Элективный курс "Уравнения с параметром"
элективный курс по алгебре (11 класс) по теме

Элективный курс

"Параметры в школьном курсе математики"

Срок реализации – 1год

Возраст детей – 16-17 лет        

Автор- составитель программы:

 Алексеева Елена Юрьевна

учитель математики и информатики  I категории

 МО БУ СОШ № 2 села Бижбуляк Республики Башкортостан

Пояснительная записка

Целью профильного обучения, как одного из направлений модернизации математического образования является обеспечение углубленного изучения предмета и подготовка учащихся к продолжению образования. Основным направлением модернизации математического школьного образования является отработка механизмов итоговой аттестации через введение единого государственного экзамена. В заданиях ЕГЭ по математике с развернутым ответом (часть С), а также с кратким ответом (часть В), встречаются задачи с параметрами. Обязательны такие задания и на вступительных экзаменах в вузы. Появление таких заданий на экзаменах далеко не случайно, т.к. с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень логического мышления учащегося и их математической культуры. Решению задач с параметрами в школьной программе уделяется мало внимания. Большинство учащихся либо вовсе не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкие выкладки. Причиной этого является отсутствие системы заданий по данной теме в школьных учебниках. В связи с этим возникла необходимость в разработке и проведении элективного курса для старшеклассников по теме: «Решение задач с параметрами». Многообразие задач с параметрами охватывает весь курс школьной математики. Владение приемами решения задач с параметрами можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления. Задачи с параметрами дают прекрасный материал для настоящей учебно-исследовательской работы.

Актуальность проблемы, его практическая значимость

В связи с переходом на профильное обучение возникла необходимость в обеспечении углубленного изучения предмета и подготовки учащихся к продолжению образования. Владение приемами решения задач с параметрами можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления.

Цель курса

1. Формировать у учащихся умения и навыки по решению задач с параметрами, сводящихся к исследованию линейных и квадратных уравнений, неравенств
2.  Изучение курса предполагает формирование у учащегося интереса к предмету, развитие их математических способностей.
3.  Развивать исследовательскую и познавательную деятельность учащегося.
4.  Обеспечить условия для самостоятельной творческой работы.

Задачи курса:

1. Формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету.
2. Выявление и развитие их математических способностей.
3. Воспитание культуры мышления, определяющую мировоззренческую культуру учащихся

Новизна опыта

         Разработана и апробирована программа элективного курса. Систематизирован теоретический и дидактический материал, отвечающий принципу последовательного нарастания сложности.

Адресная направленность

Настоящая программа предназначена для учащихся 10-11 классов и рассчитана на 34 часа.  Необходимость перехода старшей школы на профильное обучение определена Правительством России в «Концепции модернизации российского образования на период до 2010 г.», где ставится задача создания специализированной подготовки (профильного обучения) в старших классах общеобразовательной школы, ориентированной на индивидуализацию обучения и социализацию обучающихся, в том числе с учетом реальных потребностей рынка труда, отработки гибкой системы профилей и кооперации старшей ступени школы с учреждениями начального, среднего и высшего профессионального образования».

Особое внимание при повторении следует обратить на задачи, содержащие модуль и параметр. В обязательном минимуме этот материал представлен, но в школьном курсу алгебры такие задачи рассматриваются пока крайне редко, бессистемно, поэтому вызывают трудности у школьников. На экзаменах прошлых лет общеобразовательных классах, как правило, задачи с параметрами и модулями не решались, а если решались сильными учащимися, то только частично. Дело в том, что методы решения уравнений и неравенств с параметрами и модулями учащимся неизвестно. Поэтому учителю, прежде всего, необходимо познакомить учеников с приемами решения этих задач, и делать это нужно не от случая к случаю, а регулярно. В процессе подготовки к экзамену необходимо отрабатывать у учащихся умение четко представлять ситуацию, о которой идет речь, анализировать, сопоставлять, устанавливать зависимость между величинами. Важно знакомить учащихся с различными способами решения задачи, а не отдавать предпочтение какому-то одному способу. Ученик должен знать, что при выполнении работы он может выбрать любой способ решения, важно, чтобы задача была решена правильно. При подготовке к экзамену большое внимание следует уделять накоплению у учащихся опыта самостоятельного поиска решений, чтобы на экзамене каждый ученик был готов к полной самостоятельности в работе.

В связи с выше сказанным, возникла необходимость в разработке и внедрении в учебный процесс элективного курса по математике по теме: «Решение задач с параметрами».

Основными формами проведения элективного курса являются изложение узловых вопросов курса в виде обобщающих лекций, семинаров, дискуссий, практикумов по решению задач, рефератов учащихся, самоконтроля

Учебно–тематический план

Содержание программы

1. Введение. Первоначальные сведения. (2часа)

Цели и задачи курса. Определение параметра. Виды уравнений и неравенств, содержащие параметр. Основные приемы решения задач с параметрам.

