Простейшие преобразования графиков
элективный курс по алгебре (9 класс) по теме

Министерство образования Российской Федерации

Департамент образования Иркутской области

Муниципальное образовательное учреждения

Средняя школа №3

Усть- Кутского муниципального образования

                                Программа

                       Элективного курса по математике

                                   для учащихся 9 класса

«Простейшие преобразования графиков»

(12 часов)

                                                      Автор: Шаманова А.А.

учитель информатики

 и математики ΙΙ квалификационной категории

Усть- Кутской МОУ СОШ №3

                                г.Усть-Кут

                                    2008г.

Содержание:

Пояснительная записка……………………….3

1.Особенности курса…………….......................4

2.Цели…………………………….......................7

3.Структура курса………………………………8

4. Содержание курса……………………………9

5.Описание разделов программы……………..10

6. Ожидаемые результаты……………………..12

7. Список литературы

     для учителя…………………………………..13

8. Список литературы

     для ученика………………………………….13

Приложение…………………………………….14

Пояснительная записка

        Данный курс для профильной подготовки учащихся 9-х классов непосредственно связан с основным курсом математики.

      В послешкольной жизни реальной необходимостью в наши дни становится непрерывное образование, что требует полноценной общеобразовательной подготовки, в том числе и графической. В ходе решения задач - основной деятельности на занятиях предпрофильного курса - развивается творческая и прикладная сторона мышления.

      Использование математического языка дает возможность развивать у учащихся точную, экономную и информативную речь, умение отбирать наиболее подходящие языковые средства.

      Общеизвестно, что геометрическая интерпретация алгебраических задач, или иначе - перевод алгебраической задачи на геометрический язык, является эффективным средством решения задач. Например, при решении уравнений и неравенств построение графиков входящих в них функций делает их наглядными, помогает найти решение и убедиться в его правильности или обнаружить ошибку. Да и некоторые уравнения (системы уравнений) и неравенства (их системы) можно решить только графически, т. е. графический метод решения является универсальным.

      Умение изображать геометрические функциональные зависимости, заданные формулами, особенно важно для успешного усвоения курса математики. Задачи на построение графиков и их использование при решении алгебраических задач предлагаются на вступительных и выпускных экзаменах. Опыт преподавания показывает, что у многих учащихся построение графиков функций вызывает затруднения. Они в значительной степени объясняются тем, что вопросы графического изображения функций в школьном курсе разбросаны по разным разделам, изучаются фрагментами, а общие приемы построения графиков практически не рассматриваются.

      Данный курс по выбору включает углубление отдельных тем базовых общеобразовательных программ по математике, а также изучение некоторых тем, выходящих за их рамки. Поэтому считаем целесообразным включение данного курса в систему предпрофильной подготовки учащихся по математике. Он дополняет базовую программу, не нарушая её целостности, способствует эстетическому воспитанию учащихся, пониманию красоты и изящества математических рассуждений, развивает воображение, пространственные представления.

     Содержание курса позволяет ученику любого уровня активно включаться в учебно-познавательный процесс и максимально проявить себя. Вопросы, включенные в этот курс, доступны и интересны всем учащимся.

    Данный курс способствует удовлетворению потребностей и запросов школьников, проявляющих интерес, склонности и способности к математике. Такие ученики получают индивидуальные задания (нестандартные задачи), им будет рекомендована дополнительная литература. Таким образом, развитие интереса к математике - важнейшая цель данного курса.

Процесс обучения ориентирован на рациональное сочетание устных и письменных, практических видов работ - как при изучении теории, так и при решении задач; развитие речи учащихся, формирование у них навыков умственного труда (планирование своей работы, поиск рациональных путей ее выполнения, критическую оценку результатов).

    Предлагаемый предметный курс по выбору будет способствовать повышению математической подготовки учащихся, самоопределению в выборе профиля обучения, уточнению готовности и способности ученика осваивать выбранный курс на повышенном уровне.

Данный курс рассчитан на 12 часов.

1. Особенности курса

2.  Цели курса.

Основная цель - ознакомить учащихся с основными приёмами преобразования и построения графиков функций, содержащих модуль, их свойствами. Привлечь внимание к эстетической стороне данного вида деятельности.

Задачи:

1.Овладеть конкретными математическими знаниями, необходимыми для  

   применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин,

   для продолжения образования.

