Элективный курс по матиматике. "Уравнения с параметрами". 9 класс
элективный курс (алгебра, 9 класс) по теме

                  МОУ Масловская СОШ

Программа элективных курсов по математике  

                                в 9 классе

«Уравнения второй степени с параметром»

                                                Автор программы:

                                               Учитель математики

                                               Белова З. В.

Принято решением

педсовета №

 от

                               2012 год

                         Пояснительная записка.

  Уравнения с параметром одни из сложнейших заданий курса математики. В действующих учебниках нет теоретических сведений и слишком мало задач по решению таких уравнений, хотя они довольно часто встречаются в различных конкурсных работах по математике и на экзаменах.

  Для решения уравнений с параметром необходимо не только знание материала, но и наличие определённых навыков.

  «Квадратные уравнения»- это одна из важнейших тем алгебры. При решении многих заданий, например, тригонометрических, показательных, логарифмических уравнений и неравенств, приходится находить корни квадратного трёхчлена, область определения квадратичной функции.

  В последнее время в материалах ЕГЭ и ГИА предлагаются задания по этой теме.

  В предлагаемых материалах задачи с параметром рассматриваются как средство обобщения и систематизации знаний учащихся о квадратичной функции.

Цели: повысить математическую культуру учащихся в рамках школьной программы по математике и способствовать осознанному выбору профессии.

Задачи: - осознание учеником уровня работы;

              - формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету и выявление                                                                                                                                             математических способностей;                        

    - обобщение и систематизация знаний обучаемых по теме;

    - подготовка обучаемых к итоговой аттестации и решению конкурсных задач.

Инструментарий:

Входное анкетирование.

Использование наиболее эффективных приёмов, активизирующих работу школьников.

Дифференциация и индивидуализация обучения.

Использование работы в парах.

Формой контроля может быть зачёт, контрольная работа, тест.

Планируемый результат:

Применение учащимися изученного алгоритма для решения задач.

Задачи с параметром расширят и углубят базовый раздел «Квадратные уравнения».

                     Содержание программы.

Блок 1.Квадратные уравнения. Неполные квадратные уравнения.

  Даётся определение уравнения с параметром, области определения уравнения с параметром, определение квадратного уравнения.

  Решение квадратных уравнений с параметром по формуле корней квадратного уравнения.

  Вводится неполное квадратное уравнение с параметром, рассматриваются способы  решения.

Блок 2.Теорема Виета. Знаки корней квадратного уравнения.

  Даётся формулировка теоремы Виета. Рассматриваются примеры применения теоремы Виета и теоремы ей обратной.

  Определение знаков корней квадратного уравнения в зависимости от значения параметра.

Блок 3. Расположение корней квадратного трёхчлена в зависимости от параметра.

  Даётся теорема о расположении корней квадратного трёхчлена в зависимости от параметра относительно заданной точки или числового промежутка.

Блок 4. Наименьшее и наибольшее значение квадратичной функции.

  Даётся алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значений квадратичной функции.

           Тематическое планирование(34 часа).

                                Приложения.

                              Блок 1.

1.Квадратные уравнения.

   Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. (« Параметр» с греческого – отмеривающий).

   Введение параметра способствовало появлению новых типов задач, вдохнуло новую жизнь в такие традиционные виды задач, как решение уравнений.

  В подобного рода уравнениях встречаются два вида символов: неизвестные, обычно они обозначаются буквами х, у, z,…, и параметры, они обозначаются а, в, с, р ,… . Конечно разница между ними весьма условна. Параметр – это переменная, значение которой считается фиксированным, и каждое значение параметра определяет относительно  заданного неизвестного соответствующее уравнение.

  С параметрами мы встречались, когда вводили понятия:

- у=кх (х и у – переменные, к#0-параметр), функция прямой пропорциональности.

- у=кх+в (х и у – переменные, к и в – параметры), линейная функция.

- линейное уравнение ах+в=0 (х – переменная, а и в – параметры, а#0).

- квадратное уравнение у=ах2+вх+с (х – переменная, а, в, с – параметры, а#0).

  Определение: Пусть дано равенство с переменными х и а . f(x,a)=0 называется уравнением с переменной х и параметром а.

