Подготовка к ЕГЭ. Решение прототипов задач на совместную работу.
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) на тему

РЕШЕНИЕ ПРОТОТИПОВ ЗАДАЧ НА СОВМЕСТНУЮ РАБОТУ.

1.1. Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 8 вопросов текста, а Ваня — на 9. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 20 минут. Сколько вопросов содержит тест?

Решение.

Пусть х – число вопросов, тогда

Время Пети =

Время Вани =

20 минут =  часа

Уравнение:

-  = ,       9x- 8x = 24,    х = 24.     Ответ. 24

2.1.В помощь садовому насосу, перекачивающему 5 литров воды за 2 минуты, подключили второй насос, перекачивающий тот же объем воды за 3 минуты. Сколько минут эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать 25 литров воды?

Решение.

1-ый насос: 5 литров за 2 минуты, производительность -  за 1 мин

2-ой насос: 5 литров за 3 минуты, производительность -   за 1 мин

Общая производительность  +  =

• t = 25,    t=6.

3.1. Первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?

Решение.

2-я труба за х часов, тогда 1-ая за (х+6) часов

Производительности 1/х и 1/(х+6).

 (+) •4 = 1.  

4(х+6) +4х = х2 +6х

 х2 – 2х – 24 = 0

х =6,  х = -4

Ответ.6

4.1. Две трубы наполняют бассейн за 1 час 55 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 46 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?

Решение. Примем работу за 1.

1ч55мин = ч. – время работы двух труб.

Х- время второй трубы,  – производительность. Производительность первой -

 ( +   = 1

 + =

 =  -

 =

х = 2.     Ответ.2.

5.1. Игорь и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов, а Володя и Игорь — за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?

Решение. Работа = 1.

Производительности.

И+П=1/9=4/36

П+В=1/12=3/36

В+И=1/18=2/36

Сложим уравнения:

2(И+П+И)= (4+3+2)/36,

2(И+П+И)=9/36,

2(И+П+И)=1/4,

 И+П+В=1/8 общая производительность. t =1: 1/8=8часов.

Ответ.8.

6.1. Даша и Маша пропалывают грядку за 12 минут, а одна Маша — за 20 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша?

Решение. х – время Даши. Работа = 1. Производительность

Д+М=1/12, М=1/20,

 Д=1/12-1/20=1/30,   за 30 минут.

Ответ.30.

7.1. Первый насос наполняет бак за 20 минут, второй — за 30 минут, а третий — за 1 час. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?

Решение.

Производительность : 1-ый- ,  2-ой-  ,   3-ий-  

Общая производительность  +  +  = .

t = 1, t = 10.   за 10 минут.

Ответ. 10.

8.1. Один мастер может выполнить заказ за 12 часов, а другой — за 6 часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?

Решение.

– производительность первого,  – второго.

 +  = ,        •t = 1,    t = 4.

Ответ.4.

9.1. Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 часов. Через 3 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?

Решение.

1-ый выполнит весь заказ за 15 часов – в 1 час он выполнит 1/15 работы, а за 3 часа 1/5 работы.

Осталось выполнить 4/5 работы.

 Определим время совместной работы:

: ( •  = 6

Поэтому на выполнение всего заказа потребуется 6 + 3 = 9 часов.

Ответ: 9.

Другое решение.

Один рабочий работал 3 часа. Остальные 12 часов они работали вместе, т.е. в два раза быстрее. Поэтому вдвоем они работали только 6 часов. Значит, все время работы 9 часов.

Ответ. 9.

10.1. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за три дня?

Решение.

х производительность первого, у – второго. По условию задачи составим систему уравнений              

х •12 = 1, 20х = 1, х = , t = 20.

Ответ.20.