Усвоение понятий экстремума, наибольшего и наименьшего значений функции
статья по алгебре (10 класс) по теме

Фомина Людмила Михайловна

Г.Когалым, ХМАО-Югра,

МБОУ «Средняя школа № 5».

Усвоение понятий экстремума, наибольшего и наименьшего значений функции

Для усвоения данных понятий прежде всего надо сформировать у учащихся верные знания об экстремумах. К сожалению, во всех школьных учебниках по алгебре и началам анализа (в том числе и для школ с углублённым изучением математики) рассматриваются экстремумы лишь непрерывных функций. Но существуют и экстремумы разрывных функций, в том числе с разрывом в точке экстремума, поэтому полезно предлагать учащимся такие упражнения:

1.Укажите все точки максимума и минимума функций, графики которых заданы на рис.1.

2. Постройте график функции, у которой имеется минимум, больший максимума.

При выполнении последних упражнений учащиеся лучше усваивают локальный смысл экстремума и определения максимума и минимума.

Существенно, чтобы учащиеся отличали экстремумы от наибольшего и наименьшего значений функции.

3. Приведите пример функции, у которой наибольшее значение на некотором промежутке области определения не является максимумом.

4. Приведите пример функции, для которой её максимум не является наибольшим значением в области определения. Укажите интервал, в котором он является наибольшим значением.

5.        Может ли функция иметь: а) два различных максимума; б) два различных наибольших в своей области определения значения; в) одно наибольшее значение, принимаемое в различных точках? Приведите графические примеры.

 Следующий шаг - изучение сочетаний различных свойств функций со свойством "иметь экстремум".

6. Пусть нечётная функция f имеет в точке х=а максимум. Имеет ли она в точке х=-а экстремум и какой?

7. Может ли иметь чётное число экстремумов: а) чётная функция;      б)        нечётная функция? Приведите примеры, можно графические.

8. Приведите пример функции, которая: а) непрерывна на (а;b), но не ограничена в этом интервале; б) непрерывна и ограничена на интервале (а;b), но не имеет на нём наибольшего и наименьшего значений;        в)        определена на (а;b), но не имеет на нём наибольшего и наименьшего значений.

9. Постройте график функции, непрерывной на отрезке [0;3], принимающей наибольшее значение в трёх точках и минимум в двух точках указанного отрезка. Возможно ли это?

10. Постройте график функции, непрерывной на отрезке [0;3], принимающей наибольшее значение в двух точках, минимум в одной точке данного отрезка и не имеющей на нём наименьшего значения. Возможно ли это?

11. а) Может ли функция, возрастающая на каждом из промежутков [-∞ ;0] и [0;+∞], иметь экстремум в точке х=0? (см. Рис.2а,б). б) Может ли функция, возрастающая на

(-∞ ;0) и убывающая на (0;+∞), не иметь в точке, х = 0 максимума? (см. рис. 2 б,в). в) Может ли функция, возрастающая на (-∞ ;0) и убывающая на (0;+∞), иметь в точке х=0 минимум? (см. рис.3).

      12. Верно ли, что если функция имеет максимум, то она необратима? (см. рис.4).

13.Приведите пример обратимой функции, определённой на [0;1] и имеющей две точки экстремума.

14.Докажите, что непрерывная обратимая функция не может иметь экстремумов.

15.Пусть (х) > 0 при х<х0   и   (х) < 0 при х >х0. Верно ли утверждать, что в точке х0  функция  f  имеет максимум?

16. Приведите пример функции, дифференцируемой на ]0;1[ и имеющей на нём бесконечное множество точек экстремума.

17. Начертите графики функций, определённых и непрерывных на множестве R и имеющих ровно: а) 0; б) 1; в) 2; г) 3; д) 10; е) бесконечно много точек экстремума.

18. Может ли нечётная функция иметь ровно две противоположного знака точки максимума?