Открытый урок по теме: «Функция: понятие, способы задания, основные характеристики. Обратная функция. Суперпозиция функций».
план-конспект урока по алгебре (10 класс) по теме

Тема: «Функция: понятие, способы задания, основные характеристики. Обратная функция. Суперпозиция функций».

Эпиграф урока:                          

                                                      «Изучать что-либо и не задумываться над

                                                         выученным - абсолютно бесполезно.

                                                         Задумываться над чем-либо, не изучив

                                                                  предварительно предмет раздумий-

                                                                  опасно.»

                                                                                        Конфуций.

Цель и психолого-педагогические задачи урока:

1. Общеобразовательная (нормативная) цель: повторить со студентами определение и свойства функции. Ввести понятие суперпозиции функций.
2. Задачи математического развития студентов: на нестандартном учебно-математическом материале продолжить развитие ментального опыта учащихся, содержательной когнитивной структуры их математического интеллекта, в том числе, способностей к логико-дедуктивному и индуктивному, аналитическому и синтетическому обратимому мышлению, к алгебраическому и образно-графическому мышлению, к содержательному обобщению и конкретизации, к рефлексии и самостоятельности как метакогнитивной способности студентов; продолжить развитие культуры письменной и устной речи как психологических механизмов учебно-математического интеллекта.
3. Воспитательные задачи: продолжить личностное воспитание у студентов познавательного интереса к математике, ответственности, чувства долга, академической самостоятельности, коммуникативного умения сотрудничать с группой, преподавателем, согруппниками; аутогогической способности к соревновательной учебно-математической деятельности, стремления к высоким и высшим ее результатам (акмеический мотив).

Тип урока: изучение нового материала; по критерию ведущего математического содержания - урок-практикум; по критерию типа информационного взаимодействия учащихся и преподавателя – урок сотрудничества.

Оборудование урока:

1. Учебная литература:

        1)  Кудрявцев Л.Д.  Курс математического анализа: Учеб. для студентов университетов и вузов. В 3 т. Т. 3. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1989. – 352 с. : ил.

         2) Демидович Б.П.  Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – 9-е изд. – М.: Издательство «Наука», 1977.

2. Иллюстрации.

                                                  Ход урока.

1.Объявление темы и главной образовательной цели урока; стимулирование чувства долга, ответственности, познавательного интереса студентов при подготовке к сессии.

2.Повторение материала по вопросам.

        a) Дать определение  функции.

Одним из основных математических понятий является понятие функции. Понятие функции связано с установлением зависимости между элементами двух множеств.

Пусть даны два непустых множества  и  . Соответствие f, которое каждому элементу  сопоставляет один и только один элемент , называется функцией и записывается y = f(x). Говорят еще, что функция f отображает множество  на множество .

рис.1

Например, соответствия f и g, изображенные на рис.1 а и б, являются функциями, а на рис.1 в и г – нет. В случае в – не каждому элементу  соответствует элемент . В случае г не соблюдается условие однозначности.

     Множество X называется областью определения функции f и обозначается D(f) . Множество всех  называется множеством значений функции f и обозначается E(f).

      б) Числовые функции. График функции. Способы задания функций.

Пусть задана функция .

Если элементами множеств  и  являются действительные числа, то функцию f называют числовой функцией. Переменная x при этом называется аргументом или независимой переменной, а y – функцией или зависимой переменной (от x). Относительно самих величин x и y говорят, что они находятся в функциональной зависимости.

Графиком функции y = f(x)  называется множество всех точек плоскости Oxy , для каждой из которых x является значением аргумента, а y – соответствующим значением функции.

Чтобы задать функцию y = f(x), необходимо указать правило, позволяющее, зная x , находить соответствующее значение y.

Наиболее часто встречаются три способа задания функции: аналитический, табличный, графический.

Аналитический способ: функция задается в виде одной или нескольких формул или уравнений.

