Проект "Пропорции". Математика. 6 класс.
проект по алгебре (6 класс) по теме

Проект по математике

"Пропорции и их применение

при решении старинных задач"

6 класс

                                                        Учитель: Кудинова Л.Г.,

                                                               МОУ «Мамоновская ООШ»

                                                               Пронского района Рязанской области

Основной вопрос: 

Научиться применять основное свойство пропорции при решении старинных задач.

Вопрос учебной темы:

Знакомство с методикой решения задач «на пропорции».

Учебные предметы:  математика, история                    

         Участники: учащиеся 6 класса.

Информационные ресурсы: различные словари, справочники, Интернет – ресурсы.

Дидактические цели проекта:

• формирование интереса к обучению;
• развитие памяти, наблюдательности, познавательных интересов, творческих способностей, логического мышления;
• обучение сотрудничеству, формирование навыков взаимодействия, развитие коммуникативных качеств;
• приобретение навыков самостоятельной работы со справочной литературой, большими объемами информации;
• развитие познавательного интереса к предмету математики.

Методические задачи:

Закрепить знания, полученные при изучении темы "Пропорция, Основное свойство пропорции":

• определение пропорции,
• основное свойство пропорции,
• выделение в условиях задач двух величин и установление вида зависимости между ними,
• по условию задачи составлять пропорцию.

Ход проекта:

• В самом начале проекта учащиеся делятся на группы, каждая из которых получает задание: карточки с задачами. Учитель проводит инструктаж по решению задач, приводит конкретные примеры решения задач стандартного типа.
• В каждой группе учащиеся выбирают, какие понятия они должны повторить и применить в процессе выполнения задания. При этом учащиеся могут выбирать понятия, изученные на уроках; понятия, встречающиеся и не встречающиеся в учебнике, но имеющие отношение к проблеме.
• Учащиеся работают с дополнительной литературой.

Проблемные вопросы:

• Выделить необходимые понятия для использования их при решении задач;
• Составить исторические справки: о математиках, изучающих пропорции, о старинных величинах;
• Решить задачи «на пропорции»;
• Оформить решение задач.

Результаты представления исследований:

• Оформление решение задач (слайды, газета, буклет).

Этапы и сроки проведения проекта:

• Формулирование тем исследований учеников – 1 урок, 20 минут.
• Формирование групп для проведения исследований, выдвижение гипотез решения проблем – 1 урок, 10 минут.
• Обсуждение плана работы учащихся индивидуально или в группе – 2 урок, 10 минут.
• Обсуждение с учащимися возможных источников информации – 2 урок, 15 минут.
• Самостоятельная работа групп по выполнению заданий – 2-3 урока

• Защита полученных результатов и выводов – 2 урока.

О проекте

Часто изучение терминологии по предмету превращается для ребенка в скучную зубрёжку, после которой эмоциональный настрой резко снижается, а «выученные» термины быстро забываются. Для того чтобы разрядить эту негативную обстановку, детям предлагается поучаствовать в решении задач нестандартного вида и нестандартного содержания. При этом дети учатся работать со справочной литературой, отыскивая и подбирая необходимые понятия. А также происходит закрепление навыков, приобретенных в ходе изучения темы. Выполнение данного задания способствует развитию логического мышления и творческой деятельности учащихся.

Предполагается, что решенные в ходе выполнения проекта задачи  будут в дальнейшем использованы для проверки знаний учащихся другого класса (или этого же) по данной теме. Тем самым достигается практическая, теоретическая, познавательная значимость предполагаемого результата.

Урок в 6 классе

Тема: «Пропорция. Основное свойство пропорции»

Учитель: Кудинова Л.Г.

Цели урока: повторить понятие пропорции, основное свойство пропорции; закрепить понятия; научить применять основное свойство пропорции при решении задач

Оборудование: карточки с заданиями, слайд с ответами математического диктанта, сигнальные карточки.