  Под областью определения данного уравнения с параметром а будем понимать все такие системы значений х и а при которых уравнение имеет смысл.

  Решить уравнение с параметром а – значит найти для каждого действительного значения а все решения данного уравнения или установить, что их нет.

  Уравнение вида ах2+вх+с=0, где а не равно 0, а, в, с- числа, х – переменная, называют квадратным.

  Число Д=в2-4ас называется дискриминантом квадратного уравнения.

Если Д>0, то квадратное уравнение имеет два корня.

Если Д=0, то - один.

Если Д< 0, то уравнение корней не имеет.

Почему?

Выделим полный квадрат из квадратного трёхчлена: ах2+вх+с=а(х2+в/ах+с/а)=а(х2+2в/(2а)х+в2/(4а2)-в2/(4а2)+с/а)=а((х+в/(2а))2-(в2-4ас)/(4а2))

Получим уравнение а((х2+в/(2а))2-(в2-4ас)/(4а2))=0, а не равно 0,

                                    (х+в/(2а))2-Д/(4а2)=0.

Проанализируйте данное уравнение и объясните почему если Д меньше 0, то

уравнение не имеет действительных корней, если Д=0 – то один корень, если Д больше нуля – то два различных корня ?

Советы.

1.Старайтесь работать с уравнением, где старший коэффициент  а положителен.

Этого легко добиться, умножив правую и левую части уравнения на-1.

2.Если в=2к,тоХ 1,2=(-к+ √к2-ас)/а

 Рассмотрим пример решения уравнения.

Определите все значения параметра а, при котором уравнение 2ах2-4(а+1)х+4а+1=0 имеет один корень.

Решение: если а  равно 0, то -4х+1=0, х=1/4-единственный корень.

  Если а не равно 0, то уравнение является квадратным и имеет единственное решение при Д=0. Так как второй коэффициент чётный, то к2-ас=4(а+1)2-2а(4а+1)=4а2+8а+4-8а2-2а=-4а2+6а+4

                                                2а2-3а-2=0

                                      а 1=-1/2   а 2=2.

Ответ: при а=0, а=-1/2, а=2 данное уравнение имеет один корень.

Определение: Уравнение вида х2+рх+q=0 называется приведённым квадратным уравнением.

                       Уравнения для самостоятельной индивидуальной работы.

При каких а уравнение 9х2-2х+а=6-ах имеет равные корни?

Найдите значение к, при котором уравнение (к-1)х2+(к+4)х+к+7=0 имеет равные корни?

При каких значениях m уравнение х2-х+m=0 не имеет действительных корней?

Найдите целые значения к, при которых уравнение(к-12)х2+2(к-12)х+2=0 не имеет действительных корней.

2.Неполные квадратные уравнения.

а) Если а не равно 0, в=0,с не равно 0, то квадратное уравнение имеет вид ах2+с=0.

Х2=-с/а, если –с/а>0, то х1=-√-с/а  х2=√ -с/а

Если – с/а<0, то уравнение ах2+с=0 корней не имеет.

б) Если а не равно 0, в не равно 0,с=0, то квадратное уравнение имеет вид ах2+вх=0

                                                                                                                                х(ах+в)=0.

х=0 или ах+в=0

значит х=0 и х=-в/а корни уравнения.

Запомни. Если в квадратном уравнении свободный член равен 0, то это уравнение обязательно имеет нулевой корень.

Пример1.Определите, при каком значении к один из корней уравнения             х2+(к-1)х+к2-4=0 равен нулю.

Решение: если свободный член равен 0, то один из корней квадратного      уравнения 0. к2-4=0, к=2,к=-2.

Ответ: при к=2, к=-2 один из корней данного уравнения равен 0.

                      Уравнения для самостоятельной работы.

8х2-а-2=0

(10-а)х2-1=0

(в+9)х2-вх-3х=0

х(ах+2)=0.

                                Блок 2.

Теорема Виета.

Для того, чтобы числа х1 и х2 были корнями уравнения ах2+вх+с=0, необходимо и достаточно выполнения равенств: х1+х2=-в/а  х1*х2=с/а.

  Здесь сформулированы два утверждения – прямое и обратное.

  Пример 1. Не решая уравнения х2-(2а+1)х+а2+2=0, найдите при каком а один из корней в два раза больше другого.