2.Развить умственные способности, формирование качеств мышления,

    характерных для математической деятельности и необходимых для

    продуктивной жизни в обществе.

3. Уметь анализировать текущую информацию

4. Создать условия для развития коммуникативности, толерантности,

   самопрезентации и самоорганизации.

5. Способствовать формированию художественно- эстетического вкуса

   творческого отношения к себе и окружающему миру.

6. Способствовать выявлению, раскрытию и развитию всех заложенных в

    ребенке творческих способностей.

4.Содержание курса.

5.Описание разделов программы.

       Проблемно-коммуникативный  модуль 1(1 час)

Тема 1.

 Простейшие функциональные зависимости (1 час)

Семинар «Простейшие функциональные зависимости»

Систематизируются знания учащихся по вопросам; что такое функция, график функции, простейшие функциональные зависимости; составляется справочная таблица функций и их графиков.

Презентация учителя. Электронная презентация.

        Входная рефлексия: «Эмоциональная мишень».

Деятельностно-практический модуль 2 (8 часов)

Блок1.  Простейшие преобразования графиков (4,5часа)

Тема 1.

«Симметрия относительно оси ординат, симметрия относительно оси абсцисс» (1 час)

Определение четной функции, построение графиков функций  у =f(х) и у =f(-х), у =f (х) и у = -f(х), формулы, задающие данное преобразование.

Тема 2.

 «Параллельный перенос вдоль оси ординат и оси абсцисс» (1ч)

Знакомство с формулами, задающими данное преобразование. Построение графиков функций у =f(х) и y=f (х+а), у =f(х) и у=f(х) + b и у=f (х+а) + b:

Тема 3.

«Сжатие и растяжение графиков вдоль осей» (1 час).

Построение графиков функций у=f(х), у=f (кх), у = тf(х), у = тf (кх+а) + b.

Тема 4.

 «Графики дробно-линейных функций» (2 часа)

Определение дробно-линейной функции, построение графика дробно-линейной функции, вертикальная и горизонтальная асимптота. Уравнение гиперболы.

Блок 2.        Построение графиков функций, содержащих знак модуля (3,5 часа)

         Понятие графика функций, содержащих модуль. Виды графиков

           функций:их свойства

Тема 1.  

 «Линейная функция» (1,5 час).

Определение модуля, построение графиков линейных функций, содержащих выражение под знаком модуля.

Тема 2.

 «Графики квадратичных функций» (1 час).

Построение графика квадратичной функции. Использование симметрии для построения графика квадратичной функции, содержащей знак модуля.

                          Итоговый модуль 3 (3 часа)

Тема 1.

    «Использование методов сложения, умножения и вычитания графиков».

Тема 2.

      «Применение графиков в физике, химии».

Тема 3.

        Работа над проектом (в зависимости от выбора учащихся).

        Защита проектов. Самопрезентация. Выставка работ.

6.Ожидаемые результаты

  иметь представление:

• о видах деятельности, необходимых для успешной самоорганизации и эффективной коммуникации;
• о простейших преобразованиях графиков.

   знать: 

• правила коммуникации и работы в условиях малой группы и группы в целом;
• технологию проектной деятельности;
• значение преобразования графиков;

    уметь: 

• мотивировано подойти к профессиональному самоопределению;
• систематизировать информационный материал с помощью компьютерных технологий;
• работать в условиях малой группы;
• изображать геометрические функциональные зависимости, заданные формулами

владеть:

• навыками само презентации;

• конкретными математическими знаниями , необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования;
• поиском информации в системе Интернет.

Литература для учителя:

1. Алгебра: Учебное пособие для учащихся 8 кл. с углубл. изучением математики / Н. Я. Виленкин, А. Н. Виленкин, Г. С. Сурвилло и др.; Под ред. Н. Я. Виленкина. - 5-е изд. М; Просвещение, 2001.
2. Виленкин Н. Я. Рассказы о множествах. М.: Наука, 1969.
3. Дорофеев Г. В. Математика: для поступающих в вузы: Пособие. - 5-е изд., стереотип. М.: Дрофа, 2002.

        4.Гельдфан И. М. Функции и графики (основные приемы). М: Наука, 1971.

