"Решение иррациональных уравнений"
методическая разработка по алгебре (10 класс) по теме

Методическая разработка урока по алгебре в

10 классе (учитель Лифанова В.А.)

Тема урока: Решение иррациональных уравнений

Цель:  дать представление о различных способах решения иррациональных уравнений

Задачи: 

• повторить основные методы решения иррациональных уравнений;
• рассмотреть другие методы решения иррациональных уравнений
• развивать умение выделять главное в изучаемом материале, обобщать факты и понятия.
• развитие познавательных интересов,  самоконтроля.
• воспитание эстетических качеств и умения общаться

Оборудование:

доска, интерактивная доска,  компьютер, компьютерная презентация.

ПЛАН УРОКА. ( слайд 2)

1. Организационный момент( сообщение темы урока и цели и задач урока)
2. Проверка домашнего задания
3.  Анализ самостоятельной работы
4.  Устная работа с классом
5.   Изучение нового материала . Выполнение упражнений.
6.   Задание на дом
7.  Итог урока

ХОД УРОКА.

1. Организационный момент( сообщение темы урока и цели и задач урока) Слайд 2

Здравствуйте, ребята. Сегодня на уроке мы продолжим с вами заниматься решением иррациональных уравнений. Наша с вами задача: повторить и обобщить известные способы решения иррациональных уравнений и познакомиться с новыми.

Девизом нашего сегодняшнего урока предлагаю взять такте слова: Слайд 3

“Нельзя изучать математику глядя на то, как это делает сосед”.

Продолжим урок. Проверим домашнее задание.

2. (презентация учащегося)

№234(2,4,6)

2)х+√х=2(х-1)

  √х=2х-2-х

  √х=х-2

ó  х=х²-4х+4

       х-2≥0

ó  х²-5х+4=0

       х≥2

ó  х=1, х=4

       х≥2

Ответ: х=4.

4)√х-1=х-3

ó  х-1=х²-6х+9

       х-3≥0

ó  х²-7х+10=0

       х≥3

ó  х=5, х=2

       х≥3

Ответ: х=5.

6)√6+х-х²=1-х

•   6+х-х²=1-2х+х²

                1-х≥0

•   2х²-3х-5=0

                 х≤1

•   х=-1, х=-2,5

  х≤1

Ответ: х=-1.

№235(2,4,6)

2)√х²-36,75=х-3,5

    х²-36,75=х²-7х+12,25

    7х=49

    х=7

Проверка:

√49-36,75=7-3,5

4)√5х+√14-х=8

    √14-х=8-√5х

     14-х=64-16√5х+5х

     16√5х=50+6х

     8√5х=25+3х

     320х=625+150х+9х²

     9х²-170х+625=0

     D=6400

     х1=125/9

     х2=5

Пр-ка:

Х=125/9 – п.к.

√625/81+√14-125/9≠8

х= 5

√25+√14-5=8

8=8

Ответ: х=5.

6)√3-2х-√1-х=1

    √3-2х=1+√1-х

    3-2х=1+2√1-х+1-х

    2√1-х=1-х

    4-4х=1-2х+х²

    х²+2х-3=0

    х1=1

    х2=-3

Пр-ка:

х=1

√3-2-√1-1=1

1-0=1

1=1

х=-3

√3+6-√1+3=1

3-2=1

1=1

Ответ: х=1, х=-3.

      3,5=3,5

Ответ: х=7.     

3) Анализ самостоятельной работы (слайд 4)

Основные ошибки: вычислительные, некорректная запись ответа.

Учитель: Уравнения с давних времен волновали умы человечества. Иррациональные уравнения тоже не исключение. Они очень важны и для математики, и для наук.

Чтобы лучше усвоить новый материал , давайте вспомним пройденный

4.Устная работа (слайд 5-7)

Дайте определение иррационального уравнения.

Каким способом можно решить данное уравнение?

 Найти область определения функции

                                       Какие из функций возрастают (убывают) на всей области определения?

                5. Новый материал  .  (слайд8) Как можно  решить данное  уравнение? (графически)

                                     Повторим графический способ решения уравнений. Учащийся у доски.

                                    Самостоятельно решить графически уравнение:

                                     (класс в тетрадях, учащийся на отвороте доски)

                              Рассмотрим ещё один метод решения иррациональных уравнений

                                    -метод введения новой  переменной (слайд 9-10)

Решить уравнение:                                                  (слайд 11)       (учащийся у доски с комментированием)

Учитель: Иногда иррациональные уравнения можно решить гораздо быстрее и проще. Для этого нужно знать некоторые  теоремы и свойства функций.

1.ИСПОЛЬЗОВАНИЕ  СВОЙСТВ ФУНКЦИИ (слайд 12)

Теорема 1. Если в уравнении  левая часть возрастающая (или убывающая) функция, а правая константа, то уравнение имеет не более одного корня.

Теорема 2 Если в уравнении  левая часть  возрастающая (или убывающая) функция, а правая часть  убывающая (возрастающая) функция, то данное уравнение имеет не более одного корня.

Устно решим уравнения.(слайд 13)

2.ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОБЛАСТИ  ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ (слайд 14)

Решить уравнение:

Решение: (разбор вместе с учителем)

Первый радикал определен при      

Второй радикал определен при любых значениях х. Выражение под третьим корнем неотрицательно при

Итак, единственной точкой, в которой определены эти радикалы, является x = 1. Легко проверить, что это число – корень уравнения. 

Ответ: 1.

Решить уравнение:    (слайд 15)                                                           (учащиеся комментируют решение данного уравнения и записывают его в тетрадь)

Учитель: Рассмотрим решение следующего уравнения   (слайд 16)

В этом примере, как и в предыдущем, попытки найти корни, возводя обе части уравнения в квадрат, обречены на неудачу. Выпишем, как в предыдущем примере, условие существования функции, стоящей в левой части:

Решение этого неравенства также представляется проблематичным. Проверим неотрицательность правой части:                    

Последнее неравенство решений не имеет. Но тогда и исходное уравнение не имеет решений, так как левая часть его – неотрицательная функция!  Ответ: Æ 

Устно: Доказать, что уравнение не имеет решений: (слайд 17)

Арифметический корень не может быть отрицательным числом, поэтому уравнение решений не имеет.

Левая часть исходного уравнения  определена при              , при каждом таком значении х

Следовательно, их сумма всегда больше нуля.

Находим ОДЗ уравнения: Не существует такого значения х, при котором оба выражения имеют смысл. Поэтому уравнение решений не имеет.

ОДЗ уравнения  их сумма не меньше 3.

Заметим,

6.Домашняя работа (Слайд 18)

• §12
• №241(3,4)
• №237(2,4,6)

7.Итог урока (слайд 19)

• Сегодня на уроке я повторил…
• Сегодня на уроке я узнал…
• Сегодня на уроке я научился…

И закончить урок мне хочется словами великого Эйнштейна    «Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако, уравнения, по – моему, гораздо важнее. Политика существует для данного момента, а уравнения будут существовать вечно». (слайд 20)