ХОД УРОКА.

1. Слово учителя.

- Что объединяет движение транспорта и кулинарию, изготовление сплавов и малярные работы, картографию и биологию?

Оказывается, что нередко возникают ситуации, когда пропорции помогают решать, казалось бы, разные задачи.

    Сегодня на уроке мы будем применять основное свойство пропорций при решении задач. Рассмотрим задачи не только из учебника математики, но и из учебника по технологии.

- Для того чтобы пользоваться кулинарными рецептами, производить по ним перерасчет продуктов, требуется знать, что такое отношение, пропорциональность. Рассмотрим конкретный рецепт.

Овощная икра. Репчатый лук, соленые огурцы и морковь берутся в весовом отношении 3 : 4 : 4. вымытые, очищенные и порезанные овощи перемешиваются с небольшим количеством томатной пасты и 15 минут тушатся на огне. Подают к столу в холодном виде.

     В зависимости от того, на какое количество людей или на какой срок хранения вы будете готовить овощную икру, нужно взять разное количество продуктов.

Пример. Для одной семьи достаточно взять 1 кг огурцов и моркови. Сколько нужно добавить лука?

       Огурцы и морковь входят в блюдо в объеме 4 весовых частей. Значит, одна единица массы составит 1000 : 4 = 250 (г). А лук по рецепту составляет три весовые части, т.е. 250 · 3 = 750 (г).

          Итак, для приготовления овощной икры можно взять 750 г. репчатого лука, 1 кг соленых огурцов и 1 кг. моркови

(массы находятся в отношениях 3 : 4 : 4).

     Подсчитайте количество продуктов, необходимое для приготовления икры, если за основу хотите взять 1,5 кг лука.

(Ученики производят расчеты).

Ответ: для приготовления икры на семью потребуется 1,5 кг лука, 2 кг соленых огурцов, 2 кг моркови.

Учитель:

- У каждого на парте лежат сигнальные карточки – красная и зеленая.

Мы будем играть в игру «Молчанка». Если вы с согласны с ответом ученика, которому я задаю вопрос, то молча поднимаете зеленую карточку, если нет – красную.

Задача. Мама заплатила 40 руб. за 2 кг. Сахара, а бабушка 60 руб. за 3 кг сахара. Выясните, по одинаковой ли цене был куплен сахар.

Решение. Стоимость 1 кг сахара, купленного мамой: 40 : 2 = 20 (руб); бабушка купила сахар по цене 60 : 3 = 20 (руб). Имеем

40 : 2 = 60 : 3 или 40  =   60

                                     2         3

Такие равенства мы называем пропорциями. Нам уже известно, что

a : b = c : d  

 - Как называются числа a, b, c и d?

Историческая справка (сообщение ученика).

      Пропорцией называют равенство отношений двух или нескольких пар чисел или величин. Слово «пропорция» означает «соразмерный, имеющий правильное соотношение частей». Например, размеры модели машины или сооружения отличаются от размеров оригинала одним и тем же множителем, задающим масштаб модели.

        Справедлива и другая пропорция, которая показывает, что отношения точек оригинала такие же, как и отношения расстояний соответствующих точек модели.

        Пропорции начали изучать в Древней Греции. Сначала рассматривали только пропорции, составленные из натуральных чисел. В IV в. до н. э. древнегреческий математик Евдокс дал определение пропорции, составленной из величин любой природы.

        Древнегреческие математики с помощью пропорций решали задачи, которые в настоящее время решают с помощью уравнений, выполняли алгебраические преобразования, переходя от одной пропорции к другой.

      Роль теории пропорций заметно уменьшилась после того, как было осознано, что отношение величин является числом (может быть иррациональным), а поэтому пропорция – это равенство чисел. Это позволило вместо пропорции использовать уравнения, а вместо преобразований пропорций – алгебраические преобразования.

Учитель.