5. Кухначев Ю. В., Носов Ю. Т. Учись применять математику. М., 1977. (Серия «Знания»)
6. Мордкович А. Г. Алгебра: Учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений. М.: Мнемозина, 2001. .
7. Мордкович А. Г., Тульчинская Е. Е., Мишустина Т. Н. Алгебра 7 класс: Задачник для общеобразоват. учреждений. М.: Мнемозина, 2001.
8. Мордкович А. Г. Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений. М.: Мнемозина, 2001.

           9.Мордкович А. Г., Тульчинская Е. Е., Мишустина Т. Н. Алгебра: 8 класс: Задачник для общеобразоват. учреждений. М.: Мнемозина, 2001.

10. Мордкович А. Г. Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений. М.: Мнемозина, 2001.
11. Мордкович А. Г., Тульчинская Е. Е., Мишустина Т. Н. Алгебра: 9 класс: Задачник для общеобразоват. учреждений. М.: Мнемозина, 2001.
12. Петраков И. С. Математические кружки в 8-10 классах: Кн. для учителя. М.: Просвещение, 1987.

Литература для учащихся:

               1.Алгебра: Учебное пособие для учащихся 8 кл. с углубл. изучением математики / Н. Я. Виленкин, А. Н. Виленкин, Г. С. Сурвилло и др.; Под ред. Н. Я. Виленкина. - 5-е изд. М; Просвещение, 2001.

1. Алгебра: Учебное пособие для учащихся 9 кл. с углубл. изучением математики / Н. Я. Виленкин, А. Н. Виленкин, Г. С. Сурвилло и др.;/Пбд ред. Н. Я. Виленкина. - 5-е изд. М.: Просвещение, 2001.

2. Мордкович А. Г., Тульчинская Е. Е., Мишустина Т. Н. Алгебра 7 класс: Задачник для общеобразоват. учреждений. М.: Мнемозина, 2001.

3. Мордкович А. Г., Тульчинская Е. Е., Мишустина Т. Н. Алгебра: 8 класс: Задачник для общеобразоват. учреждений. М.: Мнемозина, 2001.
4. Мордкович А. Г. Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений. М.: Мнемозина, 2001.
5. Мордкович А. Г., Тульчинская Е. Е., Мишустина Т. Н. Алгебра: 9 класс: Задачник для общеобразоват. учреждений. М.: Мнемозина, 2001.

Учебно- методическое

обеспечение.

• Дидактический материал
• Электронные учебники
• Методическая литература для ученика и учителя
• Творческие проекты учащихся
• Наличие в учебном заведение компьютерного класса

Требования к уровню освоения содержания курса

Основными результатами освоения содержания элективного курса может быть определенный набор умений построения, преобразования и использования графиков при решении уравнений, неравенств и задач с параметрами. Административной проверки усвоения материала курса не предполагается, соответствующие задачи не будут включены в административные контрольные работы, выносимые на экзамены. В технологии проведения занятий присутствует этап самопроверки, который предоставляет учащимся возможность самим проверить как ими усвоен изученный материал. Одна из форм самостоятельной работы учащихся - практическая  работа; итоговой формой контроля может стать защита реферата и защита проекта по теме курса.

Межпредметные связи

Все больше специальностей, требующих высокого уровня образования, связаны с непосредственным применением математики (физика, химия, техника, информатика, психология и др.). Таким образом,  расширяется круг специалистов, для которых математика становится профессионально значимым предметом.

Рейтинговая система оценки:

Для контроля знаний и умений используется рейтинговая система. Каждое занятие оценивается определенным количеством баллов: по итогам выполнения самостоятельной работы и знаний теоретического материала, который проверяется с помощью тестов или устного опроса или практической работой. В рамках курса предусматривается подсчет промежуточных рейтингов. По окончании курса учащиеся предоставляют итоговую работу, которую они начинают выполнять после первого урока курса.

Итоговая оценка выставляется по сумме баллов:

«2» - менее 40% от общей суммы баллов;

«3» - от 40 до 59% от общей суммы баллов;

«4» - от 60 до 74% от общей суммы баллов;

«5»- от75 до100% от общей суммы баллов.

Приложение

Отзыв и размышление о курсе

«Простейшие преобразования графиков.»