  Решение: пусть х1 и х2 – корни данного уравнения. Из условия следует, что х1=2х2. Значит Д>0, х2+2х2=2а+1, х2*2х2=а2+2. Решая эту систему, получим, а>7\4, а=4.

  Ответ: при а=4 один из корней данного уравнения в два раза больше другого.

                              Тренировочные задания.

При каких значениях параметра а разность корней уравнения 2х2-(а+1)х+а+3=0 равна их произведению.

Найти все значения а, для которых разность корней уравнения 2х2-(а+1)х+а+3=0 равна 1.

В уравнении (а2-5а+3)х2+(3а-1)х+2=0 определите а так, чтобы х1/х2=2.

В уравнении х2-2х+с=0 определите, при каком с корни уравнения удовлетворяют условию 7х2-4х1=47.

Знаки корней квадратного уравнения.

 Рассмотрим способ для определения знаков корней квадратного уравнения, с помощью теоремы Виета.

  Пример 1. При каком а уравнение (а+5)х2+(2а-3)х+а-10=0 имеет два различных отрицательных корня?

  Решение: а+5#0 a#-5.

Д=(2а-3)2-4(а+5)(а-10)=8а+209>0.

Значит 8а+209>0                   8a>-209

              X1+x2<0                   (a-10)/(a+5)>0   получим           -209/8

              X1*x2>0                   (2a-3)/(a+5)>0                                         a>10

Ответ: (-209/8; -5) и (10; + беск.).

                                Тренировочные упражнения.

Найдите все значения параметра а, при которых корни уравнения                             (а-1)х2+2ах+а+3=0 одного знака.

При каких значениях параметра а уравнение имеет два различных корня? Определите знаки корней в зависимости от а.

а) (а-2)х2-2ах+2а-3=0;                                     г) х2+2х-8=(х-4)а;

б) (а-3)х2-2(3а-4)х+7а-6=0;                             д) (3а-1)х2+2ах+3а-2=0.

в) х2-2(а-1)х+2а+1=0;

                                       Блок 3.

Расположение корней квадратного трёхчлена в зависимости от параметра.

А) Расположение корней относительно заданной точки.

Теорема 1: пусть f(x)=ax2+bx+c квадратичная функция, х1 и х2 действительные корни, N- действительное число. Для того, чтобы х1=0, -b/2a0.

Теорема 2: для того, чтобы х1 >m и х2 >m, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия: D>=0, -b/2a>m, af(m)>0.

Теорема 3: для того, чтобы х1

   Пример 1. При каких значениях параметра а корни уравнения ах2-(2а+1)х+3а-1=0 больше 1?

  Решение: по теореме 2 задача сводится к решению системы.

D>=0                -8а2+8а+1>=0               (2-√6)/4<=a<=(2+√6)/4

-b/2a>1              (2a+1)/2a>1                   a>0

Af(1)>0          2a2-2a>0                 a<0  a>1.

  Ответ: (1:(2+√6)/4] .

Расположение корней квадратного трёхчлена относительно числового промежутка.

Теорема 4. Для того чтобы оба корня квадратного трёхчлена были больше, чем  m, но меньше, чем n (m

D>=0; af(m)>0; af(n)>0; m<-b/2a

Теорема 5. Для того чтобы больший корень квадратного трёхчлена лежал в интервале mn (m

 af(m)<0, af(n)>0.

Теорема 6. Для того чтобы только меньший корень квадратного трёхчлена лежал в интервале mn (m

af(m)>0, af(n)<0.

Теорема 7. Для того чтобы один корень квадратного трёхчлена был меньше, чем n   , а другой больше, чем m (m

  Пример 2. При каком значении параметра а из неравенства 1

 Решение: пусть  =х2-2ах+а. Необходимо, чтобы трёхчлен имел два корня х1, х2 (х1 меньше х2), для которых выполняются неравенства х1<=1, х2>2, так как f(1)<=0, f(2)<0 , то       1-a<=0, 4-3a<0.

Ответ: (4/3;+беск.)

                            Тренировочные упражнения.

При каких значениях параметра а один из корней уравнения (а2-2)х2+(а2+а-1)х-а3+а=0 больше числа а, а другой – меньше числа а?