Практическая работа. Решение простейших уравнений с параметрами вида

2. Решение линейных уравнений (и уравнений приводимых к линейным), содержащих параметр. (2 часа)

Общие подходы к решению линейных уравнений. Решение линейных уравнений, содержащих параметр. Решение уравнений, приводимых к линейным. Решение линейно - кусочных уравнений. Применение алгоритма решения линейных уравнений, содержащих параметр. Геометрическая интерпретация. Решение системных уравнений.

Практическая работа. Поиск решения линейных уравнений в общем, виде; исследование количества корней в зависимости от значений параметра.

3. Решение линейных неравенств, содержащих параметр. (2 часа)

Определение линейного неравенства. Алгоритм решения неравенств.
Решение стандартных линейных неравенств, простейших неравенств с параметрами. Исследование полученного ответа. Обработка результатов, полученных при решении.

Практическая работа. Решения стандартных неравенств и приводимых к ним, углубленное изучение методов решения линейных неравенств.

4. Квадратные уравнения, содержащие параметр. (5 часов)

Актуализация знаний о квадратном уравнении. Исследования количества корней, в зависимости от дискриминанта. Использование теоремы Виета. Исследование трехчлена. Алгоритм решения уравнений. Аналитический способ решения.
Графический способ. Классификация задач, с позиций применения к ним методов исследования.

Практическая работа.  Решения квадратных уравнений с параметрами.

5. Показательные и логарифмические уравнения, содержащие параметр.
Рациональные уравнения  (2 часа)

Свойства степеней и показательной функции. Решение показательных уравнений и неравенств, содержащих параметры. Свойства логарифмов и логарифмической функции. Решение логарифмических уравнений и неравенств с параметрами.
Практическая работа. Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств с параметрами, рациональных уравнений

6. Тригонометрия и параметр. Иррациональные уравнения. (4 часа)  

Использование основных свойств тригонометрических функций в задачах с параметрами. Тригонометрические уравнения, содержащие параметр. Тригонометрические неравенства, содержащие параметр. Область значений тригонометрических функций.

          Практическая работа.  Использование свойств тригонометрических функций при решении тригонометрических уравнений и неравенств с параметрами.
Исследование дробно-рациональных уравнений, содержащих параметры.

7. Свойства квадратичной функции в задачах с параметрами. (3 часа)

Область значений функции. Область определения функции.
Монотонность. Координаты вершины параболы.

Практическая работа.  Использование свойств квадратичной функций в задачах  с параметрами

8. Производная и ее применение. (3 часа)

Касательная к функции. Критические точки. Монотонность. Наибольшие и наименьшие значения функции. Построение графиков функций.

Практическая работа. Решение задач с параметрами на применение методов дифференциального исчисления.

9. Нестандартные задачи. (4 часа)

10. Текстовые задачи с использованием параметра. (3 часа)

Практическая работа. Решение текстовых задач с параметрами 

11. Итоговое тестирование (2 часа)

Методическое обеспечение программы

Требования к знаниям и умениям

1. Усвоить основные приемы и методы решения уравнений, неравенств систем уравнений с параметрами;
2.  Применять алгоритм решения уравнений, неравенств, содержащих параметр,
3.  Проводить полное обоснование при решении задач с параметрами;
4.  Овладеть исследовательской деятельностью.

Ожидаемый результат

Учащиеся более уверенно решают нестандартные задачи, задачи с параметрами.

Заключение

Введение элективного курса «Решение задач с параметрами» необходимо учащимся в наше время. Владение приемами решения задач с параметрам можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления. Решение задач, уравнений с параметрами, открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применяемых в исследованиях и на любом другом математическом материале. Именно такие задачи играют большую роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, Поэтому учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами, успешно справляются с другими задачами

Литература

1. Локоть В.В. Задачи с параметрами и их решение: Тригонометрия: уравнения, неравенства, системы. 10 класс. – 3-изд., испр. и доп. – М.:АРКТИ, 2008
2. Локоть В.В. Задачи с параметрами. Применение свойств функций, преобразование неравенств. – М.: АРКТИ, 2007.
3. Материалы по подготовке к ЕГЭ 2001-2008 г
4. Сборник задач по математике: в двух книгах. Книга 2. геометрия/ В.К. Егерев, В.В. Зайцев, Б.А. Кордемский и др.; Под редакцией М.И. Сканави. -10-е изд., испр. – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»: ООО «Издательство « Мир и образование», 2005.
5. Цыганов Ш.И. Энциклопедия ЕГЭ по математике 2005 года: Учебное пособие. –   1-е изд. – Уфа:Издательство «Эдвис», 2004.

