Простейшие преобразования графиков функций
презентация к уроку по алгебре на тему

Слайд 1

Простейшие преобразования графиков функций

Слайд 2

Зная вид графика некоторой функции, можно при помощи геометрических преобразований построить график более сложной функции. Рассмотрим график функции y=x 2 и выясним,как можно построить, используя сдвиги вдоль координатных осей, графики функций вида y=(x-m) 2 и y=x 2 +n .

Слайд 3

Пример 1. Построим график функции y=(x - 2) 2 , опираясь на график функции y=x 2 (щелчок мышкой) . График функции y=x 2 есть некоторое множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение y=x 2 в верное числовое равенство. Обозначим это множество точек, то есть график функции y=x 2 , буквой F , а неизвестный нам пока график функции y=(x - 2) 2 обозначим буквой G . Сравним координаты тех точек графиков F и G , у которых одинаковые ординаты. Для этого составим таблицу: х -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 х 2 4 1 0 1 4 9 16 25 36 (х – 2) 2 16 9 4 1 0 1 4 9 16 Рассматривая таблицу (которую можно неограниченно продолжать и вправо и влево), замечаем, что одинаковые ординаты имеют точки вида (х 0 ; у 0 ) графика F и (х 0 + 2; у 0 ) графика G , где х 0 , у 0 – некоторые вполне определенные числа. На основании этого наблюдения можем сделать вывод, что график функции y=(x - 2) 2 можно получить из графика функции y=x 2 путем сдвига всех его точек вправо на 2 единицы (щелчок мышкой).

Слайд 4

Таким образом, график функции y=(x - 2) 2 может быть получен из графика функции y=x 2 сдвигом вправо на 2 единицы. Рассуждая аналогично, можно доказать, что график функции y=(x + 3) 2 также может быть получен из графика функции y=x 2 , но сдвигом не вправо, а влево на 3 единицы. Хорошо видно, что осями симметрии графиков функций y=(x - 2) 2 и y=(x - 3) 2 являются соответственно прямые х = 2 и х = - 3 . Чтобы увидеть графики, щелкни мышкой

Слайд 5

Если вместо графика y=(x - 2) 2 или y=(x + 3) 2 рассмотреть график функции y=(x - m ) 2 , где m – произвольное число, то в проведенном ранее рассуждении ничего принципиально не изменится. Таким образом, из графика функции у = х 2 можно получить график функции y=(x - m ) 2 с помощью сдвига вправо на m единиц в направлении оси Ох , если m > 0 , или влево , если m< 0 . График функции y=(x - m ) 2 является параболой с вершиной в точке ( m ; 0) . Этот вывод допускает еще большее обобщение : график функции y=f(x - m ) можно получить из графика функции y=f(x ) путем сдвига графика функции y=f(x ) вправо на m единиц в направлении оси Ох , если m > 0 , или влево , если m< 0 .

Слайд 6

Пример 2 . Построим график функции y = x 2 + 1 , опираясь на график функции y=x 2 (щелчок мышкой) . Сравним координаты точек этих графиков, у которых одинаковые абсцисс ы. Для этого составим таблицу: х -3 -2 -1 0 1 2 3 х 2 9 4 1 0 1 4 9 x 2 + 1 10 5 2 1 2 5 10 Рассматривая таблицу, замечаем, что одинаковые абсциссы имеют точки вида (х 0 ; у 0 ) для графика функции y=x 2 и (х 0 ; у 0 + 1) для графика функции y = x 2 + 1 . На основании этого наблюдения можем сделать вывод, что график функции y=x 2 + 1 можно получить из графика функции y=x 2 путем сдвига всех его точек вверх (вдоль оси Оу) на 1 единицу (щелчок мышкой).

Слайд 7

Итак, зная график функции y=x 2 , можно построить график функции y=x 2 + п с помощью сдвига первого графика вверх на п единиц, если п>0 , или вниз на | п | единиц, если п<0 . Графиком функции y=x 2 + п является парабола с вершиной в точке (0; п) . Страница отображается по щелчку Вывод: график функции y=f(x - m ) + п может быть получен из графика функции y=f(x ) с помощью последовательно выполненных двух параллельных переносов: сдвига вдоль оси Ох на m единиц и сдвига графика y=f(x - m ) вдоль оси Оу на п единиц. Обобщение : график функции y=f(x ) + п можно получить из графика функции y=f(x ) путем сдвига графика функции y=f(x ) вверх на п единиц в направлении оси Оу , если п > 0 , или вниз , если п < 0 .

Слайд 8

Из выше сказанного следует, что графиком функции y=(x - m ) 2 + п является парабола с вершиной в точке ( m ; п) . Ее можно получить из параболы y=x 2 с помощью двух последовательных сдвигов. Пример 3. Докажем, что графиком функции у = х 2 + 6х + 8 является парабола, и построим график. Решение. Представим трехчлен х 2 + 6х + 8 в виде (x - m ) 2 + п . Имеем х 2 + 6х + 8 = х 2 + 2х*3 + 3 2 – 1 = (x + 3) 2 – 1 . Отсюда у = (x + 3) 2 – 1 . Значит, графиком функции у = х 2 + 6х + 8 является парабола с вершиной в точке (- 3; - 1) . Учитывая, что ось симметрии параболы – прямая х = - 3 , при составлении таблицы значения аргумента функции следует брать симметрично относительно прямой х = - 3 : х -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 у 8 3 0 -1 0 3 8 Отметив в координатной плоскости точки, координаты которых занесены в таблицу (щелчок мышкой), проводим параболу (по щелчку).

Слайд 9

Постройте самостоятельно графики функций: у = х 2 + 2; у = х 2 – 3; у = (х – 1) 2 ; у = (х + 2) 2 ; у = (х + 1) 2 – 2; у = (х – 2) 2 + 1; у = (х + 3)*(х – 3); у = х 2 + 4х – 4; у = х 2 – 6х + 11. При построении графика функции вида y=(x - m ) 2 + п удобно пользоваться заранее заготовленным шаблоном параболы у = х 2 . шаблон параболы у = х 2 Далее можно сверить свои результаты с тем, что должно быть в действительности