Например:

Если область определения функции y = f(x) не указана, то предполагается, что она совпадает с множеством всех значений аргумента, при которых соответствующая формула имеет смысл.

Аналитический способ задания функции является наиболее совершенным, так как к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию y = f(x).

Графический способ: задается график функции.

Преимуществом графического задания является его наглядность, недостатком – его неточность.

Табличный способ: функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции. Например, известные таблицы значений тригонометрических функций, логарифмические таблицы.

в) Основные характеристики функции.

1. Функция y = f(x),определенная на множестве D, называется четной, если  выполняются условия  и f(-x) = f(x); нечетной, если   выполняются условия   и f(-x) = -f(x).

График четной функции симметричен относительно оси Oy, а нечетной – относительно начала координат. Например,  – четные функции; а y = sinx,  – нечетные; y = x-1,  – функции общего вида, т.е. не четные и не нечетные.

2.Пусть функция y = f(x) определена на множестве D и пусть . Если для любых значений  аргументов из неравенства  вытекает неравенство: , то функция называется возрастающей на множестве ; если , то функция называется неубывающей на ;  то функция наз. убывающей на ;  - невозрастающей.

Возрастающие, невозрастающие, убывающие и неубывающие функции на множестве  называются монотонными на этом множестве, а возрастающие и убывающие – строго монотонными. Интервалы, в которых функция монотонна, называются интервалами монотонности.

   3. Функция  y = f(x), определенная на множестве D, называется периодической с периодом T>0, если при каждом xD значение (x+T)D и выполняется равенство f(x+T) = f(x).

      Для построения графика периодической функции периода T достаточно построить его на любом отрезке длины T и периодически продолжить его во всю область определения.

         Отметим основные свойства периодической функции.

             1) Алгебраическая сумма периодических функций, имеющих один и тот же период T, есть периодическая функция с периодом T.

            2) Если функция f(x) имеет период T, то функция f(ax) имеет период T/a.

г) Обратная функция.

Пусть задана функция y = f(x) с областью определения D и множеством значений E. Если каждому значению  соответствует единственное значение , то определена функция x = z(y) с областью определения E и множеством значений D. Такая функция z(y) называется обратной к функции f(x) и записывается в следующем виде: . Про функции y = f(x) и x = z(y) говорят, что они являются взаимно обратными. Чтобы найти функцию x = z(y), обратную к функции y = f(x), достаточно решить уравнение f(x) = y относительно x.

Примеры:

1. Для функции y = 2x обратной функцией является функция x = ½ y;
2. Для функции  обратной функцией является функция .

Из определения обратной функции вытекает, что функция y = f(x) имеет обратную тогда и только тогда, когда f(x) задает взаимно однозначное соответствие между множествами D и E. Отсюда следует, что любая строго монотонная функция имеет обратную. При этом, если функция возрастает (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает).

3. Изучение нового материала.

Сложная функция.

Пусть функция y = f(u) определена на множестве D, а функция u = z(x) на множестве , причем для  соответствующее значение . Тогда на множестве  определена функция u = f(z(x)), которая называется сложной функцией от x (или суперпозицией заданных функций, или функцией от функции).

Переменную u = z(x) называют промежуточным аргументом сложной функции.

Например, функция y = sin2x есть суперпозиция двух функций y = sinu и  u = 2x. Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов.

4. Решение нескольких примеров у доски.

5. Заключение урока.

         1) теоретико-прикладные итоги практического занятия; дифференцированная оценка уровня ментального опыта учащихся; уровня усвоения ими темы, компетентности, качества устной и письменной математической речи; уровня проявленного творчества; уровня самостоятельности и рефлексии;  уровня инициативы, познавательного интереса к   отдельным методам математического мышления; уровней сотрудничества, интеллектуальной состязательности, стремления к высоким показателям учебно-математической деятельности и др.;

         2) объявление аргументированных отметок, поурочного балла.

                                             Спасибо за урок!