Фамилия, имя

Дата        

1. Степень пользы курса для повышения ваших знаний:

1)        Бесполезно

2) Малоценно        

3) Не очень ценно

4) Ценно

2. Насколько вам понравились занятия по курсу

1. Совсем не понравились
2. Не понравились  
3. Нейтральное        
4. Понравилось                
5. Очень понравилось

3. Помогут ли тебе полученные знания в жизни?        

4.Наиболее удачные        

упражнения          

5.Наименее удачные

упражнения        

6. Посоветуешь ли курс свои друзьям?____________________

7.Ты хотел бы углубить или расширить знания по данной

теме?___________________________________________

8.Ваши замечания, предложения, пожелания по
курсу.

Входящая рефлексия:

Технология «Острова».

На большом листе бумаги рисуется карта с изображением эмоциональных

«островов»:  о.  Радости,  о.  Грусти,  о.  Недоумения,  о.  Просветления, о.

Воодушевления, о. Удовольствия, о. Наслаждения, Бермудский треугольник и др.        

 Карта вывешивается на доске (стене) и каждому участнику взаимодействия

предлагается выйти к карте и маркером (фломастером) нарисовать свой

кораблик в соответствующем районе карты, который отражает душевное

эмоционально-чувственное   состояние   участника   после   состоявшегося

взаимодействия.

Например:  «Моё состояние после состоявшегося урока характеризуется

удовольствием,  осознанием  полезности дела, положительными

эмоциями.   Я   нарисую   свой   кораблик   дрейфующим   между островами

Удовольствия, Радости и Просветления».

Каждый из участников: имеет право нарисовать на карте новый остров со

своим названием, если его не совсем устраивают уже имеющиеся. После

заполнения карта вывешивается на всеобщее обозрение,   и педагог может

предложить проанализировать её.

Эта технология может быть использована педагогом в конце каждого

занятия, а в конце курса сравнить их, выясняя ,как изменилось состояние учащихся.

Разработка занятия 6,7.

Модуль - это целый мир геометрических образов,

простых и понятных,

часто очень красивых и запоминающихся.

Геометрическая интерпретация удобна и доступна для понимания подавляющего большинства учащихся, так как с её использованием алгебраическая задача перестает быть абстрактной и отвлеченной, а найденные решения в процессе их поиска становятся частью опыта учащихся. Геометрический образ откладывается в сознании учащихся и легко может быть актуализирован в аналогичной или даже незнакомой ситуации. Таким образом, формируется геометрическое мышление, т. е. развивается умение оперировать различными геометрическими объектами, интерпретировать алгебраические задачи геометрически.

Из содержания лекции учащиеся на базовом уровне повторяют графики элементарных функций, а затем рассматривают влияние модуля на расположение графиков на координатной плоскости. Обращается внимание на необходимость этих графиков, их симметричность, красоту.

На практических занятиях рекомендуется работа в парах. Каждая пара получает набор карточек с функциями. Работая над построением графиков, каждая пара продумывает рациональные способы построения графиков, свойства каждого типа функции, делает выводы.

Завершающим этапом планируется практическая работа. Цель работы - построение графиков функций различных видов.

Рассмотрим график функции

Пример 1 Построить график функции 

Решение:

Правило 1. Для построения графика функциидля всех х из области определения надо ту часть графика функции  , которая расположена ниже оси абсцисс, отразить симметрично этой оси.

Таким образом, график функциирасположен только в верхней полуплоскости.

Правило 2. Для построения графика функции достаточно построить график функциидля всехиз области определения и отразить полученную часть симметрично оси ординат.

Целесообразно предлагать учащимся строить графики функцийдвумя

          способами:

1. на основании определения модуля;
2. на основании правил 1 и 2.

Пример 2. Построить график функции

Решение.

Используя правило 2, построим график функциидля

отобразим его симметрично относительно оси ординат.

всех х>0  из области определения, т.е. а затем

Правило  3.  Для того чтобы  построить график функции  , надо сначала построить график функциипри

х > 0, затем при х < 0 построить изображение, симметричное ему

относительно оси Оу , а затем на интервалах, гдепостроить изображение, симметричное графику относительно оси Ох.

Пример 3 Построить график функции

Решение.

        А) Строим график функции Б) Отображаем полученный график  

       относительно оси ординат, т. е. получаем график функции

В) Участки графика расположенные в нижней полуплоскости, преобразовываем на верхнюю полуплоскость, симметрично оси абсцисс.

Задания для самостоятельного решения.

              3. Структура курса.

и