвого тела на месте его первоначального обнаружения, так и в последующем, при его секционном исследовании. Очевидно, что производство термометрии, с целью решения указанной проблемы, возможно к применению именно в условиях осмотра трупа на месте его обнаружения, т.к. последующие изменения положения тела, состояния одежды и перемещения его в условия секционного зала Бюро судебно-медицинской экспертизы, лишают исследователя возможности численно характеризовать изучаемый процесс – охлаждение тела. Вот почему своевременное и качественно выполненное термометрическое исследование тела на момент его первоначального осмотра имеет первостепенное значение для решения вопроса о давности смерти.  

Судебно-медицинская диагностика давности наступления смерти (ДНС) человека в последние годы развития медицинской науки основывается на количественных характеристиках процессов, регистрируемых объективно инструментальными методами.

Для трупа при заданной начальной температуре Т0 (36,70С для температуры головного мозга, 370С для прямой кишки, 37,50С для температуры печени) и на момент исследования измеренной температуре среды Тс, с интервалом времени Δτ двукратно регистрируется температура трупа (Т1 и Т2). По этим точкам вычисляется значение постоянной времени

где Т1-температура при первом измерении, Т2- температура при втором измерении, Тс- температура окружающей среды, Δτ - интервал времени между измерениями температуры (ч).

Границы, в которых находится истинное значение давности смерти, устанавливается с использованием следующих неравенств:

        Для краниоэнцефальной термометрии:  

Для термометрии печени:

Для ректальной термометрии:  [2]

Задача 1.

ФРАГМЕНТ ПРОТОКОЛА ОСМОТРА МЕСТА ПРОИСШЕСТВИЯ И ПЕРВОНАЧАЛЬНОГО НАРУЖНОГО ОСМОТРА ТРУПА НА МЕСТЕ ЕГО ОБНАРУЖЕНИЯ

10 июня 2000 года 11:00

Следователь прокуратуры Энского района юрист 1 класса Иванов А.А, руководствуясь ст. 87, 178-180 УПК РФ, с участием судебно-медицинского эксперта Энского бюро судебно-медицинской экспертизы, эксперта экспертно-криминалистического отдела УВД  Петрова А.Л., в присутствии понятых, произвел осмотр места происшествия и первоначальный наружный осмотр трупа. Об обстоятельствах происшествия известно со слов жены хозяина дома гр-ки Мировой, что в ночь на 8.06.2000 к ее мужу Ивану, приехал в гости брат Сергей, вместе со своими сослуживцами Алексеем и Ильей. Собрав на стол ужин для гостей, жена ушла на работу. О событиях, случившихся дома после ее ухода, она ничего не знает. Возвратившись домой утром 10.06.2000, она обнаружила труп Ильи. Остальные участники событий исчезли.

Осмотром установлено:

Место происшествия представляет собой одноэтажный, деревянный, рубленный под железной крышей дом, расположенный на южной окраине села Балезино последним, в одном ряду с сельмагом и клубом. …

Осмотр трупа:

На трупе надеты серые шерстяные брюки, подпоясанные коричневым кожаным ремнем с металлической пряжкой спереди ... [3]

 Температура трупа, измеренная электронным термометром в ткани печени, составила 32,623°С при температуре окружающей среды 18,372°С. Повторный замер температуры произведен через 15 минут. Температура в печени 32,428°С при температуре окружающей среды 18,383°С Высыхание кожи и слизистых не заметно…

Результаты допроса

Иван – предоставил алиби: 9.06 в 22:00 он сел в поезд, следующий до г. Курск.  

Сергей – предоставил алиби: 10.06 в 04:10 он купил в сельмаге бутылку Пепси-Колы

Алексей – предоставил алиби: 10:06 в 01:12 он сел на автобус до с. Бологое

Кого можно подозревать в убийстве?

Задача 2.

Три полурослика украли у Древоборода – хозяина Фангорна волшебный эль и отправились на восток. Известно, что закон их передвижения имеет вид  (расстояние измеряется в километрах). Успеет ли их нагнать королевская конница Гондора, пока спустя 10 часов эль не потерял свои волшебные свойства? На чем передвигаются полурослики, если средняя скорость галопа лошади 88 км/ч, скорость полета назгула 250 км/ч,  скорость полета орлов Манвэ 300 км/ч, пешая скорость 5 км/ч, скорость передвижения урукхай- 170 км/ч.

Задача 3.

Злая королева отравила свою падчерицу Белоснежку спорами волшебного гриба. Она поместила в яблоко 104 спор. Успеет ли Прекрасный Принц доказать наличие спор в крови Белоснежки, если они распадаются в течение 10 мин?

Уравнение изменения количества организмов Ферхюльста-Пирла имеет вид:  , где No-начальное количество организмов, k- константа (≈0,01),  t- время в мин.

Приложение 3 (раздаточный материал)

Тайм-лайн

Приложение 4 (библиография)

Использованные материалы

1. https://postnauka.ru/longreads/82325

2. https://www.sudmed.ru/index.php?showtopic=10602

3. https://studwood.ru/1721408/meditsina/obrazets_protokola_osmotra_mesta_proisshestviya_trupa_testovye_zadaniya