Приложение

Т е с т

Часть I

А1. При каком значении параметра к значение выражения  равно 2?

1)                 2) -0,5                3) 0,25                4) 0,5

А2. При каком значении параметра а значение выражения  равно

1)6                2) 48                3) 12                4) 24

А3. При каком значении параметра b значение выражения  равно 3?

1) 4,5                2) 9,5                3) 13,5                4) 24

А4. На рисунке 1 изображен график функции y=f(x), заданной на отрезке [-3;6]. При каком значении параметра а функция y=f(x+а), определенная на отрезке [-2;2], будет четной?

рис. 1

1) -1                2) 1                3) 2                4) -2

А5. При каком значении параметра р значение производной функции у=рх4ех+р в точке х=-1 равно ?

1) -                2)                 3)                 4)

А6. Найдите множество значений функции у=5а+3аsinx  при положительных значениях параметра а?

1) [-1;1]        2) [2a;8a]        3) [-3a;3a]        4) [3a;5a]

А7. Решите неравенство  при отрицательных значениях параметра а.

1) (-; 2а]        2) [2a; 0)        3) (-; 2a](0; +)        4)[-2a; 0)

А8. При каком значении параметра а  областью определения функции

  является промежуток (-; -63) (-63;1]?

1) -21                2)                 3)                 4) -62

А9. На рисунке 2 изображен график функции y=f(x), заданной на отрезке [-3;7]. Укажите все значения параметра а, при которых множество решений неравенства f(x+а)содержит ровно  одно целое число.

рис. 2

1)-1        2)(0;1]        3)(- ;-1]        4) [-1;0)

А10.  При каком значении параметра р решением уравнения 2cos(2рх)-=0 является ?

1)                 2)                 3)                 4)

В1. При каком наибольшем целом значении параметра а уравнение имеет три различных действительных корня?

В2. Найдите все значения параметра а, при которых число 5 является корнем уравнения

 1g(3а+x-2)+ 1g(x+1)= lg72.

В3. Известно, что а — корень уравнения ctgx=b. При каком положительном значении параметра b значение выражения sin 2 a+3cos 2 a равно 2,8?

Часть II

В4. Пусть (х0; у0) – решение системы уравнений

Найдите такое значение параметра а, при котором х0= у0

В5. Функция у = f(х) определена на промежутке (—5; 5). На рисунке 3 изображен график её производной. Для каждого целого значения a из отрезка [-3; 2] к графику функции у =f(х) + ах провели все касательные, которые параллельны оси Ох. При каком значении параметра а проведенных касательных было наименьшее количество?

рис. 3

В6. При каком наибольшем положительном целом значении параметра а значение выражения    является целым при

х = 20,001?

В7. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

2х2+2·3а+1·х-9=6х-33·3а имеет единственное решение. (Если искомых значений параметра а несколько, то в ответе запишите их сумму.)

В8. Функция у = f(х) определена на всей числовой прямой и является периодической с периодом 8. На рисунке 4 изображен график этой функции при . Найдите все значения параметра а из промежутка (7; 20], при которых значение выражения 4f(а)+3f(5)+2f(11) равно 1. (Если искомых значений параметра а несколько, то в ответе запишите их сумму.)

 рис.4

В9. От двух кусков сплава с различным содержанием никеля, весящих 17 кг и 8 кг, было отрезано по куску весом m кг. Каждый из отрезанных кусков был сплавлен с остатком другого куска. При каком значении параметра m процентное содержание никеля в двух новых кусках будет одинаковым?

В10. В основании треугольной пирамиды DАВС лежит прямоугольный треугольник AВС с катетами  и СВ = 4\/5. Прямая DС перпендикулярна плоскости основания, а вершина С удалена от плоскости грани DАВ на расстояние, равное h. При каком значении параметра h вершина D удалена от прямой АВ на расстояние, равное 5?

В11. В остроугольном треугольнике АВС сторона АВ равна 4, сторона АС равна а и угол А равен 60°. При каком значении  параметра а расстояние, между основаниями высот треугольника АВС, опущенных на стороны АС и ВС, равно ?

С1.  Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

 имеет три различных действительных корня?

С2. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

logcosx-a(sin2x -cos2x +sinx + cosx + +1)=0

Часть III.

С3. Найдите наименьшее значение меньшего из корней уравнения х2 +9х + ах =22+ а, если множеством значений параметра а является промежуток (-;7].

C4. В основании прямой четырехугольной призмы АВСDАВС расположен квадрат  АВСD . ). Точка М является центром грани ААВВ, а на ребре АD выбрана точка N так, что  . При каких значениях параметра р площадь треугольника NСС1 равна двум площадям сечения пирамиды МNВВ1 плоскостью, проходящей через середины ребер МB1, NВ, NB1?

С5. Найдите все значения параметра а, при которых система уравнений  имеет ровно два различных решения?