- Из пропорции можно вывести равенство произведений ее членов. Чтобы не перепутать, какие члены пропорции надо перемножить, посмотрите, как они расположены в пропорции.

Сформулируйте основное свойство пропорции.

А сейчас проверим, правильно ли составлены следующие пропорции:

1) 3 : 6 = 2 : 4

2) 4 : 6 = 2 : 3

3) 3 : 6 = 4 : 2

4) 6 : 3 = 2 : 4

5) 6 : 2 = 4 : 6

6) 6 : 4 = 3 : 2

7) 6 : 3 = 4 : 2

8) 8 : 4 = 2 : 3

Учитель читает равенства по одному, а учащиеся с помощью сигнальных карточек показывают, является это равенство пропорцией или нет.

Задание 2. Решите задачу.

Из 18 т железной руды выплавляют 10 т железа. Сколько железа можно выплавить из 36 т руды?

(Ученики решают задачу)

На доске ученик записывает решение задачи. Идет обсуждение решения.

Задание 3. Математический диктант.

Форма проверки математического диктанта – взаимопроверка (по парте).

Учитель.

- Для проведения урока технологии учителю и девочкам класса необходимо провести некоторые расчеты для приготовления гречневой каши.

Решим задачу.

Задание 4. Решите задачу.

 Из 1 кг гречневой крупы получается 2,1 кг гречневой рассыпчатой каши. Мы хотим получить 1600 г каши. Сколько нужно взять крупы?

 (Ученики решают задачу методом пропорции. Ответ: 760 г.)

Задание на дом:

1. Сосчитайте, сколько понадобится гречневой крупы, чтобы сварить такую кашу для вашей семьи. Предполагается, что человек в среднем съедает 200 г каши.
2. Для приготовления салата взяли помидоры, огурцы и лук. Известно, что помидоров взяли 600 г., а овощи в весовом отношении 3 : 2: 1 соответственно. Сколько огурцов и лука взяли для приготовления салата?

Подведение итогов. Выставление оценок.

Старинные задачи «на пропорции»

• В жаркий день 6 косцов выпили бочонок кваса за 8 ч. Нужно узнать, сколько косцов за 3 ч выпьют такой же бочонок кваса?

• 8 аршин сукна стоят 30 рублей. Сколько стоят 15 аршин этого сукна? (из «Арифметики» А.П. Киселева).

• Взяли 560 человек солдат корма на 7 месяцев, а приказано им на службе быть 10 месяцев; и захотели людей от себя убавить, чтобы корма хватило на 10 месяцев. Спрашивается сколько человек надо убавить.

• Одна артель плотников, состоящая из 28 человек, может построить дом в 54 дня, а другая из 30 человек – в 45 дней. Какая артель работает лучше?

• 2 землекопа за 2 часа выкапывают 2 м канавы. Сколько землекопов за 5 часов выкопают 5 м канавы?

Старинные задачи «на пропорции»

• Некто имел 100 рублей в купечестве 1 год и приобрел ими только 7 рублей. А когда отдал в купечество 1000 рублей на 5 лет, сколько ими приобретёт? (из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого).

• Если писец может за 8 дней написать 15 листов, сколько понадобится писцов, чтобы написать 405 листов за 9 дней? (из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона).

• Переписчик в течение четырёх дней может переписать 40 листов, работая по 9 часов в день. Во сколько дней он перепишет переписчик 60 листов, работая по 12 часов в день?

• В первой бригаде землекопов 4 человека – они за 4 ч выкопали 4 м канавы. Во второй бригаде землекопов 5 человек – они за 5 ч выкопали 5 м канавы. Какая бригада работает лучше?

• Для освещения 18 комнат в 48 дней издержано 120 фунтов керосина, причем в каждой комнате горело по 4 лампы. На сколько дней достанет 125 фунтов керосина, если освещать 20 комнат  и в каждой комнате будет гореть по 3 лампы? (из «Арифметики А.П. Киселева).