При каких значениях параметра а корни х1 и х2 уравнения (3а+2)х2+(а-1)х+4а+3=0 удовлетворяют условиям х1 <-1<[2<1?

Найти все значения а, при которых любые значения х, удовлетворяющие неравенству ах2+(1-а2)х-а>0, по модулю не превосходят двух.

При каких значениях параметра а корни уравнения ах2-(а3+2а2+1)х+а(а+2)=0 принадлежат отрезку [0;1]?

При каких значениях параметра а корни уравнения неотрицательны ах2+2(а+3)х+а+2=0?

При каких значениях параметра а уравнение х2+2(а-1)х+а+5=0 имеет хотя бы один положительный корень?

                               Блок 4.

   Наибольшее и наименьшее значения квадратичной функции.

  Так как выражение ах2+вх+с, где а не равно 0, можно представить в виде а(х+в/2а)2+(4ас-в2)/4а, то отсюда следует:

а) если а больше 0, то наименьшее значение квадратичная функция будет принимать при х0=-в/2а равное y0=f(x0).

 б) если a<0, то наибольшее значение квадратичная функция будет принимать при х0=-в/2а, равное y0=f(x0).

  Пример1. Найти наибольшее или наименьшее значение функции у=3х2+6х+7.

  Решение: так как функция не является ограниченной сверху, то наибольшего значения она не имеет. Наименьшее значение она принимает при х=-1 у=4.

  Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у=х2+х на отрезке от -2 до 5.

  Решение: у=х2+х=(х+1/2)2-1/4, координаты вершины параболы (-1/2;-1/4),  -1/2 принадлежит отрезку от -2 до 5.

   Наибольшее и наименьшее значения функции могут достигаться либо на концах отрезка либо в х0.

 У(-2)=2, у(-1/2)=-1/4, у(5)=30.

  Ответ: наибольшее значение функции на отрезке равно 30, наименьшее - -1/4.

                  Тренировочные упражнения.

Для каких значений параметра а наименьшее значение функции у=х2-(а+2)х+а2 на отрезке от-1 до 1 равно 4?

При каком значении параметра а квадрат разности корней уравнения х2-ах+а-6=0 будет наименьшим? Чему равен квадрат этой разности?

При каких значениях параметра а сумма квадратов корней уравнения   х2-ах+а-2=0 будет наименьшей?

Парабола у=х2+ах+в пересекает прямую у=2х-3 в точке с абсциссой х0=1. При каких значениях а и в расстояние от вершины параболы до оси ОХ минимально?

                                            Задания к зачету.

При каких значениях р каждое из уравнений не имеет действительных корней?

  а) х2-8х+2р=0,

  б) 4х2+3рх+36=0,

  в) 4/5рх2-х+5р=0,

  г)(р-1)х2+рх+р+1=0.

2. При каких значениях а уравнение (а-1)х2-2(а+1)х+а-2=0 имеет один корень?

3. При каких значениях в один из корней уравнения равен 0?

а) 2х2-вх+2в2-3в=0

б) х2+(в+3)х+в-3=0.

4. При каком значении а сумма кубов корней уравнения (2а+1)х2+(2а+1)х+2а2=0  равна 3?

5. В уравнении х2-2х+с=0 определите то значение с , при котором его корни х1 и х2  удовлетворяют условию 7х2-4х1=47.

6. При каких значениях параметра а уравнение имеет два различных корня? Определите знаки этих корней в зависимости от а.

 а) х2-2(а-1)х+2а+1=0;

 б) (3а-1)х2+2ах+3а-2=0.

7. При каких значениях параметра а оба корня х1 и х2 уравнения х2+2(а-3)х+9=0 принадлежат интервалу от-6 до1? (корни различные).

                                 Список литературы.

1.Ястребинецкий Г. А. «Уравнения и неравенства, содержащие параметры». Москва 1972 год.

2. Шарыгин И. Ф. «Факультативный курс по математике».Москва 1991 год

3. Абрамов А. М., Виленкин Н. Я. «Избранные вопросы математики». Москва 1980 год.

4. Говоров В. М. «Сборник конкурсных задач по математики» Москва 1983 год.

5. Дашкова И. Н. «Тематическое планирование и дидактические материалы» Воронеж 2003 год.